2022年高考數(shù)學(xué)沖刺必考解析：解析幾何綜合題解題思路與案例分析

解析幾何綜合題解題思路案例分析

解析幾何綜合題是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容之一.這類(lèi)試題往往以解析幾何知識(shí)為

載體，綜合函數(shù)、不等式、三角、數(shù)列等知識(shí)，所涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，對(duì)解題能

力考查的層次要求較高，考生在解答時(shí)，常常表現(xiàn)為無(wú)從下手，或者半途而廢。據(jù)

此筆者認(rèn)為：解決這一類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于：通觀全局，局部入手，整體思維.即在

掌握通性通法的同時(shí)，不應(yīng)只形成一個(gè)一個(gè)的解題套路，解題時(shí)不加分析，跟著感

覺(jué)走，做到那兒算那兒.而應(yīng)當(dāng)從宏觀上去把握，從微觀上去突破，在審題和解題

思路的整體設(shè)計(jì)上下功夫，不斷克服解題征途中的道道運(yùn)算難關(guān).

1判別式一一解題時(shí)時(shí)顯神功

22

案例1已知雙曲線(xiàn)C:/卷=1,直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)兒歷,0),斜率為3當(dāng)0<女<1時(shí)，雙

曲線(xiàn)的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線(xiàn)/的距離為后,試求2的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。

分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門(mén)學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必

然是研究解析幾何問(wèn)題的重要手段.從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不

難想到：過(guò)點(diǎn)B作與/平行的直線(xiàn)，必與雙曲線(xiàn)C相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所

構(gòu)造方程的判別式△=().由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：

/:y=k(x-42)(0<A:<1)

直線(xiàn)/‘在/的上方且到直線(xiàn)/的距離為J5

丁=履+42贈(zèng)構(gòu)'的娥弋入雙曲線(xiàn)方程’消去"令判別式八二°

解得R的值

解題過(guò)程略.

分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有

且僅有一點(diǎn)B到直線(xiàn)/的距離為后”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解.據(jù)此設(shè)計(jì)出如下

解題思路：

問(wèn)題

Ikx-V2+X2-V2A:|

關(guān)于X的方程J------；-------——=V2(0<%<1)有唯一解

“+1

口轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題

求解

簡(jiǎn)解：設(shè)點(diǎn)加(工,五下)為雙曲線(xiàn)C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線(xiàn)/的距離為:

kx-V2+X2—V2Zrl

——-p=JO(0<%<1)(*)

于是，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x的方程.

由于0<%<1,所以J2+—>兇>點(diǎn),從而有

kx-，2+尸-=-kx-\-，2+x~+yp2.k.

于是關(guān)于x的方程(*)

<=>-kx+,2+.2+y[2k=J2/2+1)

o(72+x2)2=(52(.2+1)-41k+kx)2,

不2(匕+1)—>/2,k+kx>0

僅2_1卜2+2tq2（女2+I）-41k\c+仙女2+1）-行4-2=0,

小2（匕+1）-+kx>0.

由0〈左＜1可知:

方程(代_1卜2+2kH2*2+D-以卜+仙人+1)-五R-2=0的二根同正，故

12(r+1)-揚(yáng):+?。?恒成立,于是(*)等價(jià)于

(k2—1卜2+2kH2@2+D—亞加+仙/+1)-J2kf-2=0.

由如上關(guān)于x的方程有唯一解，得其判別式△=(),就可解得k=*

點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體

思維的優(yōu)越性.

2判別式與韋達(dá)定理—二者聯(lián)用顯奇效

案例2已知橢圓C:/+2y2=8和點(diǎn)p(4,1),過(guò)P作直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，

在線(xiàn)段AB上取點(diǎn)Q,使尊=-震，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線(xiàn)的方程.

分析：這是一個(gè)軌跡問(wèn)題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。

其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解.因此，首先是選定參數(shù)，然后想方

設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過(guò)消參可達(dá)到解題的目的.

由于點(diǎn)。(x,y)的變化是由直線(xiàn)AB的變化引起的，自然可選擇直線(xiàn)AB的斜率女作

為參數(shù)，如何將與女聯(lián)系起來(lái)？一方面利用點(diǎn)Q在直線(xiàn)AB上；另一方面就是運(yùn)用

題目條件：喧=-黑來(lái)轉(zhuǎn)化?由A、B、P、Q四點(diǎn)共線(xiàn)，不難得至！U=4(?+：B)2XEB,

PBQB8-(xA+xs)

要建立尤與人的關(guān)系，只需將直線(xiàn)AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可.

通過(guò)這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒(méi)有開(kāi)始解題，但對(duì)于如何解決本題，

已經(jīng)做到心中有數(shù).

在得到X=/（A）之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參，目的不過(guò)是得

到關(guān)于的方程（不含外，則可由"心-4）+1解得4=2二1,直接代入即可

x-4

得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過(guò)程。

簡(jiǎn)解：設(shè)他,必）向?qū)O必），Q（xM則由蕓=-哭可得：匕==士土，

PBQBx2-4x2-x

解之得：,=4（司+%2）-2.》2（1）

8—（X]+%）

設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：八力-4）+1,代入橢圓C的方程，消去y得出關(guān)于x的一

元二次方程:

(21+1卜2+軟(]_4%)x+2(1-的2-8=0(2)

4Z(4火-1)

x,+x,=-------,

.I'2Ik2+\

2(1-42)2-8

x,x=-----；-----.

122k2+1

代入(1),化簡(jiǎn)得：x=竺與.

k+2

與y=&(x-4)+1聯(lián)立，消去女得：(2x+y-4)(x-4)=0.

在(2)中，由A=—64代+64k+24>0,解得?一回〈kJ+回,結(jié)合(3)可求

44

16-2V1016+2V10

得--------<x<--------

故知點(diǎn)Q的軌跡方程為：2x+y-4=0(16-*<"6+*)

99

點(diǎn)評(píng)：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判

別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到.這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)

在消去參?，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問(wèn)題求解的一條有

效通道.

3求根公式——呼之欲出亦顯靈

案例3設(shè)直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)P(0,3),和橢圓<+4=1順次交于A、B兩點(diǎn)，試求瞿的

94PB

取值范圍.

分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：翟=-土，但從此后卻一籌莫展，問(wèn)題

rt3xB

的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠.事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一

是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)(或某兒個(gè))參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式(或方程)，這只需利用對(duì)

應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.

分析1：從第一條想法入手，區(qū)已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量

PBxB

工4,4,同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個(gè)變量一一直線(xiàn)4?

的斜率4.問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如何將乙,4轉(zhuǎn)化為關(guān)于力的表達(dá)式，到此為止，將直線(xiàn)方程

代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.

簡(jiǎn)解1：當(dāng)直線(xiàn)/垂直于x軸時(shí)，可求得孩=-1;

當(dāng)/與x軸不垂直時(shí)，設(shè)A（和凹）,5（孫必），直線(xiàn)/的方程為：y-kx+3,代入橢圓

方程，消去y得

(91+4*+54依+45=0

-27/±6形2一5

解之得

孔2=9a+4

因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮4>0的情形.

“0時(shí)，寸金^^,“包?

19k2+4-9r+4

所以”一x--9"2k?=i______18^_=1_______18

PBx29—+2,9左2—5穌+2的6—59+2，9二%

由△=(—54女尸一180(9左2+4)20,解得k2>~,

9

所以-1<1-------'=<」，

9+2月%5

綜上一W

分析2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不

等的根源.由判別式值的非負(fù)性可以很快確定人的取值范圍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何將

所求量與女聯(lián)系起來(lái).一般來(lái)說(shuō)，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問(wèn)題的橋梁，但本題無(wú)法直

接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于當(dāng)=-%不是關(guān)于不看的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式.原因找到后，解決

PBX-,

問(wèn)題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于七小的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式.

簡(jiǎn)解2：設(shè)直線(xiàn)/的方程為：y=H+3,代入橢圓方程，消去y得

(9^+4*+54依+45=0(*