(適用輔導班)2023-2024年高二數(shù)學寒假講義（基礎(chǔ)班）2.5《對數(shù)與對數(shù)函數(shù)》 (教師版)

頁第五節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)核心素養(yǎng)立意下的命題導向1.對數(shù)的運算性質(zhì)與對數(shù)的換底公式相結(jié)合考查對數(shù)的運算，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．2．與不等式等問題相結(jié)合考查對數(shù)函數(shù)的圖象及其應用，凸顯直觀想象、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．3．與不等式等問題相結(jié)合考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、值域等性質(zhì)，凸顯直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．對數(shù)概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對數(shù)式性質(zhì)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax＝N?x＝logaNloga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N運算法則loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0logaeq\f(M,N)＝logaM﹣logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)換底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)2．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝logaxa>10<a<1圖象性質(zhì)定義域為(0，＋∞)值域為R過定點(1,0)，即x＝eq\a\vs4\al(1)時，y＝eq\a\vs4\al(0)當x>1時，y>0；當x>1時，y<0；當0<x<1時，y<0當0<x<1時，y>0在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)3．底數(shù)的大小決定了圖象相對位置的高低不論是a＞1還是0＜a＜1，在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對應的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，如圖，0<c<d<1<a<b.在x軸上側(cè)，圖象從左到右相應的底數(shù)由小變大；在x軸下側(cè)，圖象從右到左相應的底數(shù)由小變大．(無論在x軸的上側(cè)還是下側(cè)，底數(shù)都按順時針方向變大)4．反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．[澄清盲點誤點]一、關(guān)鍵點練明1．(對數(shù)式的計算)計算：2＋lg8＋eq\f(3,2)lg25＋(eq\f(9,25))＝________.答案：52．(換底公式的應用)log225·log34·log59＝________.答案：83．(對數(shù)函數(shù)圖象過定點問題)已知函數(shù)y＝loga(x﹣3)﹣1的圖象恒過定點P，則點P的坐標是________．答案：(4，﹣1)4．(對數(shù)函數(shù)的定義域)函數(shù)y＝eq\r(log2x－1)的定義域為________．答案：[2，＋∞)5．(對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性)函數(shù)y＝log(3x﹣1)的單調(diào)遞減區(qū)間為________．答案：(eq\f(1,3)，＋∞)二、易錯點練清1．(對數(shù)的運算性質(zhì)不熟悉)有下列結(jié)論：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lgx＝1，則x＝10；④若log22＝x，則x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，則n＝9.其中正確結(jié)論的序號是____________．答案：①②③④⑤2．(忽視真數(shù)大于零)已知lgx＋lgy＝2lg(x﹣2y)，則eq\f(x,y)＝________.答案：43．(忽視對底數(shù)的討論)若函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值與最小值的差是1，則a＝________.答案：2或eq\f(1,2)考點一對數(shù)式的化簡與求值[典例](1)設(shè)alog34＝2，則4﹣a＝()A.eq\f(1,16)B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,8)D．eq\f(1,6)(2)計算下列各式的值：①log535＋2logeq\r(2)﹣log5eq\f(1,50)﹣log514；②[(1﹣log63)2＋log62·log618]÷log64.[解析](1)選B因為alog34＝2，所以log34a＝2，則有4a＝32＝9，所以4﹣a＝eq\f(1,4a)＝eq\f(1,9)，故選B.(2)①原式＝log535＋log550﹣log514＋2log2＝log5eq\f(35×50,14)＋log2＝log553﹣1＝2.②原式＝[(log66﹣log63)2＋log62×log6(2×32)]÷log64＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log6\f(6,3)))2＋log62×log62＋log632))÷log622＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62×log63]÷2log62＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.[方法技巧]解決對數(shù)運算問題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進行化簡．(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應用．(4)利用常用對數(shù)中的lg2＋lg5＝1.[針對訓練]1．(多選)若10a＝4,10b＝25，則()A．a(chǎn)＋b＝2B．b﹣a＝1C．a(chǎn)b>8lg22D．b﹣a>lg6解析：選ACD由10a＝4,10b＝25，得a＝lg4，b＝lg25，∴a＋b＝lg4＋lg25＝lg100＝2，故A正確；b﹣a＝lg25﹣lg4＝lgeq\f(25,4)，∵lg10＝1>lgeq\f(25,4)>lg6，∴1>b﹣a>lg6，故B錯誤，D正確；ab＝4lg2·lg5>4lg2·lg4＝8lg22，故C正確．故選A、C、D.2．計算：eq\f(1－log632＋log62·log618,log64)＝________.解析：原式＝eq\f(1－2log63＋log632＋log6\f(6,3)×log66×3,log64)＝eq\f(1－2log63＋log632＋1－log632,log64)＝eq\f(21－log63,2log62)＝eq\f(log66－log63,log62)＝eq\f(log62,log62)＝1.答案：13．已知log23＝a,3b＝7，則log3eq\r(7)2eq\r(21)的值為________．解析：由題意3b＝7，所以log37＝b.所以log3eq\r(7)2eq\r(21)＝logeq\r(63)eq\r(84)＝eq\f(log284,log263)＝eq\f(log222×3×7,log232×7)＝eq\f(2＋log23＋log23·log37,2log23＋log23·log37)＝eq\f(2＋a＋ab,2a＋ab).答案：eq\f(2＋a＋ab,2a＋ab)考點二對數(shù)函數(shù)的圖象及應用考法(一)對數(shù)函數(shù)圖象的辨析[例1]在同一直角坐標系中，函數(shù)y＝eq\f(1,ax)，y＝loga(x+eq\f(1,2))(a>0，且a≠1)的圖象可能是()[解析]法一：當a>1時，函數(shù)y＝ax的圖象過定點(0,1)，在R上單調(diào)遞增，于是函數(shù)y＝eq\f(1,ax)的圖象過定點(0,1)，在R上單調(diào)遞減，函數(shù)y＝loga(x+eq\f(1,2))的圖象過定點(eq\f(1,2),0)，在(﹣eq\f(1,2),+∞)上單調(diào)遞增．顯然A、B、C、D四個選項都不符合．當0<a<1時，函數(shù)y＝ax的圖象過定點(0,1)，在R上單調(diào)遞減，于是函數(shù)y＝eq\f(1,ax)的圖象過定點(0,1)，在R上單調(diào)遞增，函數(shù)y＝loga(x+eq\f(1,2))的圖象過定點(eq\f(1,2),0)，在(﹣eq\f(1,2),+∞)上單調(diào)遞減．因此，選項D中的兩個圖象符合，故選D.法二：易知a與eq\f(1,a)必有1個大于1,1個小于1，則f(x)＝(eq\f(1,a))x與g(x)＝loga(x+eq\f(1,2))在各自定義域內(nèi)單調(diào)性相反，可排除B；由g(eq\f(1,2))＝0可排除A、C.故選D.[答案]D[方法技巧]研究對數(shù)型函數(shù)圖象的思路研究對數(shù)型函數(shù)的圖象時，一般從最基本的對數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到．特別地，要注意底數(shù)a>1或0<a<1這兩種不同情況．考法(二)對數(shù)函數(shù)圖象的應用[例2]當0<x≤eq\f(1,2)時，4x<logax，則a的取值范圍是()A.(0，eq\f(\r(2),2))B.(eq\f(\r(2),2)，1)C．(1，eq\r(2))D．(eq\r(2)，2)[解析]構(gòu)造函數(shù)f(x)＝4x和g(x)＝logax，當a>1時不滿足條件，當0<a<1時，畫出兩個函數(shù)的圖象如圖所示，可知f(eq\f(1,2))<g(eq\f(1,2))，即2<logaeq\f(1,2)，則a>eq\f(\r(2),2)，所以a的取值范圍為(eq\f(\r(2),2)，1).[答案]B[方法技巧]與對數(shù)型函數(shù)有關(guān)的方程或不等式問題常常結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象來解決，即數(shù)形結(jié)合法，應用時要準確畫出圖象，把方程根、不等式的解等問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象之間的問題．[針對訓練]1．在同一直角坐標系中，函數(shù)f(x)＝xa(x>0)與g(x)＝logax的圖象可能是()解析：選A易知g(x)的圖象過點(1,0)．若0<a<1，則函數(shù)f(x)＝xa(x>0)單調(diào)遞增，且遞增趨勢越來越慢，函數(shù)g(x)＝logax單調(diào)遞減．顯然四個選項不滿足條件．若a>1，則函數(shù)g(x)＝logax單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)＝xa(x>0)單調(diào)遞增且遞增趨勢越來越快，顯然只有選項A滿足條件．故選A.2．已知函數(shù)f(x)＝|lnx|.若0<a<b，且f(a)＝f(b)，則a＋4b的取值范圍是()A．(4，＋∞)B．[4，＋∞)C．(5，＋∞)D．[5，＋∞)解析：選C由f(a)＝f(b)得|lna|＝|lnb|，根據(jù)函數(shù)y＝|lnx|的圖象及0<a<b，得﹣lna＝lnb,0<a<1<b，eq\f(1,a)＝b.令g(b)＝a＋4b＝4b＋eq\f(1,b)，易得g(b)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(b)>g(1)＝5.3．已知函數(shù)f(x)＝|logx|的定義域為[eq\f(1,2),m]，值域為[0,1]，則m的取值范圍為________．解析：作出f(x)＝|logx|的圖象(如圖)，可知f(eq\f(1,2))＝f(2)＝1，f(1)＝0，由題意結(jié)合圖象知：1≤m≤2.答案：[1,2]考點三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用考法(一)與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域問題[例1]若函數(shù)y＝log2(mx2﹣2mx＋3)的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(0,3)B．[0,3)C．(0,3]D．[0,3][解析]由題意知mx2﹣2mx＋3>0恒成立．當m＝0時，3>0，符合題意；當m≠0時，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ＝－2m2－12m<0，))解得0<m<3.綜上0≤m<3，故選B.[答案]B[方法技巧]已知f(x)＝loga(px2＋qx＋r)(a>0，且a≠1)的定義域為R，求參數(shù)范圍時，要注意分p＝0，p≠0討論．同時p≠0時應結(jié)合圖象說明成立條件．考法(二)與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的比較大小問題[例2](1)設(shè)a＝30.7，b＝(eq\f(1,3))﹣0.8，c＝log0.70.8，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b(2)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，則()A．a(chǎn)＞2bB．a(chǎn)＜2bC．a(chǎn)＞b2D．a(chǎn)＜b2[解析](1)由題知c＝log0.70.8<1，b＝(eq\f(1,3))﹣0.8＝30.8，易知函數(shù)y＝3x在R上單調(diào)遞增，所以b＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以c<a<b，故選D.(2)法一：令f(x)＝2x＋log2x，因為y＝2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b＜22b＋log2(2b)，所以f(a)＜f(2b)，所以a＜2b.故選B.法二：由2a＋log2a＝4b＋2log4b＝4b＋log2b，取b＝1，得2a＋log2a＝4.令f(x)＝2x＋log2x﹣4，則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)＜0，f(2)＞0，所以f(1)f(2)＜0，f(x)＝2x＋log2x﹣4在(0，＋∞)上存在唯一的零點，所以1＜a＜2，故a＞2b＝2，a＜b2都不成立，排除A、D；取b＝2，得2a＋log2a＝17.令g(x)＝2x＋log2x﹣17，則g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且g(3)＜0，g(4)＞0，所以g(3)g(4)＜0，g(x)＝2x＋log2x﹣17在(0，＋∞)上存在唯一的零點，所以3＜a＜4，故a＞b2＝4不成立，排除C.故選B.[答案](1)D(2)B[方法技巧]對數(shù)函數(shù)值大小比較的方法單調(diào)性法在同底的情況下直接得到大小關(guān)系，若不同底，先化為同底中間量過渡法尋找中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個數(shù)，一般是用“0”，“1”或其他特殊值進行“比較傳遞”圖象法根據(jù)圖象觀察得出大小關(guān)系考法(三)與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的不等式問題[例3]設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,log\f(1,2)－x，x＜0.))若f(a)＞f(﹣a)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(﹣1,0)∪(0,1)B．(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞)C．(﹣1,0)∪(1，＋∞)D．(﹣∞，﹣1)∪(0,1)[解析]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,log2a＞－log2a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,－log2－a＞log2－a，))解得a＞1或﹣1＜a＜0.故選C.[答案]C[方法技巧]簡單對數(shù)不等式問題的求解策略(1)解決簡單的對數(shù)不等式，應先利用對數(shù)的運算性質(zhì)化為同底數(shù)的對數(shù)值，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解．(2)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和底數(shù)a的值有關(guān)，在研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，要按0<a<1和a>1進行分類討論．(3)某些對數(shù)不等式可轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．考法(四)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題[例4]已知函數(shù)f(x)＝loga(3﹣ax)．(1)當x∈[0,2]時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由．[解](1)因為a>0且a≠1，設(shè)t(x)＝3﹣ax，則t(x)＝3﹣ax為減函數(shù)，當x∈[0,2]時，t(x)的最小值為3﹣2a.又當x∈[0,2]時，f(x)恒有意義，即x∈[0,2]時，3﹣ax>0恒成立，所以3﹣2a>0，所以a<eq\f(3,2).又a>0且a≠1，所以a∈(0,1)∪(1,eq\f(3,2)).(2)t(x)＝3﹣ax，因為a>0，所以函數(shù)t(x)為減函數(shù)．因為f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，所以y＝logat為增函數(shù)，所以a>1，當x∈[1,2]時，t(x)最小值為3﹣2a，f(x)最大值為f(1)＝loga(3﹣a)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a>0，,loga3－a＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<\f(3,2)，,a＝\f(3,2).))故不存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1.[方法技巧]解決對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題的3個注意點(1)要分清函數(shù)的底數(shù)是a∈(0,1)，還是a∈(1，＋∞)．(2)確定函數(shù)的定義域，無論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個性質(zhì)，都要在其定義域上進行．(3)轉(zhuǎn)化時一定要注意對數(shù)問題轉(zhuǎn)化的等價性．[針對訓練]1．(多選)設(shè)函數(shù)y＝ln(x2﹣x＋1)，則下列命題中正確的是()A．函數(shù)的定義域為RB．函數(shù)是增函數(shù)C．函數(shù)的值域為RD．函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(1,2)對稱解析：選AD∵x2﹣x＋1＝(x-eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0恒成立，∴函數(shù)的定義域為R，A正確．函數(shù)y＝ln(x2﹣x＋1)在x>eq\f(1,2)時是增函數(shù)，在x<eq\f(1,2)時是減函數(shù)，B錯誤．由x2﹣x＋1＝(x-eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)可得y＝ln(x2﹣x＋1)≥lneq\f(3,4)，∴函數(shù)的值域為[lneq\f(3,4)，+∞)，C錯誤．易知函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(1,2)對稱，D正確．故選A、D.2．已知55<84，134<85.設(shè)a＝log53，b＝log85，c＝log138，則()A．a(chǎn)<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b解析：選A∵log53﹣log85＝log53﹣eq\f(1,log58)＝eq\f(log53·log58－1,log58)<eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log53＋log58,2)))2－1,log58)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log524,2)))2－1,log58)<eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log525,2)))2－1,log58)＝0，∴l(xiāng)og53<log85.∵55<84,134<85，∴5log85<4,4<5log138，∴l(xiāng)og85<log138，∴l(xiāng)og53<log85<log138，即a<b<c.3．已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)，若a＝g(﹣log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<cB．c<b<aC．b<a<cD．b<c<a解析：選C奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，當x>0時，f(x)>f(0)＝0，當x1>x2>0時，f(x1)>f(x2)>0，∴x1f(x1)>x2f(x2)，∴g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且g(x)＝xf(x)是偶函數(shù)，∴a＝g(﹣log25.1)＝g(log25.1)．∵2<log25.1<3,1<20.8<2，由g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，得g(20.8)<g(log25.1)<g(3)，∴b<a<c.故選C.4．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝log2(x＋1)，則滿足不等式f(a﹣2a2)＋4>0的實數(shù)a的取值范圍是________．解析：當x≥0時，f(x)＝log2(x＋1)，則f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(15)＝log2(15＋1)＝4.又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且函數(shù)f(x)是R上的連續(xù)函數(shù)，則f(x)在R上為增函數(shù)．因為f(a﹣2a2)＋4>0，即f(a﹣2a2)>﹣4，所以f(a﹣2a2)>f(﹣15)，即a﹣2a2>﹣15，解得﹣eq\f(5,2)<a<3.答案：(﹣eq\f(5,2)，3).5．已知logaeq\f(3,4)<1，那么a的取值范圍是________．解析：∵logaeq\f(3,4)<1＝logaa，∴當0<a<1時，y＝logax為減函數(shù)，得0<a<eq\f(3,4)；當a>1時，y＝logax為增函數(shù)，得a>eq\f(3,4)，∴a>1.綜上所述，a的取值范圍是(0，eq\f(3,4))∪(1，＋∞)．答案：(0，eq\f(3,4))∪(1，＋∞).創(chuàng)新思維角度——融會貫通學妙法指數(shù)式、對數(shù)式比大小類型(一)利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)比較大小比較大小時，若題設(shè)涉及指數(shù)式、對數(shù)式，則應考慮指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，此外，要特別注意數(shù)字“0”和“1”等在比較大小問題中的橋梁作用．[例1]設(shè)a＝5﹣0.7，b＝logeq\f(1,2)，c＝lgeq\f(3,4)，則這三個數(shù)之間的大小關(guān)系是()A.a>b>cB．a(chǎn)>c>bC.b>c>aD．b>a>c[解析]結(jié)合函數(shù)y＝5x，y＝logx，y＝lgx的圖象易知0<a＝5﹣0.7<50＝1，b＝logeq\f(1,2)>logeq\f(2,3)＝1，c＝lgeq\f(3,4)<lg1＝0，所以b>a>c.故選D.[答案]D[名師微點]利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)時，要注意考慮a，b，c與特殊數(shù)字“0”“1”的大小關(guān)系，以便比較大?。甗例2]若a＝(eq\f(1,5))﹣0.3，b＝log52，c＝e，則()A.a<b<cB．c<a<bC.b<c<aD．c<b<a[解析]結(jié)合指數(shù)函數(shù)y＝(eq\f(1,5))x的圖象易知a＝(eq\f(1,5))﹣0.3>1；結(jié)合對數(shù)函數(shù)y＝log5x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增可知b＝log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)；又c＝e＝eq\f(1,\r(e))∈(eq\f(1,2),1)，所以b<c<a.故選C.[答案]C[名師微點]本題易錯點是不會借助中間橋梁，比較log52與e的大?。捎趌og52與e均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，故需要尋找一個新的中間橋梁“eq\f(1,2)”，以便順利獲解．類型(二)利用特例法、設(shè)元法，巧解涉及三元變量的比較大小問題比較大小時，若題設(shè)涉及三個指數(shù)式連等，或三個對數(shù)式連等，則可利用特例法求解，也可在設(shè)元變形的基礎(chǔ)上，靈活運用相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)求解．[例3]設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則()A．3y<2x<5zB．2x<3y<5zC．3y<5z<2xD．5z<2x<3y[解析]法一：作差法令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z為正數(shù)，知k>1，則x＝eq\f(lgk,lg2)，y＝eq\f(lgk,lg3)，z＝eq\f(lgk,lg5).因為k>1，所以lgk>0，所以2x﹣3y＝eq\f(2lgk,lg2)﹣eq\f(3lgk,lg3)＝eq\f(lgk×2lg3－3lg2,lg2×lg3)＝eq\f(lgk×lg\f(9,8),lg2×lg3)>0，故2x>3y，又2x﹣5z＝eq\f(2lgk,lg2)﹣eq\f(5lgk,lg5)＝eq\f(lgk×2lg5－5lg2,lg2×lg5)＝eq\f(lgk×lg\f(25,32),lg2×lg5)<0，故2x<5z.所以3y<2x<5z.法二：作商法令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z為正數(shù)，知k>1，則x＝eq\f(lgk,lg2)，y＝eq\f(lgk,lg3)，z＝eq\f(lgk,lg5).因為eq\f(2x,3y)＝eq\f(2,3)×eq\f(lg3,lg2)＝eq\f(lg9,lg8)>1，所以2x>3y，又eq\f(5z,2x)＝eq\f(5,2)×eq\f(lg2,lg5)＝eq\f(lg25,lg52)>1，所以5z>2x.所以5z>2x>3y.法三：中間值法令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z為正數(shù)，知k>1，則x＝eq\f(lgk,lg2)，y＝eq\f(lgk,lg3)，z＝eq\f(lgk,lg5).所以3y＝eq\f(lgk,lg\r(3,3))，2x＝eq\f(lgk,lg\r(2))，5z＝eq\f(lgk,lg\r(5,5)).因為eq\r(3,3)＝eq\r(6,9)>eq\r(6,8)＝eq\r(2)，eq\r(2)＝eq\r(10,32)>eq\r(10,25)＝eq\r(5,5)，所以lgeq\r(3,3)>lgeq\r(2)>lgeq\r(5,5)>0.又k>1，所以lgk>0，所以3y<2x<5z.法四：取z＝1，則由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225<log232＝5z,3y＝log3125<log3243＝5z，所以5z最大．取y＝1，則由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29>3y.綜上可得，3y<2x<5z，故選A.[答案]A[名師微點]本例可利用特例法或設(shè)元法求解，利用特例法，顯得簡潔、明了；關(guān)鍵根據(jù)對數(shù)換底公式，將x，y，z寫成分式形式，分子相同，分母不同，因此可以利用作差法或作商法比較，也可借助中間值比較大?。斎唤忸}時也可直接取一個固定的k值．[例4]設(shè)x，y，z為正實數(shù)，且log2x＝log3y＝log5z>0，則eq\f(x,2)，eq\f(y,3)，eq\f(z,5)的大小關(guān)系不可能是()A.eq\f(x,2)<eq\f(y,3)<eq\f(z,5)B．eq\f(y,3)<eq\f(x,2)<eq\f(z,5)C.eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,5)D．eq\f(z,5)<eq\f(y,3)<eq\f(x,2)[解析]法一：取x＝2，則由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此時易知eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,5)，此時選項C正確．取x＝4，則由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此時易知eq\f(x,2)<eq\f(y,3)<eq\f(z,5)，此時選項A正確．取x＝eq\r(2)，則由log2x＝log3y＝log5z得y＝eq\r(3)，z＝eq\r(5)，此時易知eq\f(z,5)<eq\f(y,3)<eq\f(x,2)，此時選項D正確．綜上，利用排除法可知本題應選B.法二：設(shè)log2x＝log3y＝log5z＝k，則x＝2k，y＝3k，z＝5k，所以eq\f(x,2)＝2k﹣1，eq\f(y,3)＝3k﹣1，eq\f(z,5)＝5k﹣1.又易知k>0，接下來對k與1的大小關(guān)系加以討論．若k＝1，則eq\f(x,2)＝1，eq\f(y,3)＝1，eq\f(z,5)＝1，所以eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,5)，所以選項C有可能正確．若0<k<1，則根據(jù)函數(shù)f(t)＝tk﹣1在(0，＋∞)上單調(diào)遞減可得2k﹣1>3k﹣1>5k﹣1，所以eq\f(z,5)<eq\f(y,3)<eq\f(x,2)，所以選項D有可能正確．若k>1，則根據(jù)函數(shù)f(t)＝tk﹣1在(0，＋∞)上單調(diào)遞增可得2k﹣1<3k﹣1<5k﹣1，所以eq\f(x,2)<eq\f(y,3)<eq\f(z,5)，所以選項A有可能正確．綜上，利用排除法可知選B.[答案]B[名師微點]本例可取特例，在特例的基礎(chǔ)上，結(jié)合排除法解答；也可借助設(shè)元變形，先將目標問題等價轉(zhuǎn)化為考查2k﹣1,3k﹣1,5k﹣1的大小，再對冪函數(shù)f(x)＝xk﹣1的單調(diào)性加以討論分析．[提醒]冪函數(shù)y＝xa在(0，＋∞)上的單調(diào)性可分為三種情況：①若a>0，則單調(diào)遞增；②若a＝0，則為常數(shù)函數(shù)；③若a<0，則單調(diào)遞減．eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．log29·log32＋logaeq\f(5,4)＋loga(eq\f(4,5)a)(a>0，且a≠1)的值為()A．2B．3C．4D．5解析：選B原式＝2log23×log32＋logaa＝2×1＋logaa＝3.2．函數(shù)y＝eq\r(log2x－1)的定義域是()A．[1,2]B．[1,2)C.[eq\f(1,2)，1]D．(eq\f(1,2)，1]解析：選D由log(2x﹣1)≥0?0<2x﹣1≤1?eq\f(1,2)<x≤1.3．設(shè)a＝log3π，b＝log2eq\r(3)，c＝log3eq\r(2)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．b＞a＞cD．b＞c＞a解析：選A因為a＝log3π＞log33＝1，b＝log2eq\r(3)＜log22＝1，所以a＞b；又eq\f(b,c)＝eq\f(\f(1,2)log23,\f(1,2)log32)＝(log23)2＞1，c＞0，所以b＞c.故a＞b＞c.4．(多選)已知函數(shù)f(x)＝log(x＋eq\f(1,x))，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)的定義域為(0，＋∞)B．f(x)的值域為[﹣1，＋∞)C．f(x)是奇函數(shù)D．f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增解析：選AD由題知f(x)＝log(x＋eq\f(1,x))，則x＋eq\f(1,x)>0且x≠0，解得x>0，所以f(x)的定義域為(0，＋∞)，故A正確；因為x＋eq\f(1,x)≥2，所以f(x)≤﹣1，故B錯誤；因為f(x)的定義域不關(guān)于原點對稱，所以f(x)不是奇函數(shù)，故C錯誤；當x∈(0,1)時，y＝x＋eq\f(1,x)單調(diào)遞減，y＝logx也單調(diào)遞減，故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，故D正確．故選A、D.5．已知a>0，且a≠1，函數(shù)y＝loga(2x﹣3)＋eq\r(2)的圖象恒過點P.若點P也在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)＝________.解析：設(shè)冪函數(shù)為f(x)＝xα，因為函數(shù)y＝loga(2x﹣3)＋eq\r(2)的圖象恒過點P(2，eq\r(2))，則2α＝eq\r(2)，所以α＝eq\f(1,2)，故冪函數(shù)為f(x)＝x0.5.答案：x0.56．函數(shù)y＝log2|x＋1|的單調(diào)遞減區(qū)間為__________，單調(diào)遞增區(qū)間為__________．解析：作出函數(shù)y＝log2x的圖象，將其關(guān)于y軸對稱得到函數(shù)y＝log2|x|的圖象，再將圖象向左平移1個單位長度就得到函數(shù)y＝log2|x＋1|的圖象(如圖所示)．由圖知，函數(shù)y＝log2|x＋1|的單調(diào)遞減區(qū)間為(﹣∞，﹣1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣1，＋∞)．答案：(﹣∞，﹣1)(﹣1，＋∞)二、綜合練——練思維敏銳度1．已知函數(shù)f(x)＝lg(eq\r(1＋4x2)＋2x)＋2，則f(ln2)＋f(lneq\f(1,2))＝()A．4B．2C．1D．0解析：選A由函數(shù)f(x)的解析式可得：f(x)＋f(﹣x)＝lg(eq\r(1＋4x2)＋2x)＋2＋lg(eq\r(1＋4x2)﹣2x)＋2＝lg(1＋4x2﹣4x2)＋4＝4，∴f(ln2)＋f(lneq\f(1,2))＝f(ln2)＋f(﹣ln2)＝4.故選A.2．(多選)已知函數(shù)f(x)＝(log2x)2﹣log2x2﹣3，則下列說法正確的是()A．f(4)＝﹣3B．函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有兩個交點C．函數(shù)y＝f(x)的最小值為﹣4D．函數(shù)y＝f(x)的最大值為4解析：選ABCA正確，f(4)＝(log24)2﹣log242﹣3＝﹣3；B正確，令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x﹣3)＝0，解得x＝eq\f(1,2)或x＝8，即f(x)的圖象與x軸有兩個交點；C正確，因為f(x)＝(log2x﹣1)2﹣4(x＞0)，所以當log2x＝1，即x＝2時，f(x)取最小值﹣4；D錯誤，f(x)沒有最大值．3．若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，則()A．ln(y﹣x＋1)＞0B．ln(y﹣x＋1)＜0C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜0解析：選A由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，即2x﹣(eq\f(1,3))x＜2y﹣(eq\f(1,3))y.設(shè)f(x)＝2x﹣(eq\f(1,3))x，則f(x)＜f(y)．因為函數(shù)y＝2x在R上為增函數(shù)，y＝﹣(eq\f(1,3))x在R上為增函數(shù)，所以f(x)＝2x﹣(eq\f(1,3))x在R上為增函數(shù)，則由f(x)＜f(y)，得x＜y，所以y﹣x＞0，所以y﹣x＋1＞1，所以ln(y﹣x＋1)＞0，故選A.4．設(shè)函數(shù)f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)在(﹣∞，0)上單調(diào)遞增，則f(a＋1)與f(2)的大小關(guān)系是()A．f(a＋1)>f(2)B．f(a＋1)<f(2)C．f(a＋1)＝f(2)D．不能確定解析：選A由已知得0<a<1，所以1<a＋1<2，又易知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故可以判斷f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(a＋1)>f(2)．5．(多選)如果函數(shù)f(x)＝loga|x﹣1|在(0,1)上是減函數(shù)，那么()A．f(x)在(1，＋∞)上遞增且無最大值B．f(x)在(1，＋∞)上遞減且無最小值C．f(x)在定義域內(nèi)是偶函數(shù)D．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱解析：選AD由|x﹣1|＞0得，函數(shù)y＝loga|x﹣1|的定義域為{x|x≠1}．設(shè)g(x)＝|x﹣1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x＞1，,－x＋1，x＜1，))則g(x)在(﹣∞，1)上為減函數(shù)，在(1，＋∞)上為增函數(shù)，且g(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，D正確；因為f(x)＝loga|x﹣1|在(0,1)上是減函數(shù)，所以a＞1，所以f(x)＝loga|x﹣1|在(1，＋∞)上遞增且無最大值，A正確，B錯誤；又f(﹣x)＝loga|﹣x﹣1|＝loga|x＋1|≠f(x)，所以C錯誤．故選A、D.6．5G技術(shù)的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式：C＝Wlog2(1+eq\f(S,N)).它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中eq\f(S,N)叫做信噪比．按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比eq\f(S,N)從1000提升至2000，則C大約增加了()A．10%B．30%C．50%D．100%解析：選A將信噪比eq\f(S,N)從1000提升至2000，C大約增加了eq\f(Wlog21＋2000－Wlog21＋1000,Wlog21＋1000)＝eq\f(log22001－log21001,log21001)≈eq\f(10.967－9.967,9.967)≈10%，故選A.7．已知函數(shù)f(x)＝loga(2x﹣a)在區(qū)間[eq\f(1,2)，eq\f(2,3)]上恒有f(x)>0，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(eq\f(1,3)，1).B．[eq\f(1,3)，1).C.(eq\f(2,3)，1).D．[eq\f(2,3)，1)解析：選A當0<a<1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[eq\f(1,2)，eq\f(2,3)]上是減函數(shù)，所以loga(eq\f(4,3)﹣a)>0，即0<eq\f(4,3)﹣a<1，解得eq\f(1,3)<a<eq\f(4,3)，故eq\f(1,3)<a<1；當a>1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[eq\f(1,2)，eq\f(2,3)]上是增函數(shù)，所以loga(1﹣a)>0，即1﹣a>1，解得a<0，此時無解．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(eq\f(1,3)，1).8．如果函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)＝ex的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，則f(4x﹣x2)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．解析：由題意得f(x)＝lnx(x>0)．則f(4x﹣x2)＝ln(4x﹣x2)，0<x<4.若求f(4x﹣x2)的單調(diào)遞增區(qū)間，就是求y＝4x﹣x2,0<x<4的單調(diào)遞增區(qū)間．結(jié)合圖象知y＝4x﹣x2(0<x<4)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2)，故f(4x﹣x2)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2)．答案：(0,2)9．已知函數(shù)f(x)＝loga(8﹣ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：當a>1時，f(x)＝loga(8﹣ax)在[1,2]上是減函數(shù)，由f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8﹣2a)>1，解得1<a<eq\f(8,3).當0<a<1時，f(x)在[1,2]上是增函數(shù)，由f(x)>1在區(qū)間[1,2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8﹣a)>1，解得a>4，且0<a<1，故不存在．綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是(1，eq\f(8,3)).答案：(1，eq\f(8,3))10．已知函數(shù)f(x)＝loga(﹣x＋1)(a>0且a≠1)在[﹣2,0]上的值域是[﹣1,0]，則實數(shù)a＝________；若函數(shù)g(x)＝ax＋m﹣3的圖象不經(jīng)過第一象限，則實數(shù)m的取值范圍為________．解析：函數(shù)f(x)＝loga(﹣x＋1)(a>0且a≠1)在[﹣2,0]上的值域是[﹣1,0]．當a>1時，f(x)在[﹣2,0]上單調(diào)遞減，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－2＝loga3＝0，,f0＝loga1＝－1，))無解；當0<a<1時，f(x)在[﹣2,0]上單調(diào)遞增，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－2＝loga3＝－1，,f0＝loga1＝0，))解得a＝eq\f(1,3).∵g(x)＝(eq\f(1,3))x＋m﹣3的圖象不經(jīng)過第一象限，∴g(0)＝(eq\f(1,3))m﹣3≤0，解得m≥﹣1，即實數(shù)m的取值范圍是[﹣1，＋∞)．答案：eq\f(1,3)[﹣1，＋∞)11．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(0)＝0，當x>0時，f(x)＝logx.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2﹣1)>﹣2.解：(1)當x<0時，﹣x>0，則f(﹣x)＝log(﹣x)．因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(﹣x)＝f(x)．所以當x<0時，f(x)＝log(﹣x)，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logx，x>0，,0，x＝0，,log－x，x<0.))(2)因為f(4)＝log4＝﹣2，f(x)是偶函數(shù)，所以不等式f(x2﹣1)>﹣2可化為f(|x2﹣1|)>f(4)．又因為函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以0<|x2﹣1|<4，解得﹣eq\r(5)<x<eq\r(5)且x≠±1，又x2﹣1＝0時，f(0)＝0>﹣2，所以x∈(﹣eq\r(5)，eq\r(5))．12．已知函數(shù)f(x)＝lg(x＋eq\f(a,x)﹣2>0)，其中a是大于0的常數(shù)．(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)當a∈(1,4)時，求函數(shù)f(x)在[2，＋∞)上的最小值；(3)若對任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，試確定a的取值范圍．解：(1)由x＋eq\f(a,x)﹣2>0，得eq\f(x2－2x＋a,x)>0，當a>1時，x2﹣2x＋a>0恒成立，定義域為(0，＋∞)；當a＝1時，定義域為{x|x>0且x≠1}；當0<a<1時，定義域為{x|0<x<1﹣eq\r(1－a)或x>1＋eq\r(1－a)}．(2)設(shè)g(x)＝x＋e