北京市西城區(qū)第十四中2024屆高一上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題含解析

北京市西城區(qū)第十四中2024屆高一上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1．若一個(gè)扇形的半徑為2，圓心角為，則該扇形的弧長等于（）A. B.C. D.2．下列說法正確的是A.截距相等的直線都可以用方程表示B.方程不能表示平行軸的直線C.經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為直線方程為D.經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線方程為3．已知函數(shù)，若函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍為（）A. B.C. D.4．函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.5．給定四個(gè)函數(shù)：①；②（）；③；④．其中是奇函數(shù)的有（）A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)6．最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A.y=sinx+cosx B.y=sinx-cosxC.y=sinxcosx D.y=7．含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為{a，，1}，也可表示為{a2，a+b，0}，則a2012+b2013的值為（）A.0B.1C.-1D.±18．已知是定義在R上的奇函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.9．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是A. B.C. D.10．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．已知函數(shù)，若，不等式恒成立，則的取值范圍是___________.12．已知一個(gè)銅質(zhì)的實(shí)心圓錐的底面半徑為6，高為3，現(xiàn)將它熔化后鑄成一個(gè)銅球（不計(jì)損耗），則該銅球的半徑是__________13．已知函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在一次函數(shù)的圖象上，其中，則的最小值為_____________.14．已知，則的值為______15．如圖，已知△和△有一條邊在同一條直線上，，，，在邊上有個(gè)不同的點(diǎn)F,G，則的值為______三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．汽車智能輔助駕駛已開始得到應(yīng)用，其自動(dòng)剎車的工作原理是用雷達(dá)測出車輛與前方障礙物之間的距離（并集合車速轉(zhuǎn)化為所需時(shí)間），當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開始報(bào)警提醒，等于危險(xiǎn)距離時(shí)就自動(dòng)剎車．若將報(bào)警時(shí)間劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時(shí)間、人的反應(yīng)時(shí)間、系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間、制動(dòng)時(shí)間，相應(yīng)的距離分別為，，，，如下圖所示．當(dāng)車速為（米/秒），且時(shí)，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到下表給出的數(shù)據(jù)（其中系數(shù)隨地面濕滑程度等路面情況而變化，）階段0.準(zhǔn)備1.人的反應(yīng)2.系統(tǒng)反應(yīng)3.制動(dòng)時(shí)間秒秒距離米米（1）請(qǐng)寫出報(bào)警距離（米）與車速（米/秒）之間的函數(shù)關(guān)系式；并求當(dāng)，在汽車達(dá)到報(bào)警距離時(shí)，若人和系統(tǒng)均未采取任何制動(dòng)措施，仍以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障礙物的最短時(shí)間（精確到0.1秒）；（2）若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報(bào)警距離均小于50米，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少千米/小時(shí)？17．已知函數(shù)fx=2sin（1）求fx（2）若fx在區(qū)間-π618．已知圓M與x軸相切于點(diǎn)（a，0），與y軸相切于點(diǎn)（0，a），且圓心M在直線上.過點(diǎn)P（2，1）直線與圓M交于兩點(diǎn)，點(diǎn)C是圓M上的動(dòng)點(diǎn).（1）求圓M的方程；（2）若直線AB的斜率不存在，求△ABC面積的最大值；（3）是否存在弦AB被點(diǎn)P平分？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說明理由.19．函數(shù)的一段圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得函數(shù)的圖象，求在的單調(diào)增區(qū)間20．某地為踐提出的“綠水青山就是金山銀山”的理念，大力開展植樹造林．假設(shè)一片森林原來的面積為a畝，計(jì)劃每年種植一些樹苗，使森林面積的年平均增長率為20%，且x年后森林的面積為y畝（1）列出y與x的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)的定義域；（2）為使森林面積至少達(dá)到6a畝至少需要植樹造林多少年？參考數(shù)據(jù)：21．已知集合，，.（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1、B【解析】求圓心角的弧度數(shù)，再由弧長公式求弧長.【詳解】∵圓心角為，∴圓心角的弧度數(shù)為，又扇形的半徑為2，∴該扇形的弧長，故選：B.2、D【解析】A錯(cuò)誤，比如過原點(diǎn)的直線，橫縱截距均為0，這時(shí)就不能有選項(xiàng)中的式子表示；B當(dāng)m=0時(shí)，表示的就是和y軸平行的直線，故選項(xiàng)不對(duì)C不正確，當(dāng)直線的傾斜角為90度時(shí)，正切值無意義，因此不能表示．故不正確D根據(jù)直線的兩點(diǎn)式得到斜率為，再代入一個(gè)點(diǎn)得到方程為：故答案為D3、A【解析】畫出函數(shù)圖像，分解因式得到，有一個(gè)解故有兩個(gè)解，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】畫出函數(shù)的圖像，如圖所示：當(dāng)時(shí)，即，有一個(gè)解；則有兩個(gè)解，根據(jù)圖像知：故選：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，畫出函數(shù)圖像，分解因式是解題的關(guān)鍵.4、A【解析】利用奇偶性定義可知為偶函數(shù)，排除；由排除，從而得到結(jié)果.【詳解】為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除又，排除故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，對(duì)于此類問題通常采用排除法來進(jìn)行排除，考慮的因素通常為：奇偶性、特殊值和單調(diào)性，屬于?？碱}型.5、B【解析】首先求出函數(shù)的定義域，再由函數(shù)的奇偶性定義即可求解.【詳解】①函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，則函數(shù)是奇函數(shù)；②函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，則函數(shù)（）為非奇非偶函數(shù)；③函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則函數(shù)不是奇函數(shù)；④函數(shù)的定義域?yàn)?，，則函數(shù)是奇函數(shù).故選：B6、B【解析】選項(xiàng)、先利用輔助角公式恒等變形，再利用正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)判斷周期和單調(diào)遞增區(qū)間即可，選項(xiàng)先利用二倍角的正弦公式恒等變形，再利用正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)判斷周期和單調(diào)遞增區(qū)間即可，選項(xiàng)直接利用正切函數(shù)圖象的性質(zhì)去判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng),，最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為，即，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，則選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng),，最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為，即，該函數(shù)在上為單調(diào)遞增，則選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng),，最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為，即，該函數(shù)在上為單調(diào)遞增，則選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng),，最小正周期為,在為單調(diào)遞增，則選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：.7、B【解析】根據(jù)題意，由{a，，1}={a2，a+b，0}可得a=0或=0，又由的意義，則a≠0，必有=0，則b=0，則{a，0，1}={a2，a，0}，則有a2=1，即a=1或a=-1，集合{a，0，1}中，a≠1，則必有a=-1，則a2012+b2013=（-1）2012+02013=1，故選B點(diǎn)睛：集合的三要素是：確定性、互異性和無序性，集合的表示常用的有三種形式：列舉法，描述法，Venn圖法.研究一個(gè)集合，我們首先要看清楚它的研究對(duì)象，是實(shí)數(shù)還是點(diǎn)的坐標(biāo)還是其它的一些元素，這是很關(guān)鍵的一步.8、C【解析】由奇函數(shù)知，再結(jié)合單調(diào)性及得，解不等式即可.【詳解】由題意知：，又在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由可得，解得.故選：C.9、A【解析】利用函數(shù)，，單調(diào)性，借助于0和1，即可對(duì)a、b、c比較大小，得到答案【詳解】由題意，可知函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，，又是定義域上的增函數(shù)，，又是定義域上的減函數(shù)，，所以，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)值的比較大小問題，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】根據(jù)集合，，可得，從而可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?故選：B二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、【解析】原問題等價(jià)于時(shí)，恒成立和時(shí)，恒成立，從而即可求解.【詳解】解：由題意，因?yàn)椋坏仁胶愠闪ⅲ詴r(shí)，恒成立，即，所以；時(shí)，恒成立，即，令，則，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，，所以；綜上，.所以的取值范圍是.故答案為：12、3【解析】設(shè)銅球的半徑為，則，得，故答案為.13、4【解析】由題意可知定點(diǎn)A（1,1）,所以m+n=1,因?yàn)?所以,當(dāng)時(shí)，的最小值為4.14、2【解析】根據(jù)給定條件把正余弦的齊次式化成正切，再代入計(jì)算作答.【詳解】因，則，所以的值為2.故答案為：215、16【解析】由題意易知：△和△為全等的等腰直角三角形，斜邊長為，，故答案為16點(diǎn)睛：平面向量數(shù)量積類型及求法(1)求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式a·b＝|a||b|cosθ；二是坐標(biāo)公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用數(shù)量積的幾何意義.本題就是利用幾何意義處理的.(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）；2.4秒；（2）72（千米/小時(shí)）【解析】（1）由圖，分別計(jì)算出報(bào)警時(shí)間、人的反應(yīng)時(shí)間、系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間、制動(dòng)時(shí)間，相應(yīng)的距離，，，，代入中即可，，利用基本不等式求最值；（2）將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意，恒成立，利用分離參數(shù)求范圍即可.【詳解】（1）由題意得，所以當(dāng)時(shí)，，（秒）即此種情況下汽車撞上固定障礙物的最短時(shí)間約為2.4秒（2）根據(jù)題意要求對(duì)于任意，恒成立，即對(duì)于任意，，即恒成立，由，得所以，即，解得所以，（千米/小時(shí)）17、（1）π；單調(diào)遞減區(qū)間是π3+kπ,5π【解析】（1）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果（2）由（1）知fx=sin2x-π【詳解】解：（1）由己知，有f=-=3所以fx的最小正周期：T=由π2得fx的單調(diào)遞減區(qū)間是π（2）由（1）知fx=sin所以2x-π要使fx在區(qū)間-π6即y=sin2x-π所以2m-π6所以m的最小值為π3【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題18、（1）（2）（3）存在，方程為【解析】（1）根據(jù)圓與坐標(biāo)軸相切表示出圓心坐標(biāo)，結(jié)合已知可解；（2）注意到當(dāng)點(diǎn)C到直線AB距離最大值為圓心到直線距離加半徑，然后可解;（3）根據(jù)圓心與弦的中點(diǎn)的連線垂直弦，或利用點(diǎn)差法可得.【小問1詳解】∵圓M與x軸相切于點(diǎn)（a，0），與y軸相切于點(diǎn)（0，a），∴圓M的圓心為M（a，a），半徑.又圓心M在直線上，∴，解得.∴圓M的方程為：.【小問2詳解】當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為，∴由，解得.∴.易知圓心M到直線AB的距離，∴點(diǎn)C到直線AB的最大距離為.∴△ABC面積的最大值為.【小問3詳解】方法一：假設(shè)存在弦AB被點(diǎn)P平分，即P為AB的中點(diǎn).又∵，∴.又∵直線MP的斜率為，∴直線AB的斜率為-.∴.∴存在直線AB的方程為時(shí)，弦AB被點(diǎn)P平分.方法二：由（2）易知當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，，∴此時(shí)點(diǎn)P不平分AB.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，，假設(shè)點(diǎn)P平分弦AB.∵點(diǎn)A、B是圓M上的點(diǎn)，設(shè)，.∴由點(diǎn)差法得.由點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn)，可得，∴.∴∴存在直線AB的方程為時(shí)，弦AB被點(diǎn)P平分.19、（1）；（2）【解析】（1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得函數(shù)y＝f2（x）的解析式，由，得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】（1）如圖，由題意得，的最大值為2，又,∴,即∴.因?yàn)榈膱D像過最高點(diǎn)，則即（2）.依題意得：∴由解得：，則的單調(diào)增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題20、（1）(且)；（2）10.【解析】(1)直接由題意可得與的函數(shù)解析式；(2)設(shè)為使森林面積至少達(dá)到畝，至少需要植樹造林年，則，求解指數(shù)不等式得答案【小問1詳解】森林原來的面積為畝，森林面積的年平均增長率為，年后森林的面積為畝，則(且)；【小問2詳解】設(shè)為使森林面積至少達(dá)到畝，至少需要植樹造林年，則，，得，即，，即取10，故為使森林面積至少達(dá)到畝，至少需要植樹造林10年