四川省宜賓市重點學校2023-2024學年高二上學期第三學月（12月）考試數學試題（含答案）

宜賓重點中學2023年秋期高二第三學月考試數學試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．在平面直角坐標系xOy中，直線的傾斜角是A． B． C． D．2．雙曲線的左焦點到右頂點的距離為A．1 B．2 C．4 D．53．如圖，在四面體中，是的中點．設，，，用，，表示，則A．B．C．D．4．已知圓，過點作圓的切線，則切線方程為

A．B．C．D．5．已知表示的曲線是圓，則的值為A． B． C． D．6．直線l經過點A(1，2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3，3)，則其斜率的取值范圍是A． B．∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪ D．(－∞，－1)∪7．直線與曲線只有一個公共點，則實數范圍是A． B．C． D．8．如圖，在棱長為2的正方體中，，，，，均為所在棱的中點，則下列結論正確的是A．棱上一定存在點，使得B．設點在平面內，且平面，則與平面所成角的余弦值的最大值為C．過點，，作正方體的截面，則截面面積為D．三棱錐的外接球的體積為二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．下列說法中，正確的有A．過點且在，軸截距相等的直線方程為B．直線的縱截距是．C．直線的傾斜角為60°D．過點并且傾斜角為90°的直線方程為10．若直線與圓相切，則A． B． C． D．11．已知數列的通項公式為，則A．數列為遞增數列 B．C．為最小項 D．為最大項12．橢圓的離心率為，短軸長為，則A．橢圓的方程為B．橢圓與雙曲線的焦點相同C．橢圓過點D．直線與橢圓恒有兩個交點第II卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．樣本中共有5個個體，其值分別為.若的平均數為10，則該樣本的平均數為.14．直線與直線的距離為.15．已知拋物線C：的焦點為F，過點F作斜率大于0的直線l與C交于A，B兩點，O為坐標原點，，則的面積為__________.16．橢圓的左，右焦點分別是，，橢圓上存在一點，滿足，，則橢圓的離心率.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知的三個頂點，D為BC的中點.求：(1)中線AD所在直線的方程；(2)BC邊上的高所在直線的方程.18．（12分）已知雙曲線的漸近線方程是，右頂點是.(1)求雙曲線的離心率；(2)過點傾斜角為的直線與雙曲線的另一交點是，若，求雙曲線的方程.19．（12分）已知數列中，，且滿足.（1）求數列的通項公式；（2）設是數列的前n項和，求.20．（12分）一題多解是由多種途徑獲得同一數學問題的最終結論，一題多解不但達到了解題的目標要求，而且讓學生的思維得以拓展，不受固定思維模式的束縛．學生多角度、多方位地去思考解題的方案，讓解題增添了新穎性和趣味性，并在解題中解放了解題思維模式，使得枯燥的數學解題更加豐富而多彩．假設某題共存在4種常規(guī)解法，已知小紅使用解法一、二、三、四答對的概率分別為，且各種方法能否答對互不影響，小紅使用四種解法全部答對的概率為．(1)求的值；(2)求小紅不能正確解答本題的概率；(3)求小紅使用四種解法解題，其中有三種解法答對的概率．21．（12分）圖1是由等邊三角形和等腰直角三角形組成的一個平面圖形，其中.若，將沿折起，連接，如圖2.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值.22．（12分）已知橢圓：的左頂點為，焦距為.動圓的圓心坐標是，過點作圓的兩條切線分別交橢圓于和兩點，記直線、的斜率分別為和.(1)求證：；(2)若為坐標原點，作，垂足為.是否存在定點，使得為定值？數學試題參考答案1．B2．D3．D4．A5．C6．D7．C8．C

9．BD10．AC11．CD12．ACD13．314．15．16．17．（1）BC的中點，中線AD所在直線的斜率為，所以BC邊上的中線AD所在直線的方程為，即.（2）、，BC邊斜率k，則BC邊上的高線的斜率k＝，所以BC邊上的高線所在直線的方程為，即.

18．（1）解：因為雙曲線，故漸近線方程是：，又漸近線方程是，故，即，故，故，；（2）解：因為直線的傾斜角為，故直線斜率是1，又直線經過，則直線方程為，設，由，消去得，故，解得，又，則，解得，故，，故雙曲線的方程是.19．（1）解：由題意得數列是等差數列，，則.（2）令，得，即當時，，當時，，則當時，.當時，，即20．解：（1）記小紅使用解法一、二、三、四答對分別為事件，則，因為各種解法能否答對互不影響，且全部答對的概率為，于是，解得，所以.（2）若小紅不能正確解答本題，則說明小紅任何方法都不會，所以小紅不能正確解答本題的概率是．（3）記事件為小紅使用四種解法解題，其中有三種解法答對，則，所以小紅使用四種解法解題，其中有三種解法答對的概率為．21．（1）如圖，取的中點E，連接，，為等邊三角形，為等腰直角三角形，，又，即，又平面平面，又平面平面平面.（2）（解法一）由（1）知平面，又平面平面，平面平面，，所以平面，過點E作交于點H，則平面，所以兩兩垂直，以點E為坐標原點，所在的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，則有，，設為平面的一個法向量，則.即令，則易知，為平面的一個法向量，，由圖可知，二面角為銳角，二面角的余弦值為.（解法二）過D作于F，又平面平面，平面平面，，所以平面，平面，又平面是二面角的平面角，又在中，由余弦定理得，∴二面角的余弦值為.22．（1）解：由題意知，橢圓的左頂點為，焦距為，可得，解得，所以故橢圓的方程為，設過點與圓的切線的直線為，動圓的半徑為，則化簡得，所以和是方程的兩根，由韋達定理知，