專題強化二：異面角、線面角、二面角的常見解法 原卷版

專題強化訓練二：異面角、線面角、二面角的常見解法技巧一、定義法利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點，過該點在兩個半平面內作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法.例：在三棱錐V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝eq\r(3)，求二面角V－AB－C的大小.解取AB的中點D，連接VD，CD，∵△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，∴△VAB為等邊三角形，∴VD⊥AB且VD＝eq\r(3)，同理CD⊥AB，CD＝eq\r(3)，∴∠VDC為二面角V－AB－C的平面角，而△VDC是等邊三角形，∠VDC＝60°，∴二面角V－AB－C的大小為60°.技巧二、三垂線法是利用三垂線定理及其逆定理來證明線線垂直，來找到二面角的平面角的方法.這種方法關鍵是找垂直于二面角的面的垂線.此方法是屬于較常用的.三垂線定理：在平面內的一條直線如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直.例：如圖，在三棱錐S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.解取SB的中點D，連接AD，則AD⊥SB，垂足為點D，由已知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD?平面SAB，∴AD⊥平面SBC.作AE⊥SC，垂足為點E，連接DE，則DE⊥SC，則∠AED為二面角A－SC－B的平面角.設SA＝AB＝2，則SB＝BC＝2eq\r(2)，AD＝eq\r(2)，AC＝2eq\r(3)，SC＝4.由題意得AE＝eq\r(3)，Rt△ADE中，sin∠AED＝eq\f(AD,AE)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，∴二面角A－SC－B的平面角的正弦值為eq\f(\r(6),3).技巧三、垂面法作一與棱垂直的平面，該垂面與二面角兩半平面相交，得到交線，交線所成的角為二面角的平面角.關鍵在找與二面角的棱垂直且與二面角兩半平面都有交線的平面.例：如圖，在三棱錐S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分別交AC，SC于點D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小.解∵SB＝BC且E是SC的中點，∴BE是等腰三角形SBC底邊SC的中線，∴SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE?平面BDE，∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA?平面SAC，∴BD⊥平面SAC.∵平面SAC∩平面BDE＝DE，平面SAC∩平面BDC＝DC，∴BD⊥DE，BD⊥DC，∴∠EDC是所求二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.設SA＝2，則AB＝2，BC＝SB＝2eq\r(2).∵AB⊥BC，∴AC＝2eq\r(3)，∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°.即所求的二面角等于60°.專題強化題型一;異面直線所成的角1．（2023·高一單元測試）在正四面體中，D為的中點，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高一期中）如圖，在正方體中，直線與所成的角是（）A． B． C． D．3．（2023·全國·高一專題練習）如圖，已知正三棱柱的棱長都相等，為棱的中點，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．題型二：點線面距離問題4．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，棱長為2的正方體中，點是的中點，是側面的中心，則到平面的距離為（

）A． B． C． D．5．（2023春·全國·高一專題練習）若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為1，AB1與底面ABCD所成角的大小為60°，則A1C1到底面ABCD的距離為（

）A． B．1 C．2 D．6．（2022春·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第二高級中學?？计谀┮阎睦庵鵄BCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E為CC1的中點，則直線AC1與平面BED的距離為A．2 B． C． D．1題型三：線面角問題7．（2023·全國·高一專題練習）在正方體中，若點是面的中心，則與平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．8．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，在四棱錐中，，，，，.(1)求證：平面.(2)設E為BC的中點，求PE與平面ABCD所成角的正弦值.9．（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中校考階段練習）如圖，在中，，，，沿中線將翻折成使得平面平面，設為的中點.(1)求線段的長；(2)求直線與平面所成角的正切值.題型四：二面角問題10．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，在正四棱錐中，.(1)求側棱與底面所成角的大??；(2)求二面角的大小的余弦值.11．（2023·高一課時練習）如圖，四棱錐中，平面，，．過點作直線的平行線交于為線段上一點．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成二面角的余弦值．12．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，在三棱臺中，三棱錐的體積為，的面積為4，，且平面.(1)求點到平面的距離；(2)若，且平面平面，求二面角的余弦值.專題強化一、單選題13．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，在直三棱柱中，若，，，則異面直線與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．14．（2023春·全國·高一專題練習）在正方體中，E，F(xiàn)分別是線段，的中點，則異面直線，EF所成角余弦值是（

）A． B． C． D．15．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，在直三棱柱中，，且分別是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．16．（2023春·全國·高一專題練習）已知正方體的棱長為2，點為棱的中點，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．17．（2023春·全國·高一專題練習）若四棱柱的所有棱長均為2，且，則到平面的距離為（

）A． B． C． D．18．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為a的正方形，平面．若，則直線與平面所成的角的大小為（

）A． B． C． D．19．（2023春·全國·高一專題練習）在長方體中，，，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．20．（2023春·全國·高一專題練習）已知在長方體中，，，那么直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．21．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在四棱錐中，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且，G為△ABC的重心，則PG與底面ABCD所成的角的正弦值等于（

）A． B． C． D．22．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，以等腰直角三角形斜邊上的高為折痕，把和折成互相垂直的兩個平面后，則下列四個結論中錯誤的是（

）A． B．是等邊三角形C．平面平面 D．二面角的正切值為23．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，棱長都相等的平行六面體中，，則二面角的余弦值為（

）．A． B． C． D．二、多選題24．（2023·高一單元測試）在長方體中，已知，則下列結論正確的有（

）A．B．異面直線與所成的角為C．二面角的余弦值為D．四面體的體積為25．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，在平面四邊形ABCD中，△BCD是等邊三角形，AB⊥BD且AB＝BD，M是AD的中點．沿BD將△BCD翻折，折成三棱錐C﹣ABD，連接BM，翻折過程中，下列說法正確的是（

）A．存在某個位置，使得CM與BD所成角為銳角B．棱CD上總恰有一點N，使得MN∥平面ABCC．當三棱錐C﹣ABD的體積最大時，AB⊥BCD．∠CMB一定是二面角C﹣AD﹣B的平面角26．（2022·高一單元測試）在棱長為的正方體中，下列結論正確的是（

）A．異面直線與所成角的為B．異面直線與所成角的為C．直線與平面所成角的正弦值為D．二面角的大小為27．（2023春·全國·高一專題練習）如圖甲，在矩形中，，為的中點．將沿直線翻折至的位置，為的中點，如圖乙所示，則（

）A．翻折過程中，四棱雉必存在外接球，不一定存在內切球B．翻折過程中，不存在任何位置的，使得C．當二面角為時，點到平面的距離為D．當四棱雉的體積最大時，以為直徑的球面被平面截得的交線長為三、填空題28．（2023·高一單元測試）長方體中，棱，，則與所成角的余弦值是______．29．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，是棱的中點.求點到平面的距離等于_______30．（2023春·全國·高一專題練習）若正四棱柱的底面邊長為，與底面成角，則到底面的距離為__________.31．（2023春·全國·高一專題練習）三棱錐P－ABC中，二面角P－AB－C為120°，和均為邊長為2的正三角形，則三棱錐P－ABC外接球的半徑為______．四、解答題32．（2023春·安徽馬鞍山·高一馬鞍山二中?？计谥校┤鐖D所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1，點D是AB的中點.(1)求點B到平面B1CD的距離；(2)求異面直線AC1和B1C所成角的余弦值.33．（2023·高一課時練習）所有棱長均相等的四面體中，，是的中點．(1)求直線與所成角大??；(2)求點到平面的距離．34．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，是圓柱的一條母線，是底面的一條直徑，是圓上一點，且，.(1)求直線與平面所成角正弦值；(2)求點到平面的距離.35．（2023·高一課時練習）如圖，在長方體中，，點為的中點．(1)求直線與平面所成的角；(2)求點到平面的距離．36．（2023·高一課時練習）已知平面ABCD，ABCD是正方形，異面直線PB與CD所成的角為．(1)二面角的大小；(2)直線與平面所成的角的大小．37．（2023春·全國·高一專題練習）在三棱柱中，，，，點為棱的中點，點是線段上的一動點，.(1)求證：；(2)求平面與平面所成的二面角的正弦值.38．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，菱形ABCD的邊長為2，，E為AC的中點，將沿AC翻折使點D至點.(1)求證：平面平面ABC；(2)若三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.39．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面是邊長為a的正方形，側棱PD＝a，PA＝PC，求證：(1)PD⊥平面AB