2023-2024學(xué)年六年級數(shù)學(xué)下冊重點(diǎn)培優(yōu)第三單元圓柱的表面積問題提高部分（解析版）人教版

2023-2024學(xué)年六年級數(shù)學(xué)下冊重點(diǎn)培優(yōu)第三單元圓柱的表面積問題提高部分（解析版）編者的話：《2023-2024學(xué)年六年級數(shù)學(xué)下冊典型例題系列》是基于教材知識點(diǎn)和常年考點(diǎn)考題總結(jié)與編輯而成的，該系列主要包含典型例題和專項(xiàng)練習(xí)兩大部分。典型例題部分是按照單元順序進(jìn)行編輯，主要分為計(jì)算和應(yīng)用兩大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考題典型，考點(diǎn)豐富，變式多樣。專項(xiàng)練習(xí)部分是從?？碱}和期末真題中選取對應(yīng)練習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。本專題是第三單元圓柱的表面積問題提高部分。本部分內(nèi)容主要選取圓柱的表面積問題中較有難度的題型，包括圓柱的四種旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法、圓柱的三種表面積增減變化以及不規(guī)則立體圖形和組合立體圖形的表面積等，這幾類問題在考試中十分常見，建議作為本章核心內(nèi)容進(jìn)行講解，一共劃分為九個(gè)考點(diǎn)，歡迎使用。【考點(diǎn)一】圓柱常見的四種旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法?！痉椒c(diǎn)撥】1.圓柱的旋轉(zhuǎn)：一個(gè)長方形以一條邊為軸順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，所經(jīng)過的空間叫做圓柱體。2.在旋轉(zhuǎn)時(shí)，以誰為軸誰就是高，而另一條邊就是底面半徑。第一種旋轉(zhuǎn)方法：以寬為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。以寬為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，寬就是圓柱的高，長就是底面圓的半徑。第二種旋轉(zhuǎn)方法：以長為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。 以長為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，長就是圓柱的高，寬就是底面圓的半徑。第三種旋轉(zhuǎn)方法：以兩條長中點(diǎn)的連線為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。以兩條長中點(diǎn)的連線為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，寬就是圓柱的高，長的一半就是底面圓的半徑。第四種旋轉(zhuǎn)方法：以兩條寬中點(diǎn)的連線為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。以兩條寬中點(diǎn)的連線為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，長就是圓柱的高，寬的一半就是底面圓的半徑。【典型例題1】把長為4、寬為3的長方形繞著它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得到的圓柱的表面積是多少？（結(jié)果保留π）解析：以長為軸，32×2×π+2π×3×4=42π以寬為軸，42×2×π+2π×4×3=56π【典型例題2】正方形的邊長為4厘米，按照下圖中所示的方式旋轉(zhuǎn)，那么得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積是多少？解析：按如圖方式旋轉(zhuǎn)，底面圓的半徑是2厘米，圓柱的高是4厘米。S底=3.14×22=12.56（cm2）S側(cè)=2×3.14×2×4=50.24（cm2）S表=2S底+S側(cè)=12.56×2+50.24=75.36（cm2）答：表面積是75.36cm2。【典型例題3】請計(jì)算下圖長方形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后得到的圓柱的表面積。解析：S底：3.14×52=78.5（平方厘米）2S底：78.5×2=157（平方厘米）S側(cè)：3.14×5×2×15=471（平方厘米）S表：157+471=628（平方厘米）答：表面積是628平方厘米?！緦?yīng)練習(xí)1】一個(gè)長方形的長是5厘米，寬是2厘米。以它的長邊為軸，旋轉(zhuǎn)一周，得到的圓柱表面積是多少平方厘米？解析：3.14×2×2＋3.14×2×2×5＝25.12＋62.8＝87.92（平方厘米）答：得到的圓柱表面積是87.92平方厘米。【對應(yīng)練習(xí)2】下圖是一張長方形紙，長，寬。如果以長邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓柱，那么圓柱的表面積是多少平方厘米？解析：3.14×102×2＋3.14×10×2×12＝3.14×200＋3.14×240＝3.14×440＝1381.6（平方厘米）答：圓柱的表面積是1381.6平方厘米?！緦?yīng)練習(xí)3】以如圖長方形的長為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)什么立體圖形，它的表面積是多少？解析：以一個(gè)長和寬分別為8cm和5cm的長方形的長為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形是一個(gè)高為8cm，底面半徑為5cm的圓柱。2×3.14×52+2×3.14×5×8＝157+251.2＝408.2（cm2）答：得到一個(gè)圓柱體，它的表面積是408.2cm2?！究键c(diǎn)二】圓柱表面積的三種增減變化：高的變化引起表面積的變化?！痉椒c(diǎn)撥】底面積不變，圓柱高的變化引起表面積的變化，由于底面積沒有變，所以實(shí)際上發(fā)生變化的是側(cè)面積，由此可以求出底面周長，進(jìn)而求出表面積。底面周長C=變化的表面積÷變化的高度?！镜湫屠}】一個(gè)圓柱被截去10厘米后（如下圖），圓柱的表面積減少了628平方厘米，原來圓柱的表面積是多少平方厘米？（π取3.14）解析：圓柱的底面周長：628÷10=62.8（厘米）底面半徑：62.8÷2÷3.14=10（厘米）原來圓柱的表面積：3.14×102×2+62.8×（15+10）=628+1570=2198（平方厘米）答：原來圓柱的表面積是2198平方厘米。【對應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)圓柱體，高減少2厘米，表面積就減少了50.24平方厘米，圓柱的底面積是多少平方厘米？解析：底面周長：50.24÷2=25.12（厘米）底面圓的半徑：25.12÷2÷3.14=4（厘米）底面積：3.14×42=50.24（平方厘米）答：圓柱的底面積是50.24平方厘米?！緦?yīng)練習(xí)2】一個(gè)圓柱的底面直徑為4厘米，如果高增加1厘米，表面積增加多少平方厘米。解析：底面周長：3.14×4=12.56（厘米）表面積增加：12.56×1=12.56（平方厘米）答：表面積增加12.56平方厘米。【對應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)圓柱的底面周長和高相等，如果高縮短了2厘米，表面積就減少12.56平方厘米，求這個(gè)圓柱體原來的表面積？解析：底面周長：12.56÷2=6.28（厘米）側(cè)面積：6.28×6.28=39.4384（平方厘米）兩個(gè)底面積：6.28×3.14÷2=1（厘米）3.14×12×2=6.28（平方厘米）表面積：39.4384+6.28=45.7184（平方厘米）答：圓柱原來的表面積是45.7184平方厘米。【對應(yīng)練習(xí)4】一個(gè)圓柱被截去后，圓柱的表面積減少了（如下圖），原來圓柱的表面積是多少平方厘米？解析：底面周長：62.8÷10＝6.28（cm）底面半徑：6.28÷3.14÷2＝2÷2＝1（cm）原來的表面積：3.14×12×2＋6.28×（10＋15）＝6.28＋6.28×25＝6.28＋157＝163.28（cm2）答：原來圓柱的表面積是163.28平方厘米?！究键c(diǎn)三】圓柱表面積的三種增減變化：橫切引起的表面積變化?！痉椒c(diǎn)撥】平行于底面切（橫切）一刀：多出的兩個(gè)面是底面，即兩個(gè)圓。【典型例題】如圖，一根長4米，橫截面是半徑為2分米的圓柱形木料被截成同樣長的2段后。表面積比原來增加了多少平方分米？（π取3.14）解析：3.14×22×2=25.12（平方分米）答：增加了25.12平方分米?！緦?yīng)練習(xí)1】把一段長1米，側(cè)面積18.84平方米的圓柱體的木料，沿著平行于底面的方向截成兩段，這時(shí)它的表面積增加了多少平方米？解析：底面圓的周長：18.84÷1=18.84（米）底面圓的半徑：18.84÷3.14÷2=3（米）增加的面積：3.14×32×2=56.52（平方米）答：增加了56.52平方米?！緦?yīng)練習(xí)2】把一個(gè)半徑2分米、長1米的圓木平均截成3段，表面積共增加多少平方分米？解析：（3.14×22）×6＝12.56×6＝75.36（平方分米）所以，表面積共增加了75.36平方分米?！緦?yīng)練習(xí)3】把一個(gè)底面半徑是40cm，長是12分米的圓柱形木頭鋸成長短不同的4小段圓柱形木頭，表面積增加了多少平方分米？解析：40cm＝4dm3.14×42×6＝3.14×16×6＝50.24×6＝301.44（dm2）答：表面積增加了301.44平方分米。【考點(diǎn)四】圓柱表面積的三種增減變化：豎切引起的表面積變化。【方法點(diǎn)撥】垂直于底面切（豎切）：多出的兩個(gè)面是長方形，即以底面圓的直徑為長，以圓柱的高為寬的長方形?！镜湫屠}】工人把一根高是1米的圓柱形木料，沿底面直徑平均分成兩部分，這時(shí)兩部分的表面積之和比原來增加了0.8平方米。求這根木料原來的表面積。解析：由題意可知，增加了兩個(gè)長方形的面積。一個(gè)長方形的面積：0.8÷2=0.4（平方米）底面圓的直徑：0.4÷1=0.4（米）底面圓的半徑：0.4÷2=0.2原來的表面積：3.14×0.22×2+3.14×0.4×1=1.5072（平方米）答：原來的表面積是1.5072平方米?！緦?yīng)練習(xí)1】一個(gè)底面半徑4cm，高5cm的圓柱，如果沿底面直徑把它平均切成兩半，它的表面積增加了多少平方厘米？解析：由題意可知，表面積增加了2個(gè)長方形。2×4×5×2=80（平方厘米）答：表面積增加了80平方厘米?！緦?yīng)練習(xí)2】如圖，把一個(gè)高10厘米的圓柱沿底面直徑垂直切成兩部分，這兩部分的表面積之和比原來增加了200平方厘米，原來圓柱的表面積是多少平方厘米？（結(jié)果可用含有的式子表示）解析：200÷2＝100（平方厘米）100÷10＝10（厘米）π×10×10＋π×（10÷2）2×2＝100π＋50π＝150π（平方厘米）答：原來圓柱的表面積是150π平方厘米?！緦?yīng)練習(xí)3】一個(gè)底面周長是、高是的圓柱，沿底面直徑垂直把它切割成完全相同的兩部分后，切割面的面積一共是多少平方厘米？解析：切割后如圖所示，切面是兩個(gè)完全相同的長方形，寬是圓柱的底面直徑，即，長是圓柱的高，即。根據(jù)長方形的面積公式可求出切割面的面積一共是多少。；＝18×2＝36（平方厘米）答：切割面的面積一共是。【對應(yīng)練習(xí)4】把一個(gè)高為5厘米的圓柱從直徑處沿高剖成兩上半圓柱，這兩個(gè)半圓柱的表面積比原來增加80平方厘米，求原來圓柱的表面積。解析：圓柱的直徑是：80÷2÷5＝8（厘米）圓柱的表面積是：3.14×（8÷2）2×2＋3.14×8×5＝3.14×16×2＋3.14×8×5＝100.48＋125.6＝226.08（平方厘米）答：原來圓柱的表面是226.08平方厘米?！究键c(diǎn)五】利用圓柱的展開圖求表面積?！痉椒c(diǎn)撥】圓柱的側(cè)面展開圖，其中長方形的長等于圓柱的底面周長，寬等于圓柱的高?！镜湫屠}】下面是一個(gè)圓柱形紙盒的展開圖，求這個(gè)圓柱紙盒的側(cè)面積是多少平方厘米？表面積是多少平方厘米？（單位厘米）解析：圓柱紙盒的側(cè)面積：12.56×3＝37.68（平方厘米）圓的半徑：12.56÷3.14÷2＝4÷2＝2（厘米）表面積：37.68＋3.14×22×2＝37.68＋12.56×2＝37.68＋25.12＝62.8（平方厘米）答：圓柱的側(cè)面積是37.68平方厘米、表面積是62.8平方厘米。【對應(yīng)練習(xí)1】把一張長方形鐵皮按下圖剪下，陰影部分剛好制成圓柱體（焊接處不計(jì)），這個(gè)圓柱體的表面積是多少？（長度單位，分米）解析：3.14×（25.12÷3.14÷2）2×2＋25.12×（18－25.12÷3.14）＝3.14×（8÷2）2×2＋25.12×（18－8）＝3.14×16×2＋25.12×10＝50.24×2＋251.2＝100.48＋251.2＝351.68（平方分米）答：這個(gè)圓柱體的表面積是351.68平方分米。【對應(yīng)練習(xí)2】王師傅剪下一張長方形鐵片中的涂色部分（如下圖所示，單位：分米），正好做成一個(gè)圓柱。求做成的圓柱的底面積是多少？做完這個(gè)圓柱，這張長方形剩余的廢料（空白部分）是多少平方分米？（損耗考慮不計(jì)）解析：（分米）（分米）（平方分米）（平方分米）答：圓柱的底面積是7.065平方分米；空白部分是3.87平方分米?！緦?yīng)練習(xí)3】如圖，在一張長方形紙上，剪下陰影部分可圍成一個(gè)圓柱，求這個(gè)圓柱的表面積。解析：25.12÷3.14＝8（cm）15－8＝7（cm）25.12×7＝175.84（cm2）8÷2＝4（cm）3.14×4×4×2＝50.24×2＝100.48（cm2）175.84＋100.48＝276.32（cm2）答：這個(gè)圓柱的表面積是276.32cm2?！究键c(diǎn)六】求不規(guī)則圓柱體的表面積?！痉椒c(diǎn)撥】求不規(guī)則圓柱體的表面積，注意分析圖形是由哪幾個(gè)面組合而成的，然后分別計(jì)算這幾個(gè)面的面積，最后將所計(jì)算的面相加。【典型例題】如圖，一根長2米，底面周長為12.56分米的圓木，沿著它的兩條半徑，截去部分，該圖形的表面積是多少平方分米？解析：2米=20分米底面半徑：12.56÷3.14÷2=2（分米）圓柱兩個(gè)底面積之和：3.14×22×2=25.12（平方分米）圓柱側(cè)面積：12.56×20=251.2（平方分米）截去后的表面積：（25.12+251.2）×（1-14）=207.24（dm2）207.24+2×20×2=287.24（平方分米）答：該圖形的表面積是287.24平方分米。【對應(yīng)練習(xí)1】如圖，是一個(gè)圓柱體沿著底面直徑切割剩下的部分，求該圖形的表面積。（單位：cm）解析：原來圓柱的表面積：3.14×（6÷2）2×2+3.14×6×8=56.52+150.72=207.24（平方厘米）切割一半后的表面積：207.24×12103.62+6×8=151.62（平方厘米）答：該圖形的表面積是151.62平方厘米?！緦?yīng)練習(xí)2】從下面這根長方體木料中削掉一個(gè)最大的半圓柱，求剩余木料的表面積。解析：上面表面積：3.14×6×10÷2＝18.84×10÷2＝188.4÷2＝94.2（平方厘米）前后面的面積：[6×4－3.14×（6÷2）2÷2]×2＝[24－3.14×9÷2]×2＝[24－28.26÷2]×2＝[24－14.13]×2＝9.87×2＝19.74（平方厘米）左右面積：10×4×2＝40×2＝80（平方厘米）下面：6×10＝60（平方厘米）94.2＋19.74＋80＋60＝113.92＋80＋60＝193.92＋60＝253.92（平方厘米）答：剩余木料的表面積是253.92平方厘米?！緦?yīng)練習(xí)3】如圖是一個(gè)圓柱體從中間劈開后得到的圖形，這個(gè)圖形的表面積是多少？（單位：cm）解析：由圖可得，圓柱體底面積直徑為8cm，高為16cm，原圓柱體的表面積為：（cm2）故劈開后的圖形表面積為：（cm2）答：這個(gè)圖形的表面積為cm2?！究键c(diǎn)七】求組合立體圖形的表面積?！痉椒c(diǎn)撥】求組合立體圖形的表面積，注意分析圖形是由些圖形組合而成的，組成該圖形的表面有哪些，是什么形狀，然后分別計(jì)算這幾個(gè)面的面積，最后將所計(jì)算的面相加。【典型例題】如圖，一個(gè)物體由三個(gè)圓柱組成，它們的半徑分別為0.5分米，2分米，5分米，而高都是2分米，則這個(gè)物體的表面積是多少平方分米？解析：大圓柱的表面積：3.14×52×2+2×3.14×5×2=157+62.8=219.8（平方分米）中圓柱側(cè)面積：2×3.14×2×2=25.12（平方分米）小圓柱側(cè)面積：2×3.14×0.5×2=6.28（平方分米）這個(gè)物體的表面積：219.8+25.12+6.28=251.2（平方分米）答：這個(gè)物體的表面積是251.2平方分米?！緦?yīng)練習(xí)1】某零件如圖所示，下面是一個(gè)棱長為20cm的正方體，上面是圓柱的一半。求這個(gè)零件的表面積。解析：[3.14×（20÷2）2×2＋3.14×20×20]÷2＋20×20×5＝[3.14×100×2＋1256]÷2＋2000＝[628＋1256]÷2＋2000＝1884÷2＋2000＝942＋2000＝2942（平方厘米）答：這個(gè)零件的表面積是2942平方厘米。【對應(yīng)練習(xí)3】優(yōu)優(yōu)和媽媽在家做了一個(gè)蛋糕（如下圖），優(yōu)優(yōu)要給這個(gè)蛋糕的表面部分涂上一層奶油（下底面不涂），涂奶油部分的面積是多少平方厘米？解析：答：涂奶油部分的面積是?！緦?yīng)練習(xí)4】工人叔叔要為下面是正方體、上面是圓柱的燈柱（如圖，底面不刷）刷上油漆。如果每平方米需要油漆0.3kg，那么至少需要準(zhǔn)備多少千克的油漆？解析：5dm＝0.5m8dm＝0.8m（0.5×0.5×5＋3.14×0.5×0.8）×0.3＝0.7518（kg）答：至少需要準(zhǔn)備0.7518kg的油漆。【考點(diǎn)八】求正方體削成圓柱體后的表面積?！痉椒c(diǎn)撥】把正方體削成一個(gè)圓柱，正方體的棱長是圓柱的高，也是圓柱底面圓的直徑。【典型例題】如果把棱長是2分米的正方體木塊削成一個(gè)最大的圓柱，這個(gè)圓柱的表面積是多少平方分米？解析：3.14×2×2＋3.14×（2÷2）2×2＝3.14×2×2＋3.14×2＝12.56＋6.28＝18.84（平方分米）【對應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)正方體木塊的棱長是2dm，現(xiàn)在把它削成一個(gè)最大的圓柱．削成的圓柱側(cè)面積是多少dm2？削成的圓柱的體積占原來正方體體積的百分之幾？解析：（1）3.14×2×2＝6.28×2＝12.56（平方分米）（2）3.14×（2÷2）2×2÷（2×2×2）＝3.14×2÷8＝6.28÷8＝78.5＝78.5%答：略?！緦?yīng)練習(xí)2】張叔叔制作一個(gè)模型，他拿來一個(gè)棱長是8分米的正方體鐵塊，選擇其中一個(gè)面，從正中間打一個(gè)直徑為4分米的圓孔，一直穿通到對面（如圖）。為了防止生銹，王師傅給這個(gè)模型中可能與空氣接觸的表面都噴上油漆，需噴油漆的面積是多少平方分米？解析：8×8×6－3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×8＝8×8×6－3.14×4×2＋3.14×4×8＝64×6－12.56×2＋12.56×8＝384－25.12