專題12 最短路徑探究之將軍飲馬 （解析版）

專題12最短路徑探究之將軍飲馬【知識點睛】將軍飲馬模型總結(jié)：類型問題作法圖形原理異側(cè)型“兩定一動”型連接ABPA＋PB的最小值為AB，兩點之間，線段最短同側(cè)型“兩定一動”型作點A關(guān)于直線l的對稱點A`，連接A`B，A`B與直線l的交點即為點PAP+BP=A`B，兩點之間線段最短角內(nèi)部“一定兩動”型分別作點P關(guān)于兩直線的對稱點P`，P``，連接P`P``，與兩直線交點即為點M、NPM+MN+PN=P`P``，兩點之間，線段最短角內(nèi)部“兩定兩動”型分別作點P、Q關(guān)于直線l1，l2的對稱點P`，Q`，連接P`Q`，與直線的交點即為點M、NPQ+PM+MN+NQ=PQ+P`Q`，兩點之間線段最短同側(cè)“兩定兩動”型將點A向右平移a個單位到點A`，作A`關(guān)于直線l的對稱點A``，連接A``B，A``B與直線l交點即為點N，將點N向左平移a分單位即為點MAM+MN+NB=a+A``B，兩點之間，線段最短其他“兩動一定”型最值問題模型：如圖，點P、點Q分別為直線BC、直線AB上的兩個動點，求AP＋PQ的最小值作點A關(guān)于直線BC的對稱點A`，過點A`作A`Q⊥AB與點Q，A`Q與直線BC交點即為點PAP+PQ=A`Q，點到直線的距離，垂線段最短“造橋選址”類將軍飲馬模型：構(gòu)造平行四邊形AA`NM，則AM轉(zhuǎn)化為A`N，之后再依據(jù)兩點之間線段最短，連接A`B即為A構(gòu)造平行四邊形AA`NM，則AM轉(zhuǎn)化為A`N，之后再依據(jù)兩點之間線段最短，連接A`B即為A、B之間陸地距離的最小值A(chǔ)`A`特別地：“兩動兩定”型將軍飲馬，平行四邊形的構(gòu)造都是為了消除動點間的間距d，所以平行四邊形的兩鄰邊中，一邊是間距d、另一邊是定動線段AM或BN中的一條?！绢愵}訓(xùn)練】1．如圖，要在街道l設(shè)立一個牛奶站O，向居民區(qū)A，B提供牛奶，下列設(shè)計圖形中使OA+OB值最小的是（）A． B． C． D．【分析】作點A關(guān)于l的對出現(xiàn)A′，則OA＝OA′，故此AO+BO＝OA′+OB，然后依據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)解答即可．【解答】解：作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點O，則點O即為所求點．故選：D．2．如圖，直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2．現(xiàn)要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使得從村莊P經(jīng)橋過河到村莊Q的路程最短，應(yīng)該選擇路線（）A．路線：PF→FQ B．路線：PE→EQ C．路線：PE→EF→FQ D．路線：PE→EF→FQ【分析】根據(jù)兩點間直線距離最短，使FEPP′為平行四邊形即可，即PP′垂直河岸且等于河寬，接連P′Q即可．【解答】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河寬，連接QP′，與另一條河岸相交于F，作FE⊥直線l1于點E，則EF∥PP′且EF＝PP′，于是四邊形FEPP′為平行四邊形，故P′F＝PE，根據(jù)“兩點之間線段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短．故C選項符合題意，故選：C．3．如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，且∠AOB＝40°，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，當△PMN周長取最小值時，則∠MPN的度數(shù)為（）A．140° B．100° C．50° D．40°【分析】分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P1、P2，連P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周長＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°．【解答】解：分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1P2，交OA于M，交OB于N，則OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得MP＝P1M，PN＝P2N，則△PMN的周長的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故選：B．4．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（）A．130° B．120° C．110° D．100°【分析】根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝60°，進而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【解答】解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″的長即為△AMN的周長最小值．∵∠DAB＝120°，∴∠AA′M+∠A″＝60°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×60°＝120°，故選：B．5．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，當△AMN周長最小時，則∠MAN的度數(shù)為（）A．a(chǎn) B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a(chǎn)﹣90°【分析】延長AB到A′使得BA′＝AB，延長AD到A″使得DA″＝AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點M、N，此時△AMN周長最小，推出∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），進而得出∠MAN的度數(shù)．【解答】解：延長AB到A′使得BA′＝AB，延長AD到A″使得DA″＝AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′關(guān)于BC對稱，A、A″關(guān)于CD對稱，此時△AMN的周長最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝a，∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，故選：B．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，點P是邊BC上一動點，點D在邊AB上，且BD＝AB，則PA+PD的最小值為（）A．8 B． C． D．【分析】作D關(guān)于BC的對稱點E，連接AE交BC于P，則PA+PD的值最小，過E作EF⊥AC交AC的延長線于F，過D作DH⊥AC于H，則DH＝EF，DH∥BC，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：作D關(guān)于BC的對稱點E，連接AE交BC于P，則PA+PD的值最小，過E作EF⊥AC交AC的延長線于F，過D作DH⊥AC于H，則DH＝EF，DH∥BC，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，∴AC＝AB＝4，∠ADH＝∠B＝30°，∵BD＝AB＝2，∴AD＝6，CF＝DE＝BD＝1，∴AF＝5，∴DH＝＝3，∴EF＝3，∴AE＝＝2，∴PA+PD的最小值為2，故選：C．7．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點．若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點C關(guān)于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點C關(guān)于直線EF的對稱點為點A，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故選：C．8．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（）A．9.6 B．8 C．6 D．4.8【分析】由等腰三角形的三線合一可得出AD垂直平分BC，過點B作BQ⊥AC于點Q，BQ交AD于點P，則此時PC+PQ取最小值，最小值為BQ的長，在△ABC中，利用面積法可求出BQ的長度，此題得解．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．過點B作BQ⊥AC于點Q，BQ交AD于點P，則此時PC+PQ取最小值，最小值為BQ的長，如圖所示．∵S△ABC＝BC?AD＝AC?BQ，∴BQ＝＝9.6．故選：A．9．如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為8，BD平分∠ABC．若M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】過點C作CE⊥AB于點E，作點N關(guān)于直線BD的對稱點N′，連接MN′，則CE即為CM+MN的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長，即為CM+MN的最小值．【解答】解：過點C作CE⊥AB于點E，作點N關(guān)于直線BD的對稱點N′，連接MN′∵BD平分∠ABC，N，N′關(guān)于BD對稱，∴點N′在BA上，MN＝MN′，∴CM+MN＝CM+MN′≥CE，∴當點C，M，N′共線，且與CE重合時，CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面積為8，AB＝4，∴×4?CE＝8，∴CE＝4．即CM+MN的最小值為4．故選：B．10．如圖，∠AOB＝30°，點M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝3，ON＝5，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是（）A． B． C．﹣2 D．﹣2【分析】作M關(guān)于OB的對稱點M′，作N關(guān)于OA的對稱點N′，連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值；證出△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，得出∠N′OM′＝90°，由勾股定理求出M′N′即可．【解答】解：作M關(guān)于OB的對稱點M′，作N關(guān)于OA的對稱點N′，如圖所示：連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值．根據(jù)軸對稱的定義可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，∴∠N′OM′＝90°，OM′＝OM＝3，ON′＝ON＝5，在Rt△M′ON′中，M′N′＝＝．故選：A．11．如圖，在平面直角坐標系中，A（1，1），B（3，3），點P為x軸上的動點，則PA+PB的最小值為（）A．2 B．2 C．5 D．【分析】點A關(guān)于x軸對稱點A′（1，﹣1），連接A′B交x軸于P，則此時，PA+PB＝A′B的值最小，過A′作A′C⊥BC，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵A（1，1），∴點A關(guān)于x軸對稱點A′（1，﹣1），連接A′B交x軸于P，則此時，PA+PB＝A′B的值最小，過A′作A′C⊥BC，∴A′B＝＝＝2．∴PA+PB最小值為2，故選A．12．如圖，定直線MN∥PQ，點B、C分別為MN、PQ上的動點，且BC＝12，BC在兩直線間運動過程中始終有∠BCQ＝60°．點A是MN上方一定點，點D是PQ下方一定點，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，當線段BC在平移過程中，AB+CD的最小值為（）A．24 B．24 C．12 D．12【分析】沿BC的方向?qū)Q和MN平移重合，即B和C點重合，點D平移至T，連接AT，即AB+CD最小，進一步求得結(jié)果．【解答】解：如圖，作DL⊥PQ于L，過點A作PQ的垂線，過點D作PQ的平行線，它們交于點R，延長DF至T，使DT＝BC＝12，連接AT，AT交MN于B′，作B′C′∥BC，交PQ于C′，則當BC在B′C′時，AB+CD最小，最小值為AT的長，可得AK＝AE?sin60°＝＝2，DL＝＝4，＝6，∴AR＝2+6+4＝12，∵AD＝24，∴sin∠ADR＝＝，∴∠ADR＝30°，∵∠PFD9＝60°，∴∠ADT＝90°，∴AT＝＝＝12，故答案為：C．13．如圖，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），點C在邊AB上，且＝，點D為OB的中點，點P為邊OA上的動點，當點P在OA上移動時，使四邊形PDBC周長最小的點P的縱坐標為．【分析】根據(jù)已知條件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D（2，0），C（4，3），作D關(guān)于直線OA的對稱點E，連接EC交OA于P，則此時，四邊形PDBC周長最小，E（0，2），求得直線EC的解析式為y＝x+2，解方程組即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，點D為OB的中點，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D關(guān)于直線OA的對稱點E，連接EC交OA于P，則此時，四邊形PDBC周長最小，E（0，2），∵直線OA的解析式為y＝x，設(shè)直線EC的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線EC的解析式為y＝x+2，解，得，∴P（，），故答案為：．14．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，M為AB的中點，P為BC上任意一點，則t＝PM+PA的范圍是≤t≤+2．【分析】作M關(guān)于BC的對稱點N，連接MN，NC，MC，連接AN交BC于點P，作AD⊥BC于點D，MN交BC于點E，則PM＝PN，NC＝MC，MN⊥BC，所以PM+PA＝PN+PA，當N、P、A共線時AN＝PM+PA最小，P與C重合時最大，再解三角形即可．【解答】解：作M關(guān)于BC的對稱點N，連接MN，NC，MC，連接AN交BC于點P，作AD⊥BC于點D，MN交BC于點E，則PM＝PN，NC＝MC，MN⊥BC，∴PM+PA＝PN+PA，∴當N、P、A共線時AN＝PM+PA最小，P與C重合時最大，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，M為AB的中點，∴∠B＝30°，∴AD＝1，BD＝，ME＝NE＝，∴BE＝DE＝，∵MN∥AD，∴＝＝＝，∴PD＝DE＝，∴PA＝＝，∴AN＝，在Rt△MCE中，根據(jù)勾股定理，MC＝＝，∴t＝PM+PA最大為+2，∴t＝PM+PA的范圍是≤t≤+2．故答案為：≤t≤+2．15．如圖，△ABC中，AC⊥BC，D為BC邊上的任意一點，連接AD，E為線段AD上的一個動點，過點E作EF⊥AB，垂足為F點．如果BC＝5，AC＝12，AB＝13，則CE+EF的最小值為．【分析】過C作CF⊥AB于F，交AD于E．則CE+EF的最小值為CF，利用三角形等面積法＝，求出CF＝＝＝，即為CE+EF的最小值．【解答】解：過C作CF⊥AB于F，交AD于E，則CE+EF的最小值為CF．∵BC＝5，AC＝12，AB＝13，∴＝，∴CF＝＝＝，即CE+EF的最小值為：，故答案為：．16．在平面直角坐標系中，已知A（﹣3，2）、B（2，7），在x軸上求一點C，使|CB﹣CA|最大，則點C的坐標為（﹣5，0）．【分析】由BC﹣AC≤AB可知當A、B、C三點共線時|CB﹣CA|最大，求直線AB的解析式，與x軸的交點就是C．【解答】解：由BC﹣AC≤AB可知當A、B、C三點共線時|CB﹣CA|最大，∴設(shè)直線AB為y＝kx+b，∵直線過A（﹣3，2）、B（2，7），∴，解得，∴直線AB為y＝x+5，∴當y＝0時，x＝﹣5，∴點C的坐標為（﹣5，0）．故答案為：（﹣5，0）．17．如圖，∠A＝∠C＝90°，且AB＝AC＝4，D，E分別為射線AC和射線CF上兩動點，且AD＝CE，當BD+BE有最小值時，則△BDE的面積為6．【分析】利用轉(zhuǎn)化思想，把線段和最小轉(zhuǎn)化成兩點間的線段的長，從而求解．【解答】解：過點B作BE⊥CF于點N，∵∠A＝∠C＝90°，且AB＝AC＝4，∴四邊形ACNB是正方形，∴AC＝CN，∵AD＝CE，∴CD＝NE△BEN≌△NDC，∴BE＝DN，延長BA到M．使得AM＝AB，則B，M關(guān)于AC對稱，∴BD＝MD，∴BD+BE＝MD+DN，最小時，M，N，D三點共線，此時D為AC的中點，△BDE的面積為：0.5×（2+4）×4﹣0.5×4×2﹣0.5×2×2＝6．故答案為：6．18．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為（4，4），點B的坐標為（0，1），點C和D都在x軸上（C在D左側(cè)），且線段CD＝1，連接AB，BC，AD，當四邊形ABCD周長最小時，點C的坐標為（，0）．【分析】作點B關(guān)于x軸的對稱點B'，連接B'C，以B'C、CD為鄰邊作?B'B''DC，則B''D＝B'C＝BC，B'B''＝CD＝1，B''（1，﹣1）所以BC+AD＝B''D+AD≥AB''，即當A、D、B''在同一直線上時，BC+AD的最小值為AB''，據(jù)此解答即可．【解答】解：過A作AM⊥y軸于M，∵A（4，4），B（0，1），∴AM＝4，BM＝OM﹣OB＝4﹣1＝3AB＝＝＝＝＝5，∵CD＝1，∴四邊形ABCD周長：AB+BC+CD+AD＝5+1+BC+AD＝6+BC+AD，∴要求四邊形ABCD周長最小，即求BC+AD的最小值，作點B關(guān)于x軸的對稱點B'，連接B'C，以B'C、CD為鄰邊作?B'B''DC，∴B''D＝B'C＝BC，B'B''＝CD＝1，B''（1，﹣1），∴BC+AD＝B''D+AD≥AB''，即當A、D、B''在同一直線上時，BC+AD的最小值為AB''，設(shè)直線AB''的解析式為：y＝kx+b，將A（4，4），B''（1，﹣1）代入，，解得k＝，b＝﹣，∴直線AB''的解析式：y＝，設(shè)y＝0，則＝0，解得x＝，∴D（，0），∴OD＝，∵CD＝1，∴OC＝OD﹣CD＝﹣1＝，∴C（，0），故答案為：（，0）．19．A，B兩個村莊在如圖所示的直角坐標系中，那么：（1）點A的坐標為（1，1），點B的坐標為（5，2）；（2）在x軸上有一條河，現(xiàn)準備在河流邊上建一個抽水站P，使得抽水站P到A、B兩個村莊的距離之和最小，請作出點P的位置，并求此時距離之和的最小值．【分析】（1）根據(jù)圖象即可得到答案；（2）先求出點A關(guān)于x軸的對稱點A′的坐標，連接A′B交x軸于P，此時PA+PB最小，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）點A的坐標為（1，1），點B的坐標為（5，2），故答案為：（1，1），（5，2）；（2）作A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′B交x軸于P，則點P就是使得抽水站到兩個村莊的距離之和最小，即PA+PB最小的點，A′B的長度即為PA+PB的最小值，∴PA+PB的最小值＝A′B＝＝5．20．在平面直角坐標系中，函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2﹣4（m為常數(shù)）的圖象記為G．（1）設(shè)m＞0，當G經(jīng)過點（2，0）時，求此函數(shù)的表達式，并寫出頂點坐標．（2）判斷圖象G與x軸公共點的個數(shù)，并說明理由．（3）當2m≤x≤m+3時，圖象G的最高點與最低點縱坐標之差為9，求m的取值范圍．（4）線段AB的端點坐標分別為A（0，2）、B（7，4），當圖象G與x軸有兩個公共點時，設(shè)其分別為點C、點D（點C在點D左側(cè)），直接寫出四邊形ACDB周長的最小值及此時m的值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法和配方法解答即可；（2）令y＝0，則x2﹣2mx+m2﹣4＝0，利用一元二次方程的判別式大于0解答即可；（3）利用分類討論的思想方法分三種情形，利用函數(shù)的圖象的性質(zhì)分別求得二次函數(shù)的最大與最小值，依據(jù)題意列出等式解答即可；（4）利用勾股定理求得線段AB的長，利用C，D的坐標得到CD的長，則當AC+BD取得最小值時，四邊形ACDB的周長最小，將點B向左平移四個單位得到B′（3，4），作點B′關(guān)于x軸的對稱點B″（3，﹣4），連接B″C，利用將軍飲馬模型即可求得AC+BD的最小值A(chǔ)B″；利用勾股定理計算得到AB″，則四邊形ACDB周長的最小值可求，利用待定系數(shù)法求得AB″的解析式，令y＝0即可求得C點坐標，則m值可求．【解答】解：（1）∵G經(jīng)過點（2，0）∴4﹣4m+m2﹣4＝0，解得：m＝0或4．∵m＞0，∴m＝4．∴此函數(shù)的表達式為y＝x2﹣8x+12．∵y＝x2﹣8x+12＝（x﹣4）2﹣4，∴此函數(shù)圖象的頂點坐標為（4，﹣4）；（2）圖象G與x軸公共點的個數(shù)為兩個，理由：令y＝0，則x2﹣2mx+m2﹣4＝0，∴Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣4）＝4m2﹣4m2+16＝16＞0，∴方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0由兩個不相等的實數(shù)根，即拋物線圖象G與x軸有兩個公共點；（3）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣4＝（x﹣m）2﹣4，∴拋物線的頂點為（m，﹣4）．①當m＜﹣3時，由于2m＜m＜m+3，則m﹣2m＞m+3﹣m，∴當x＝m時，函數(shù)y取最小值﹣4，當x＝2m時，函數(shù)y取最大值為m2﹣4，由題意得：m2﹣4﹣（﹣4）＝9，解得：m＝±3，均不符合題意，舍去；②當﹣3≤m≤0時，則2m≤m≤m+3，且m﹣2m≤m+3﹣m，∴當x＝m時，函數(shù)y取最小值﹣4，當x＝m+3時，函數(shù)y取最大值為5，由題意得：5﹣（﹣4）＝9，符合題意，∴當﹣3≤m≤0時符合題意；③0＜m＜3時，m＜2m＜m+3，∴當x＝2m時，函數(shù)y取最小值m2﹣4，當x＝m+3時，函數(shù)y取最大值為5，由題意得：5﹣（m2﹣4）＝9，解得：m＝0，不合題意，舍去，綜上，m的取值范圍為：﹣3≤m≤0；（4）令y＝0，則x2﹣2mx+m2﹣4＝0，解得：x＝m+2或m﹣2，∵點C在點D左側(cè)，∴C（m﹣2，0），D（m+2，0）．∴CD＝（m+2）﹣（m﹣2）＝4．如圖，AB＝＝，當四邊形ACDB的周長最小時，即AC+BD最小．將點B向左平移四個單位得到B′（3，4），則BB′＝4，BB′∥CD，∴CD＝BB′＝4，∴四邊形B′CDB為平行四邊形，∴B′C＝BD，∴BD+AC＝AC+B′C．作點B′關(guān)于x軸的對稱點B″（3，﹣4），連接B″C，則B″C＝B′C，由將軍飲馬模型可知：此時BD+AC＝AC+B′C＝AC+B″C＝AB″，AC+BD取得最小值為AB″．∴AB″＝＝3，∴四邊形ACDB的周長的最小值為：AB+CB+AB″＝4+3；設(shè)直線AB″的解析式為y＝kx+n，∴，解得：，∴直線AB″的解析式為y＝﹣2x+2，令y＝0，則﹣2x+2＝0，∴x＝1，此時C（1，0），∴m﹣2＝1，∴m＝3．∴四邊形ACDB周長的最小值為4+3+，此時m的值為3．21．如圖，直線l∥m，在直線l，m上分別取點M，N，使MN⊥線l，連接AM，MN，BN，當AM+MN+BN最小時，求點M，N的位置．【分析】把A向下平移MN的長度，則A1B與l2的交點就是N的位置，據(jù)此即可作出．【解答】解：過A作AA1⊥l，且AA1＝MN，連A1B，交m于N，過N作MN⊥m交l1于M，連AM，則AM+MN+BN最?。?2．在△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上一點，以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE．設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如圖（1），點D在線段BC上移動時，①角α與β之間的數(shù)量關(guān)系是α+β＝180°；②若線段BC＝2，點A到直線BC的距離是3，則四邊形ADCE周長的最小值是8；（2）如圖（2），點D在線段BC的延長線上移動時，①請問（1）中α與β之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果成立，請說明理由；②線段BC、DC、CE之間的數(shù)量是CE＝BC+CD．【分析】（1）①先證∠CAE＝∠BAD，再證明△ABD≌△ACE，得出對應(yīng)角相等∠ABD＝∠ACE，即可得出結(jié)論；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）①如圖2，根據(jù)等式的性質(zhì)就可以得出∠CAE＝∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出結(jié)論；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）①α+β＝180°；理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC∴∠CAE＝∠BAD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，故答案為：α+β＝180°；②由①知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，AD＝AE，∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，當AD⊥BC時，AD最短，即四邊形ADCE周長的值最小，∵點A到直線BC的距離是3，∴AD＝AE＝3，∴四邊形ADCE周長的最小值是2+3+3＝8