數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用(講解部分)

§６.４數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應(yīng)用高考數(shù)學(xué)第一頁(yè)，編輯于星期六：七點(diǎn)四十七分?？键c(diǎn)一數(shù)列求和1.公式法(1)直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求解.(2)掌握一些常見(jiàn)的數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:1+2+3+…+n=①

;2+4+6+…+2n=②

n2+n

;1+3+5+…+(2n-1)=n2;12+22+32+…+n2=

;13+23+33+…+n3=

.考點(diǎn)清單第二頁(yè)，編輯于星期六：七點(diǎn)四十七分。如果一個(gè)數(shù)列{an},與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常

數(shù),那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法.3.錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)

成的,那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求.4.裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求

得其和.常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式:(1)

=③

-

;2.倒序相加法第三頁(yè)，編輯于星期六：七點(diǎn)四十七分。(2)

=④

;(3)

=

-

.5.分組求和法有一類(lèi)數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi),可

分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列,即先分別求和,再合并,形如:(1){an+bn},其中

(2)an=

第四頁(yè)，編輯于星期六：七點(diǎn)四十七分。考點(diǎn)二數(shù)列的綜合應(yīng)用1.解答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟(1)審題——仔細(xì)閱讀材料,認(rèn)真理解題意;(2)建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語(yǔ)言,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)

題,弄清該數(shù)列的特征以及要求什么;(3)求解——求出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)解;(4)還原——將所求結(jié)果還原到實(shí)際問(wèn)題中.2.數(shù)列應(yīng)用題常見(jiàn)模型(1)等差模型:如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定值,那么該模型是等差模

型,增加(或減少)的量就是公差.其一般形式是an+1-an=d(常數(shù)).(2)等比模型:如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù),那么該模型是等比模型,這個(gè)固定的數(shù)就是公比.其一般形式是

=q(q為常數(shù),且q≠０）．第五頁(yè)，編輯于星期六：七點(diǎn)四十七分。(3)混合模型:在一個(gè)問(wèn)題中同時(shí)涉及等比數(shù)列和等差數(shù)列的模型.(4)生長(zhǎng)模型:如果某一個(gè)量,每一期以一個(gè)固定的百分?jǐn)?shù)增加(或減少),同

時(shí)又以一個(gè)固定的具體量增加(或減少),稱(chēng)該模型為生長(zhǎng)模型,如分期付款

問(wèn)題,樹(shù)木的生長(zhǎng)與砍伐問(wèn)題等.如設(shè)貸款總額為a,年利率為r,等額還款數(shù)

為b,分n期還完,則b=

a.(5)遞推模型:如果容易推導(dǎo)該數(shù)列任意一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(n≥2)(或前

幾項(xiàng))間的遞推關(guān)系式,那么我們可以用數(shù)列的知識(shí)求解.第六頁(yè)，編輯于星期六：七點(diǎn)四十七分?？挤ㄒ诲e(cuò)位相減法求和知能拓展例1

(2018河南、河北兩省聯(lián)考,18)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=5,nSn+1

-(n+1)Sn=n2+n.(1)求證:數(shù)列

為等差數(shù)列;(2)令bn=2nan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解題導(dǎo)引

第七頁(yè)，編輯于星期六：七點(diǎn)四十七分。解析(1)證明:由nSn+1-(n+1)Sn=n2+n得

-

=1,又

=5,所以數(shù)列

是首項(xiàng)為5,公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)可知

=5+(n-1)=n+4,所以Sn=n2+4n.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+4n-(n-1)2-4(n-1)=2n+3.又a1=5符合上式,所以an=2n+3(n∈N*),所以bn=(2n+3)2n,所以Tn=5×2+7×22+9

×23+…+(2n+3)2n,

①2Tn=5×22+7×23+9×24+…+(2n+1)2n+(2n+3)2n+1,

②所以②-①得Tn=(2n+3)2n+1-10-(23+24+…+2n+1)=(2n+3)2n+1-10-

=(2n+3)2n+1-10-(2n+2-8)=(2n+1)2n+1-2.第八頁(yè)，編輯于星期六：七點(diǎn)四十七分。方法總結(jié)1.如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an·bn}的前

n項(xiàng)和時(shí),常采用錯(cuò)位相減法.2.用錯(cuò)位相減法求和時(shí),應(yīng)注意:(1)要善于識(shí)別題目類(lèi)型,特別是等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形.(2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”,以

便于下一步準(zhǔn)確地寫(xiě)出“Sn-qSn”的表達(dá)式.(3)應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1,如果q=1,應(yīng)用公式Sn=na1.第九頁(yè)，編輯于星期六：七點(diǎn)四十七分?？挤ǘ秧?xiàng)相消法求和例2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a2=8,Sn=

-n-1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列

的前n項(xiàng)和Tn.解題導(dǎo)引

第十頁(yè)，編輯于星期六：七點(diǎn)四十七分。解析(1)∵a2=8,Sn=

-n-1,∴a1=S1=

-2=2.n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=

-n-1-

,即an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1),又∵a2+1=9,3(a1+1)=3×3=9,∴數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,且a1+1=3,公比為3,∴an+1=3×3n-1=3n,∴an=3n-1.(2)

=

=

-

,∴數(shù)列

的前n項(xiàng)和Tn=

+

+…+

=

-

.第十一頁(yè)，編輯于星期六：七點(diǎn)四十七分。例

(2020屆河北邯鄲大名一中周測(cè),10)“垛積術(shù)”(隙積術(shù))是由北宋科

學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng),南宋數(shù)學(xué)家楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐

富和發(fā)展的一類(lèi)數(shù)列求和方法,有茭草垛、方垛、芻童垛、三角垛,等等.

某倉(cāng)庫(kù)中部分貨物堆放成如圖所示的“茭草垛”:自上而下,第一層1件,以

后每一層比上一層多1件,最后一層是n件.已知第一層貨物單價(jià)為1萬(wàn)元,從

第二層起,貨物的單價(jià)是上一層單價(jià)的

.若這堆貨物的總價(jià)是

萬(wàn)元,則n的值為

()

實(shí)踐探究A.7

B.8

C.9

D.10第十二頁(yè)，編輯于星期六：七點(diǎn)四十七分。解題導(dǎo)引由題意,第一層貨物的總價(jià)為1萬(wàn)元,第二層貨物的總價(jià)為2×

萬(wàn)元,第三層貨物的總價(jià)為3×

萬(wàn)元,……,第n層貨物的總價(jià)為n·

萬(wàn)元,可設(shè)這堆貨物的總價(jià)為W萬(wàn)元,從而可得到W=1+2×

+3×

+…+n·

,利用錯(cuò)位相減法可求出W的表達(dá)式,結(jié)合W=100-200·

可求出答案.第十三頁(yè)，編輯于星期六：七點(diǎn)四十七分。解析由題意,得第n層貨物的總價(jià)為n·

萬(wàn)元,設(shè)這堆貨物的總價(jià)為W萬(wàn)元,則W=1+2×

+3×

+…+n·

,

W=1×

+2×

+3×

+…+n·

,兩式相減得

W=-n·

+1+

+

+

+…+

=-n·

+

=-n·

+10-10·

,則W=-10n·

+100-100·

=100-200

,解得n=10,故選D.第十四頁(yè)，編輯于星期六：七點(diǎn)四十七分。解析由題意,得第n層貨物的總價(jià)為n·

萬(wàn)元,設(shè)這堆貨物的總價(jià)為W萬(wàn)元,則W=1+2×

+3×

+…+n·

,

W=1×

+2×

+3×

+…+n·

,兩式相減得

W=-n·

+1+

+

+

+…+

=-n·

+

=-n·

+10-10·

,則W=-10n·

+100-100·

=100-200

,解得n=10,故選D.答案

D第十五頁(yè)，編輯于星期六：七點(diǎn)四十七分。方法總結(jié)(1)本題以數(shù)學(xué)文化為背景考查數(shù)列求和,考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)

抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(2)①認(rèn)真閱讀題意,理解數(shù)量關(guān)系;②建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;③求解數(shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論.第十六頁(yè)，編輯于星期六：七點(diǎn)四十七分。例設(shè)函數(shù)f(x)=x

+

,O為坐標(biāo)原點(diǎn),An為函數(shù)y=f(x)圖象上橫坐標(biāo)為n(n∈N*)的點(diǎn),向量

與向量i=(1,0)的夾角為θn,則滿足:tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn<

的最大整數(shù)n的值為

.創(chuàng)新思維第十七頁(yè)，編輯于星期六：七點(diǎn)四十七分。解析由題意可得An

,∵O為坐標(biāo)原點(diǎn),∴

=

,∵向量

與向量i=(1,0)的夾角為θn,∴cosθn=

.∴sinθn=

.∴t