專題4.9函數y=asin(ωxφ)的圖象及應用-重難點題型精講（舉一反三）（新高考地區(qū)專用）（解析版）

專題4.9函數的圖象及應用-重難點題型精講1．勻速圓周運動的數學模型筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環(huán)保，至今還在農業(yè)生產中得到使用(圖5.6-2).明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖5.6-2).假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.2．,A對函數的圖象的影響(1)對的圖象的影響函數（其中）的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有的點向左(當>0時)或向右(當<0時)平移||個單位長度而得到(可簡記為“左加右減”).(2)對的圖象的影響

函數的圖象，可以看作是把的圖象上所有點的橫坐標縮短(當>1時)或伸長(當0<<1時)到原來的倍(縱坐標不變)而得到.(3)對的圖象的影響

函數的圖象，可以看作是把圖象上所有點的縱坐標伸長(當A>1時)或縮短(當0<A<1時)到原來的A倍(橫坐標不變)而得到.(4)由函數的圖象得到函數的圖象以上兩種方法的圖示如下：3．函數的圖象類似于正弦型函數，余弦型函數的圖象的畫法有以下兩種.

(1)“五點法”，令，求出相應的x值及y值，利用這五個點，可以得到在一個周期內的圖象，然后再把這一段上的圖象向左向右延伸，即得的圖象.

(2)“變換作圖法”的途徑有兩種.

一是類似于正弦型函數的變換作圖法，可由的圖象通過變換作圖法得到(>0,A>0)的圖象，即：二是由誘導公式將余弦型函數轉化為正弦型函數，即，再由的圖象通過變換作圖法得到的圖象即可.【題型1函數的圖象】【方法點撥】用“五點法”畫函數(x∈R)的簡圖，先作變量代換，令X=，再用方程思想由X取來確定對應的x值，最后根據x,y的值描點、連線、擴展，畫出函數的圖象.【例1】（2021·全國·高一專題練習）用五點法作函數f(x)＝sin(2x?π3)A．(π6,0)，(5π12,1)B．(π6,0)，(5π12,1)C．(π6,0)，(5π12,1)D．(π6,0)，(5π12,0)【解題思路】令2x－π3＝0可得x＝π【解答過程】令2x－π3＝0可得x＝π6，又函數的最小正周期為T=2π所以五點的坐標依次是(π6,0)，(5π12,1)，故選：A.【變式1-1】（2022·全國·高一課時練習）用“五點法”作函數y=cosA．5π12,0 C．5π12,1 【解題思路】利用余弦函數的五點作圖求解即可【解答過程】令4x?π6=3π2，得x=故選A.【變式1-2】（2022·廣東揭陽·高一期末）某同學用“五點法”畫函數fxωx+φ0ππ3π2xπ5πA05?50根據表格中的數據，函數fx的解析式可以是（

）A．fx=5C．fx=5sin【解題思路】根據函數最值，可求得A值，根據周期公式，可求得ω值，代入特殊點，可求得φ值，即可得答案.【解答過程】由題意得最大值為5，最小值為-5，所以A=5，T2=5π6?又2×π3+φ=所以fx的解析式可以是f故選：A.【變式1-3】（2022·全國·高一課時練習）用五點法作函數y=Asinxπ2πωx+φ0ππ3π2πy040-40則A，ω，φ的值分別為（

）A．4，2，?π3 B．4，12，π3 C．4，2，π6【解題思路】由表中數據求出A、T的值，利用周期公式可求ω的值，根據圖象過(π6，0)，即可求得【解答過程】解：由表中的最大值為4，最小值為?4，可得A=4，由2π3?π6=∵y=4sin(2x+φ)，圖象過(π∴0=4sin(π6×2+φ)，∴π∵|φ|<π2，∴當k=0時，故選：A．【題型2三角函數的圖象變換】【方法點撥】可以使用“先伸縮后平移”或“先平移后伸縮”兩種方法來進行變換.【例2】（2022·山西臨汾·高三期中）為了得到y(tǒng)=sin3x的圖象，只需將y=cosA．向左平移3π4個單位長度 B．向左平移7πC．向右平移5π4個單位長度 D．向右平移π【解題思路】由函數圖像平移的左加右減原則即可求解.【解答過程】設f(x)=cos由f(x+7π只需將y=cos3x?π即可得到y(tǒng)=sin故選：B.【變式2-1】（2022·貴州遵義·高三期中（理））為了得到函數y=sinx的圖象，只要把函數y=sinA．向右平移π6個單位長度 B．向左平移πC．向右平移π3個單位長度 D．向左平移π【解題思路】根據三角函數圖象的平移變換規(guī)律，即可判斷出答案.【解答過程】因為sinx=sin[(x+只要把函數y=sinx+π故選：C.【變式2-2】（2022·天津·高一期末）已知函數f(x)=sin(ωx+φ)（其中ω>0,|φ|<πA．向左平移π6個單位 B．向左平移πC．向右平移π6個單位 D．向右平移π【解題思路】根據三角函數的性質得f(【解答過程】解：由題設T=2×π2所以，f(因為一個對稱中心為-π6,0所以，將(-π6,0)代入可得sin(-所以，f(所以，函數f(x)的圖像向右平移π故選：C.【變式2-3】（2022·江西·高三階段練習（文））為了得到函數y=2cos2x-2A．所有點的橫坐標縮短到原來的12，縱坐標不變，再向右平移πB．所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再向左平移π6C．向右平移π3個單位長度，再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2D．向左平移π6個單位長度，再將所得圖象所有點的橫坐標縮短到原來的1【解題思路】根據三角函數平移和伸縮變換原則，結合誘導公式可得到結果.【解答過程】對于A，將y=2sinx橫坐標縮短到原來的12，可得y=2sin2x對于B，將y=2sinx橫坐標伸長到原來的2倍，可得y=2sin12對于C，將y=2sinx向右平移π3個單位，可得y=2sinx對于D，將y=2sinx向左平移π6個單位，可得y=2sinx故選：A.【題型3由圖象確定函數的解析式】【方法點撥】根據部分圖象求出解析式中的A，，即可得解.【例3】（2022·四川省高三階段練習（文））函數fx=2sinωx+φA．2，?π3 C．4，?π6 【解題思路】根據周期即可求解ω，代入最高點即可求解φ.【解答過程】由圖象知函數周期T=211∴ω=2ππ得2=2sin2×5∴5π又?π故選：A.【變式3-1】（2022·天津市高三期中）已知函數fx=Asinωx+φ+b（其中A>0，ω>0，φA．?3?1 B．3?1 C．3【解題思路】由圖像最高的與最低點x的距離得出fx的周期，通過周期得到ω再由函數最小值點的x值與三角函數性質得出φ；再由圖像上兩點代入fx得出A，b通過周期得到f2023π=f【解答過程】設圖中最高點的x=a，由正弦型函數的性質可得x=a是fx則a=?則由圖可得12則T=2π∵ω>0，∴ω=2，∵A>0，且x=?5π12為fx∴2×?5π12∵φ∴φ=π∴fx由圖知fx上的點?5π12代入fx=Asin化簡為?A+b=?312A+b=0則fx∵fx的周期為π∴f2023故選：B.【變式3-2】（2022·江西·高三階段練習（理））將函數f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,?π<φ<0)的圖象上所有點向右平移π6個單位長度，得到如圖所示的函數y=g(x)的圖象，則f(0)+fA．0 B．1 C．2 D．?1【解題思路】由三角函數的圖象變換得到g(x)的解析式，再由其圖象性質得出A,ω,φ后計算原式【解答過程】依題意，g(x)=Acos故A=2，又g(x)的周期T滿足T4=π3?所以g(x)=2cos又gπ3=2又?π<φ<0，所以φ=?π所以f(0)+fπ故選：C.【變式3-3】（2022·四川·高三階段練習（理））已知函數fx=AsinA．fx的最小正周期為B．fC．fx關于直線x=D．將fx的圖像向左平移5【解題思路】根據圖象求出A，ω和φ的值，然后利用三角函數的圖象和性質即可求解．【解答過程】解：由圖可知A=3，T4=π6?(?由2πω=π，可得因為f(?π12)=3所以?π6+φ=2kπ?π2因為|φ|<π2，所以φ=?π3，所以由2x?π3=k即fx關于直線x=將f(x)的圖象向左平移5π12個單位長度后得到所以f(x)為偶函數，圖象不關于原點對稱.故選：D.【題型4圖象與性質的綜合應用】【方法點撥】結合具體題目，研究函數的圖象與性質時，可將看作一個整體，利用換元法和數形結合思想靈活求解.【例4】（2022·山東·高二階段練習）已知函數f((1)求f((2)若fα2=(3)先將f(x)的圖像橫坐標不變，縱坐標縮短到原來的12倍，得到函數g(x)圖像，再將g(x【解題思路】（1）根據函數圖像得A=2，34T=3π4，ω（2）結合（1）得sinα-π（3）由函數圖像平移變換得?(x)=-cos2x，進而得【解答過程】（1）解：由圖可知，A=2，34T=5所以f(再將點5π12,2代入得2=2sin因為φ<π，所以所以f(令2x-π所以，f(x（2）解：由（1）知f(所以fα2=2sin因為2α所以cos2（3）解：將f(x)的圖像橫坐標不變，縱坐標縮短到原來的1再將g(x)圖像右平移π12個單位后得到因為x∈π12所以令π≤2x≤所以，函數y=?(x)【變式4-1】（2022·江西·高二階段練習）已知函數fx=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示，將函數fx(1)求函數gx(2)若對于?x∈0,π3【解題思路】（1）先根據函數圖象求出fx的解析，再利用圖象變換規(guī)律可求出g（2）由x∈0,π3，得3x+π6∈π6,【解答過程】（1）由fx的圖象可得A=2，T所以T=π，所以2πω所以fx因為fx的圖象過5π所以2sin2×5π所以5π6+φ=2k因為|φ|<π，所以φ=所以fx將函數fx的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?3，縱坐標不變，可得再將所得函數圖象向右平移π6y=2sin所以g(x)=2（2）由x∈0,π3所以sin3x+所以2sin所以g(x)∈?1,2當g(x)=0時，?3≤0恒成立，當g(x)∈[?1,0)時，則由gx得m≤g(x)?3因為函數y=x?3x在所以g(x)?所以m≤2，當g(x)∈(0,2]，則由gx得m≥g(x)?3因為函數y=x?3x在所以g(x)?所以m≥1綜上12即實數m的取值范圍為12【變式4-2】（2022·河南安陽·高三階段練習（文））函數fx(1)求函數f(x)的解析式，并求出f(x)圖象的對稱軸方程.(2)是否存在實數a，使得函數F(x)=f(x)?a在0,nπn∈N?上恰有2023個零點？若存在，求出【解題思路】（1）由圖可得T=π，由周期公式可得由圖可得ω，fx的圖象過點π12,1可得（2）由（1）可得y=fx的圖象與直線y=a在0,nπn∈N*上恰有2023個交點，分a<?1或a>1、a=?1或a=1、?1<a<【解答過程】（1）由圖可得A=1,34T=因為fx=sin2x+φ的圖象過點又φ<π2，所以φ=所求對稱軸方程為2x+π3=k（2）由（1）可得y=fx的圖象與直線y=a在0,nπn∈N*上恰有2023個交點，且函數y=fx的周期是①當a<?1或a>1時，y=fx的圖象與直線y=a在0,n②當a=?1或a=1時，y=fx的圖象與直線y=a在0,π上僅有一個交點，且在區(qū)間0,π此時y=fx的圖象與直線y=a在0,nπn∈③當?1<a<32或32<a<1時，y=fx的圖象與直線y=a在0,π上恰有2個交點，且在區(qū)間0,π內部，根據周期性，在區(qū)間k?1④當a=32時，y=fx的圖象與直線y=a且三個交點的橫坐標為x1=0,x由3n?n?1=2023，解得n=1011，要使y=fx的圖象與直線y=a在0,n綜上，當a=?1或a=1時，n=2023；當a=32時，【變式4-3】（2022·江蘇·高一單元測試）已知函數fx=Asinωx+φ，x∈R（其中A>0，(1)求函數fx(2)若fx的圖象向右平移π6個單位，再將所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數y=gx的圖象，當x∈0,π時，方程gx=2a有兩個不等的實根【解題思路】（1）由圖知A、T及ω，代入π6,0及φ的范圍可得φ，再由整體代入法可得（2）由圖象平移規(guī)律可得gx，根據x的范圍可得gx范圍，轉化為y=gx【解答過程】(1)由圖知，A=2，14T=5π12?由2sin2×π6+φ=2，即所以φ=2kπ+π6，∈Z，又φ∈0,故fx令2x+π6=所以fx的對稱軸方程為x=(2)由題意可得gx因為x∈0,π，所以x?所以gx所以方程gxy=gx的圖象與直線y=2a作圖可得1≤2a<2，所以12故實數a的取值范圍為12【題型5函數的零點（方程的根）的問題】【方法點撥】函數的零點（方程的根）的個數可轉化為兩個函數圖象的交點個數，利用函數的圖象與性質以及數形結合思想進行解題.【例5】（2022·廣西北?！ひ荒＃ɡ恚┮阎瘮礷x=cosωx?π3?12ω>0，將fxA．2,83 B．2,73 C．【解題思路】求得gx=cos2ωx?π3?【解答過程】gx=cos2ωx?π3?12，令t=2ωx?π3，由題意gx在故選：D．【變式5-1】（2022·遼寧沈陽·高三階段練習）已知函數f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的部分圖像如圖所示，其中B，C兩點的縱坐標相等，若函數gx=fA．32,73∪52,3 【解題思路】根據函數的部分圖像及周期公式求出函數fx的解析式，進而得到gx，根據已知條件得出T≤2【解答過程】由題意知,BC//x軸，所以fx的圖像的一條對稱軸方程為x=π2+2由于fx的圖像過π3,0由2×π3所以fx故g因為x∈π3,π解得32≤a<3，則因為y=sinx在4π且gx在π3,π內恰有3個零點，所以解得a∈11故選：D.【變式5-2】（2022·全國·高三階段練習（理））函數fx=2cosx+sinx?cosx?1的圖象向左平移π24個單位得到gxA．?1,0 B．?2,?1 C．?1,2【解題思路】先將fx化為fx=2sin【解答過程】因為fx所以gx因為x∈11π24當2x+π3∈5π當2x+π3∈3π當2x+π3∈5π因為gx?a=0有個不等實根，所以故選：B.【變式5-3】（2022·湖南省高三階段練習）將函數fx=sinx的圖象先向右平移π3個單位長度，再把所得函數圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?ω(ω>0)倍，縱坐標不變，得到函數gxA．0,29∪23,89 【解題思路】先由三角函數圖象平移規(guī)則求得函數gx=sin(ωx【解答過程】將函數fx=sinx的圖象先向右平移π再把所得函數圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?ω得到函數gx由函數gx在π2,3π2由2πω≥2π，可得假設函數gx在π則ωx-π3由π2<k又0<ω≤1，則則由函數gx在π2,3π2故選：A.【題型6三角函數模型】【方法點撥】利用三角函數模型解決實際問題時，首先尋找與角有關的信息，確定選用正弦、余弦還是正切型函數模型；其次是尋找數據，建立函數解析式并解題；最后將所得結果“翻譯”成實際答案，要注意根據實際作答.【例6】（2022·全國·高三專題練習）一半徑為2m的水輪（如圖所示），水輪圓心O離水面1m，已知水輪逆時針轉動，每3s轉一圈，且當水輪上點P(1)試建立適當的坐標系，將點P距離水面的高度?m表示為時間t(2)點P第一次到達最高點大約要多長時間？【解題思路】（1）以水輪所在平面與水面的交線為x軸，以過點O且與水面垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，進而設?=Asin（2）令2sin2π3t?π6+1=3，解得t=1+3k【解答過程】（1）解：以水輪所在平面與水面的交線為x軸，以過點O且與水面垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，設?t=Asinωt+φ+k∵T=3=2πω，∴∴?=2sin∵t=0時，?=0，∴0=2sinφ+1，∴∵?π2<φ<0，∴?t（2）解：令2sin2π3∴2π3t?π6=π2+2kπ∴當k=0時，P第一次到達最高點，∴點P第一次到達最高點大約要1s【變式6-1】（2022·全國·高三專題練習）建設生態(tài)文明是關系人民福祉、關乎民族未來的長遠大計．某市通宵營業(yè)的大型商場，為響應國家節(jié)能減排的號召，在氣溫低于0°C時，才開放中央空調，否則關閉中央空調．如圖是該市冬季某一天的氣溫（單位：°C）隨時間t（0≤t≤24，單位：小時）的大致變化曲線，若該曲線近似滿足(1)求y=ft(2)請根據(1)的結論，求該商場的中央空調在一天內開啟的時長．【解題思路】(1)根據三角函數的圖像即可求y=ft(2)根據正弦函數的圖像與性質解ft<0,結合【解答過程】解：(1)因為ft=Asinωt?2所以A=12??42=8，所以T=2πω所以f(t)=8sinπ12(2)由(1)得，8sin所以sinπ所以7π解得22+24k<t<30+24k,k∈Z，因為0≤t≤24，所以0≤t<6，22<t≤24．所以該商場的中央空調應在本天內開啟時長為8小時．【變式6-2】（2022·全國·高一課時練習）某游樂場的摩天輪示意圖如圖．已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點與地面的距離為2米，沿逆時針方向勻速旋轉，旋轉一周所需時間為T=24分鐘．在圓周上均勻分布12個座艙，標號分別為1~12（可視為點），在旋轉過程中，座艙與地面的距離h與時間t的函數關系基本符合正弦函數模型，現(xiàn)從圖示位置，即1號座艙位于圓周最右端時開始計時，旋轉時間為t分鐘．(1)求1號座艙與地面的距離h與時間t的函數關系?t(2)在前24分鐘內，求1號座艙與地面的距離為17米時t的值；(3)記1號座艙與5號座艙高度之差的絕對值為H米，求當H取得最大值時t的值．【解題思路】（1）設1號座艙與地面的距離?與時間t的函數關系的解析式為?(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0，ω>0)，根據所給條件求出A、b、ω、（2）由（1）中的解析式?(t)=17，結合正弦函數的性質計算可得；（3）依題意可得?1，?5，從而得到高度差函數H=30【解答過程】（1）設1號座艙與地面的距離h與時間t的函數關系的解析式為?則A=30,b=32，∴?t依題意T=24min