新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習知識點總結(jié)與題型精練專題26 隨機變量及其分布（含解析）

專題26隨機變量及其分布【考綱要求】了解離散型隨機變量的概念，理解隨機變量分布列的性質(zhì)理解正態(tài)分布一、隨機抽樣【思維導(dǎo)圖】【考點總結(jié)】一、條件概率與全概率公式1條件概率①定義一般地，設(shè)A,B為兩個事件,且P(A)>0,稱P(B|A)=P(AB)P(A)為在事件A發(fā)生的條件下,事件(1)求“事件A已發(fā)生，事件B發(fā)生的概率”，可理解：如圖，事件A已發(fā)生，則A為樣本空間，此時事件B發(fā)生的概率是AB包含的樣本點數(shù)與A包含的樣本點數(shù)的比值，即P(B|A)=(通俗些理解，條件概率只是縮小了樣本空間，P(B|A)就是以A為樣本空間計算AB的概率)②概率的乘法公式對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則P設(shè)P(A)>0，則(1)PΩ(2)如果B和C互斥，那么P[(B∪C)|A]=P(B|A)+P(C|A)；(3)設(shè)B和B互為對立事件，則P(B2全概率公式一般地，設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件，AP我們稱它為全概率公式.貝葉斯公式：設(shè)A且P二、離散型隨機變量【考點總結(jié)】一離散型隨機變量及其分布列1隨機變量①概念一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中每個樣本點ω，都有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機變量.②分類隨機變量分為離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量.2分布列①概念一般地，設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,?,xiXxx?x?xPpp?p?p為隨機變量X的概率分布列，簡稱X的分布列.②性質(zhì)離散型隨機變量的分布列具有下述兩個性質(zhì)13兩點分布如果隨機變量X的分布列為X01P1?pp則稱X服從兩點分布，并稱p=P(X=1)為成功概率.二離散型隨機變量的數(shù)字特征1離散隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）(1)概念一般地，隨機變量X的概率分布列為Xxx?x?xPpp?p?p則稱EX=x它是隨機變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，反映了離散型隨機變量取值的平均水平.(2)若Y=aX+b，其中a,b為常數(shù)，則Y也是變量Yaa?a?aPpp?p?p則E(Y)=aE(X)+b，即E(aX+b)=aE(X)+b.(利用期望的概念可以證明)(3)一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么E即若X服從兩點分布，則E(X)=p.2離散型隨機變量取值的方差和標準差（1）一般地,若離散型隨機變量x的概率分布列為Xxx?x?xPpp?p?p則稱D為隨機變量X的方差，有時候也記為V(x)，并稱D(X)為隨機變量X的標準差，記為σ(X)隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度.方差越小，隨機變量的取值越集中；方差越大，隨機變量的取值越分散.(2)一般地，D(aX+b)=a(3)DX=E(X證明D=====E=E=E(三、二項分布與超幾何分布【考點總結(jié)】1二項分布①n重伯努利試驗（1）我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗,比如產(chǎn)品的合格或不合格,醫(yī)學(xué)檢驗結(jié)果的陽性或陰性；（2）將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗,（3）n重伯努利試驗具有如下共同特征第一：同一個伯努利試驗重復(fù)做n次；第二：各次試驗的結(jié)果相互獨立；②二項分布(1)概念一般地,在n重伯努利試驗中,設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件AP此時稱隨機變量X服從二項分布,記作X～B(n,p),并稱p為成功概率.隨機變量X的分布列如下X01?k?nPCC?C?C(其中q=1?由二項定理,可得k=0這也許是這分布為什么叫做二項式定理的原因吧?、鄱椃植嫉钠谕c方差一般地,如果X～B(n,p),那么E下面對期望進行證明證明令q=1?p,由kE令k?1=m,E2超幾何分布①概念一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品,從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為：P其中n,M,N∈N如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布.四、正態(tài)分布【考點總結(jié)】1正態(tài)分布的概念若連續(xù)型隨機變量ξ的概率密度函數(shù)為f其中σ,μ為常數(shù)，且σ>0，則稱x服從正態(tài)分布，簡記為x～Nμ,f(x)的圖象稱為正態(tài)曲線.2正態(tài)分布的期望與方差若ξ～N(μ,σ23正態(tài)曲線的性質(zhì)①曲線在x軸的上方，與x軸不相交；②曲線關(guān)于直線x=μ對稱；③曲線在x=μ時達到峰值1σ④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當x<μ時，曲線上升；當x>μ時，曲線下降．并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸進線，向它無限靠近；⑥曲線的形狀由σ確定，σ越大，峰值1σσ越小，峰值1σ【題型匯編】題型一：條件概率與全概率公式題型二：離散型隨機變量題型三：二項分布與超幾何分布題型四：正態(tài)分布【題型講解】題型一：條件概率與全概率公式一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）若將整個樣本空間想象成一個邊長為1的正方形，任何事件都對應(yīng)樣本空間的一個子集，且事件發(fā)生的概率對應(yīng)子集的面積．則如圖所示的陰影部分的面積表示（

）A．事件A發(fā)生的概率 B．事件B發(fā)生的概率C．事件B不發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率 D．事件A、B同時發(fā)生的概率【答案】A【分析】理解條件概率SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的含義，可得陰影部分面積表示的含義.【詳解】由題意可知：SKIPIF1<0表示在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，SKIPIF1<0表示在事件B不發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，結(jié)合在一塊就是事件A發(fā)生的概率.故選：A.2．（2022·浙江·紹興魯迅中學(xué)高三階段練習）甲?乙兩人到一商店購買飲料，他們準備分別從加多寶?農(nóng)夫山泉?雪碧這3種飲品中隨機選擇一種，且兩人的選擇結(jié)果互不影響.記事件SKIPIF1<0“甲選擇農(nóng)夫山泉”，事件SKIPIF1<0“甲和乙選擇的飲品不同”，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用條件概率公式求解即可．【詳解】解：事件SKIPIF1<0“甲選擇農(nóng)夫山泉”，則SKIPIF1<0事件SKIPIF1<0“甲和乙選擇的飲品不同”，則事件SKIPIF1<0=“甲選擇農(nóng)夫山泉，乙選擇的是加多寶或者雪碧”所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故選：D3．（2022·廣東廣州·一模）已知某地市場上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是90%，則從該地市場上買到一個合格產(chǎn)品的概率是（

）A．0.92 B．0.93 C．0.94 D．0.95【答案】B【分析】根據(jù)甲乙兩廠所占比例及對應(yīng)的合格率，利用全概率公式算SKIPIF1<0即可得解.【詳解】由甲乙兩廠所占比例及對應(yīng)的合格率可得SKIPIF1<0，故選：B4．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）目前，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)BMISKIPIF1<0來衡量人體胖瘦程度以及是否健康．某公司對員工的BMI值調(diào)查結(jié)果顯示，男員工中，肥胖者的占比為SKIPIF1<0；女員工中，肥胖者的占比為SKIPIF1<0，已知公司男、女員工的人數(shù)比例為2：1，若從該公司中任選一名肥胖的員工，則該員工為男性的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先求出任選一名員工為肥胖者的概率和肥胖者員工為男性的概率，再根據(jù)條件概率計算即可.【詳解】設(shè)公司男、女員工的人數(shù)分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則男員工中，肥胖者有SKIPIF1<0人，女員工中，肥胖者有SKIPIF1<0人，設(shè)任選一名員工為肥胖者為事件SKIPIF1<0，肥胖者為男性為事件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：D.二、多選題5．（2022·吉林·東北師大附中高三開學(xué)考試）甲盒中有2個紅球和4個白球，乙盒中有3個紅球和3個白球，現(xiàn)從甲盒中隨機取出一球放入乙盒，記事件A=“甲盒中取出的是紅球”，B=“甲盒中取出的是白球”，再從乙盒中隨機取一個球，記M=“乙盒中取出的是紅球”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【分析】先利用條件概率求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可判斷選項C、D；再求出SKIPIF1<0，即可判斷A、B.【詳解】由題意分析可知：SKIPIF1<0，故C正確；SKIPIF1<0，故D錯誤；所以SKIPIF1<0.故A正確，B錯誤.故選：AC6．（2023·全國·高三專題練習）同時拋擲兩個質(zhì)地均勻的四面分別標有1，2，3，4的正四面體一次，記事件A表示“第一個四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)”，事件B表示“第二個四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)”，事件C表示“兩個四面體向下的一面同時出現(xiàn)奇數(shù)或者同時出現(xiàn)偶數(shù)”，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AB【分析】由相互獨立事件的乘法公式可判斷A、C、D；由條件概率公式可判斷B；【詳解】由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,故A正確．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正確．事件A，B，C不可能同時發(fā)生，故SKIPIF1<0，故C錯誤；SKIPIF1<0，故D錯誤．故選：AB．7．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)M、N是兩個隨機事件，則下列等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【分析】對A，根據(jù)SKIPIF1<0是否互斥判斷即可；對B，舉反例判斷即可對CD，根據(jù)條件概率的公式判斷即可【詳解】對A，當SKIPIF1<0不互斥時，SKIPIF1<0不成立，故A錯誤；對B，當SKIPIF1<0為對立事件時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0不成立，故B錯誤；對C，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0成立，當SKIPIF1<0時，根據(jù)條件概率的公式SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0成立，故C正確；對D，根據(jù)條件概率的公式，結(jié)合C選項可得SKIPIF1<0成立，故D正確；故選：CD8．（2023·全國·高三專題練習）甲箱中有SKIPIF1<0個紅球，SKIPIF1<0個白球和SKIPIF1<0個黑球，乙箱中有SKIPIF1<0個紅球，SKIPIF1<0個白球和SKIPIF1<0個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以SKIPIF1<0表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則（

）A．事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0相互獨立 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【分析】由全概率公式可計算得到D正確；根據(jù)貝葉斯公式可知B正確；根據(jù)SKIPIF1<0可知C錯誤；由SKIPIF1<0可知A錯誤.【詳解】由題意知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，D正確；SKIPIF1<0，B正確；SKIPIF1<0，C錯誤；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0不相互獨立，A錯誤.故選：BD.三、解答題9．（2023·全國·高三專題練習）已知箱中有5個大小相同的產(chǎn)品，其中3個正品，2個次品，每次從箱中取1個，不放回的取兩次，求：(1)第一次取到正品的概率；(2)在第一次取到正品的條件下，第二次取到正品的概率.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用古典概型的概率公式計算可得；（2）利用條件概率的概率公式計算可得.（1）解：設(shè)SKIPIF1<0“第一次取到正品”SKIPIF1<0“第二次取到正品”，所以SKIPIF1<0，第一次取到正品的概率為SKIPIF1<0；（2）解：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故在第一次取到正品的條件下第二次取到正品的概率為SKIPIF1<0.10．（2023·全國·高三專題練習）甲?乙兩人組成“星隊”參加趣味知識競賽.比賽分兩輪進行，每輪比賽答一道趣味題.在第一輪比賽中，答對題者得2分，答錯題者得0分；在第二輪比賽中，答對題者得3分，答錯題者得0分.已知甲?乙兩人在第一輪比賽中答對題的概率都為p，在第二輪比賽中答對題的概率都為q.且在兩輪比賽中答對與否互不影響.設(shè)定甲?乙兩人先進行第一輪比賽，然后進行第二輪比賽，甲?乙兩人的得分之和為“星隊”總得分.已知在一次比賽中甲得2分的概率為SKIPIF1<0，乙得5分的概率為SKIPIF1<0.(1)求p，q的值；(2)求“星隊”在一次比賽中的總得分為5分的概率.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)甲得2分的概率為SKIPIF1<0，乙得5分的概率為SKIPIF1<0，結(jié)合概率的公式求解即可；（2）設(shè)SKIPIF1<0分別表示在一次比賽中甲得分的事件，SKIPIF1<0分別表示在一次比賽中乙得分的事件，根據(jù)題意可得所有可能的情況為SKIPIF1<0，再計算即可（1）設(shè)SKIPIF1<0分別表示在一次比賽中甲得分的事件，SKIPIF1<0分別表示在一次比賽中乙得分的事件.因為在一次比賽中甲得2分的概率為SKIPIF1<0，乙得5分的概率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.（2）由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為“6星隊'在一次比賽中的總得分為5分"，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以“星隊”在一次比賽中的總得分為5分的概率是SKIPIF1<0.題型二：離散型隨機變量一、單選題1．（2022·全國·高二課時練習）甲、乙兩名籃球運動員每次投籃的命中率分別為0.8，0.7，他們各自投籃1次，設(shè)兩人命中總次數(shù)為X，則X的分布列為（

）A．X012P0.080.140.78B．X012P0.060.240.70C．X012P0.060.560.38D．X012P0.060.380.56【答案】D【分析】列出X的可能取值，求出每個X對應(yīng)的概率，即可求出分布列.【詳解】易知X的可能取值為0，1，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故X的分布列為X012P0.060.380.56故選：D.2．（2022·全國·高二課時練習）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用SKIPIF1<0表示甲的得分，則SKIPIF1<0表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局二次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次【答案】D【分析】列舉出SKIPIF1<0的所有可能的情況，即得.【詳解】因為甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，故SKIPIF1<0表示兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．故選：D．3．（2022·全國·高二課時練習）設(shè)X是一個離散型隨機變量，則下列不能作為X的分布列的一組概率取值的數(shù)據(jù)是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．0.1，0.2，0.3，0.4C．p，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)可知，所有的概率和等于1，且SKIPIF1<0，逐一判斷選項即可.【詳解】根據(jù)分布列的性質(zhì)可知，所有的概率之和等于1，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．對于A，因為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，所以A選項能成為X的分布列的一組概率取值的數(shù)據(jù)；對于B，因為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，所以B選項能成為X的分布列的一組概率取值的數(shù)據(jù)；對于C，因為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，所以C選項能成為X的分布列的一組概率取值的數(shù)據(jù)；對于D，因為SKIPIF1<0，所以D選項不能成為X的分布列的一組概率取值的數(shù)據(jù)．故選：D．4．（2022·江西贛州·高二期末（理））若隨機變量的分布列如表，則SKIPIF1<0的值為（

）SKIPIF1<01234SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)題意可得：SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，利用對立事件SKIPIF1<0求解．【詳解】根據(jù)題意可得：SKIPIF1<0故選：C．5．（2023·全國·高三專題練習）下表是離散型隨機變量X的概率分布，則常數(shù)SKIPIF1<0的值是（

）X3456PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由隨機變量分布列中概率之和為1列出方程即可求出a.【詳解】由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：C.6．（2023·全國·高三專題練習）已知隨機變量X的分布列為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)分布列的概率求解方式即可得出答案.【詳解】解：由題意得：SKIPIF1<0．故選:A7．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)隨機變量SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)SKIPIF1<0運算可得SKIPIF1<0，再分析理解SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，結(jié)合對立事件求概率SKIPIF1<0．【詳解】由題意：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故選：C．8．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)隨機變量X的概率分布列如下：則SKIPIF1<0（

）X－1012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求得m的值，由SKIPIF1<0確定變量的取值，結(jié)合分布列求得答案.【詳解】由分布列性質(zhì)可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0,故選：C二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)隨機變量SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【分析】由已知，選項A，可根據(jù)SKIPIF1<0，分別列出SKIPIF1<0時的概率，求和即可得到；選項B，根據(jù)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0帶入SKIPIF1<0中即可求解；選項C，根據(jù)SKIPIF1<0，分別令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0帶入SKIPIF1<0中即可求解；選項D，令SKIPIF1<0帶入SKIPIF1<0中即可求解，即可做出判斷.【詳解】選項A，由已知可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故該選項正確；選項B，SKIPIF1<0，故該選項正確；選項C，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故該選項正確；選項D，SKIPIF1<0，故該選項錯誤.故選：ABC.10．（2023·全國·高三專題練習）已知8件產(chǎn)品中有1件次品，從中任取3件，取到次品的件數(shù)為隨機變量SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的可能取值為（

）A．0 B．1 C．2 D．8【答案】AB【分析】由題可知取到次品的件數(shù)最少為0件，最多為1件，據(jù)此即可作答.【詳解】由題可知SKIPIF1<0的可能取值為0，1．故選：AB.11．（2023·全國·高三專題練習）已知隨機變量ξ的分布如下：則實數(shù)a的值為（

）ξ123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．－SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【分析】由題可知SKIPIF1<0，即得.【詳解】由題可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗適合題意.故選：BC.三、解答題12．（2023·全國·高三專題練習）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X（單位：t，SKIPIF1<0）表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T（單位：元）表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤．(1)將SKIPIF1<0表示為SKIPIF1<0的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計利潤SKIPIF1<0不少于57000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率（例如：若需求量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則取SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的概率等于需求量落入SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的頻率），求SKIPIF1<0的分布列．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)0.7(3)59400【分析】（1）由題意先分段寫出，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時的利潤值，利用分段函數(shù)寫出即可；（2）由（1）知，利潤SKIPIF1<0不少于57000元，當且僅當SKIPIF1<0，再由直方圖知需求量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的頻率為0.7，由此估計得出結(jié)論；（3）先求出利潤與SKIPIF1<0的關(guān)系，再利用直方圖中的頻率計算利潤分布列，最后利用公式求其數(shù)學(xué)期望．（1）解：由題意得，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）解：由（1）知，利潤SKIPIF1<0不少于57000元，當且僅當SKIPIF1<0．由直方圖知需求量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的頻率為0.7，所以下一個銷售季度的利潤SKIPIF1<0不少于57000元的概率的估計值為0.7；（3）解：由題意及（1）可得：當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<045000530006100065000SKIPIF1<00.10.20.30.413．（2023·全國·高三專題練習）某校為緩解學(xué)生壓力，舉辦了一場趣味運動會，其中有一個項目為籃球定點投籃，比賽分為初賽和復(fù)賽．初賽規(guī)則為：每人最多投3次，每次投籃的結(jié)果相互獨立．在SKIPIF1<0處每投進一球得3分，在SKIPIF1<0處每投進一球得2分，否則得0分．將學(xué)生得分逐次累加并用SKIPIF1<0表示，如果SKIPIF1<0的值不低于3分就判定為通過初賽，立即停止投籃，否則應(yīng)繼續(xù)投籃，直到投完三次為止．現(xiàn)甲先在SKIPIF1<0處投一球，以后都在SKIPIF1<0處投，已知甲同學(xué)在SKIPIF1<0處投籃的命中率為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0處投籃的命中率為SKIPIF1<0，求他初賽結(jié)束后所得總分SKIPIF1<0的分布列．【答案】分布列見解析.【分析】判斷隨機變量的可能取值，根據(jù)題意求出分布列即可.【詳解】設(shè)甲同學(xué)在SKIPIF1<0處投中的事件為SKIPIF1<0，投不中的事件為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0處投中為事件SKIPIF1<0，投不中為事件SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的可能取值為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0題型三：二項分布與超幾何分布一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）已知隨機變量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)二項分布的均值和方差公式求解即可得SKIPIF1<0，再求解SKIPIF1<0，根據(jù)對立事件的概率和為1求解SKIPIF1<0即可【詳解】因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故選：B2．（2023·全國·高三專題練習）已知隨機變量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)二項分布的方差和期望公式，列方程即可解出SKIPIF1<0的值，進而可求.【詳解】由二項分布的方差和期望公式可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故選：C3．（2023·全國·高三專題練習）Poisson分布是統(tǒng)計學(xué)里常見的離散型概率分布，由法國數(shù)學(xué)家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為自然對數(shù)的底數(shù)，SKIPIF1<0是Poisson分布的均值．當二項分布的n很大SKIPIF1<0而p很小SKIPIF1<0時，Poisson分布可作為二項分布的近似．假設(shè)每個大腸桿菌基因組含有10000個核苷酸對，采用SKIPIF1<0紫外線照射大腸桿菌時，每個核苷酸對產(chǎn)生嘧啶二體的概率均為0.0003，已知該菌株基因組有一個嘧啶二體就致死，則致死率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】結(jié)合題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時Poisson分布滿足二項分布的近似條件，再計算二項分布的均值為Poisson分布的均值SKIPIF1<0，再代入公式先求不致死的概率，再用對立事件的概率和為1計算即可【詳解】由題，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時Poisson分布滿足二項分布的近似的條件，此時SKIPIF1<0，故不致死的概率為SKIPIF1<0，故致死的概率為SKIPIF1<0故選：A4．（2023·全國·高三專題練習）從一個裝有4個白球和3個紅球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1個，記X為取得紅球的次數(shù)，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先求出從袋子中取出一個紅球的概率，進而得到SKIPIF1<0，利用二項分布的方差公式進行求解.【詳解】由題意得：從一個裝有4個白球和3個紅球的袋子中取出一個球，是紅球的概率為SKIPIF1<0，因為是有放回的取球，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故選：D5．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的3倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則SKIPIF1<0（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)某項試驗的成功率是失敗率的3倍，結(jié)合SKIPIF1<0，即可求得答案.【詳解】由已知得SKIPIF1<0的所有可能取值為0，1，且SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選:D．6．（2023·全國·高三專題練習）已知5件產(chǎn)品中有2件次品，3件正品，檢驗員從中隨意抽取2件進行檢測，記取到的正品數(shù)為SKIPIF1<0，則數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】SKIPIF1<0服從超幾何分布，求出SKIPIF1<0的分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計算方法計算即可．【詳解】方法一：SKIPIF1<0可能取0，1，2，其對應(yīng)的概率為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．方法二：由題可知，SKIPIF1<0服從超幾何分布，故SKIPIF1<0．故選：D．7．（2023·全國·高三專題練習）已知隨機變量SKIPIF1<0，下列表達式正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)二項分布的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)進行逐一判斷即可.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此選項B、D不正確，選項C正確，又因為SKIPIF1<0，所以選項A不正確，故選：C8．（2023·全國·高三專題練習）某班50名學(xué)生通過直播軟件上網(wǎng)課，為了方便師生互動，直播屏幕分為1個大窗口和5個小窗口，大窗口始終顯示老師講課的畫面，5個小窗口顯示5名不同學(xué)生的畫面．小窗口每5分鐘切換一次，即再次從全班隨機選擇5名學(xué)生的畫面顯示，且每次切換相互獨立．若一節(jié)課40分鐘，則該班甲同學(xué)一節(jié)課在直播屏幕上出現(xiàn)的時間的期望是（

）A．10分鐘 B．5分鐘 C．4分鐘 D．2分鐘【答案】C【分析】由題可得甲同學(xué)一節(jié)課在直播屏幕上出現(xiàn)的輪次SKIPIF1<0服從二項分布SKIPIF1<0，甲同學(xué)一節(jié)課在直播屏幕上出現(xiàn)的時間SKIPIF1<0，根據(jù)二項分布的期望公式及期望的性質(zhì)可得答案.【詳解】每5分鐘算作一輪，每一輪甲同學(xué)出現(xiàn)在直播屏幕上的概率為SKIPIF1<0，設(shè)他在直播屏幕上出現(xiàn)的輪次為X，根據(jù)題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)甲同學(xué)在直播屏幕上出現(xiàn)的時間為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故答案為：C.9．（2023·全國·高三專題練習）考察下列兩個問題：①已知隨機變量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0；②甲、乙、丙三人隨機到某3個景點去旅游，每人只去一個景點，設(shè)SKIPIF1<0表示“甲、乙、丙所去的景點互不相同”，SKIPIF1<0表示“有一個景點僅甲一人去旅游”，記SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由二項分布的期望、方差公式得SKIPIF1<0，進而得SKIPIF1<0；根據(jù)條件概率計算公式SKIPIF1<0求解即可得SKIPIF1<0.【詳解】解：問題①，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.問題②，根據(jù)題意，事件B的可能情況有SKIPIF1<0種，事件SKIPIF1<0發(fā)生的可能情況為SKIPIF1<0種，所以，SKIPIF1<0.故選：C.二、多選題10．（2023·全國·高三專題練習）學(xué)校食坣每天中都會提供SKIPIF1<0兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇SKIPIF1<0套餐的概率為SKIPIF1<0，選擇SKIPIF1<0套餐的概率為SKIPIF1<0.而前一天選擇了SKIPIF1<0套餐的學(xué)生第二天詵擇SKIPIF1<0套餐的概率為SKIPIF1<0，選擇SKIPIF1<0套餐的概率為SKIPIF1<0；前一天選擇SKIPIF1<0套餐的學(xué)生第一天選擇SKIPIF1<0套餐的概率為SKIPIF1<0，選擇SKIPIF1<0套餐的概率也是SKIPIF1<0，如此往復(fù).記某同學(xué)第SKIPIF1<0天選擇SKIPIF1<0套餐的概率為SKIPIF1<0，選擇SKIPIF1<0套餐的概率為SKIPIF1<0.一個月（30天）后，記甲?乙?丙3位同學(xué)選擇SKIPIF1<0套餐的人數(shù)為SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【分析】對于A選項，由于每人每次只能選擇SKIPIF1<0兩種套餐中的一種，則SKIPIF1<0，所以A正確；對于B選項，依題意SKIPIF1<0，利用等比數(shù)列的定義即可判斷數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；對于C，D選項，利用B選項的結(jié)論可解得SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以C正確，SKIPIF1<0錯誤.【詳解】由于每人每次只能選擇SKIPIF1<0兩種套餐中的一種，所以SKIPIF1<0，故A正確；依題意，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，故B正確所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以C正確，SKIPIF1<0錯誤.故選：ABC.11．（2023·全國·高三專題練習）某工廠進行產(chǎn)品質(zhì)量抽測，兩位員工隨機從生產(chǎn)線上各抽取數(shù)量相同的一批產(chǎn)品，已知在兩人抽取的一批產(chǎn)品中均有5件次品，員工A從這一批產(chǎn)品中有放回地隨機抽取3件產(chǎn)品，員工B從這一批產(chǎn)品中無放回地隨機抽取3件產(chǎn)品．設(shè)員工A抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為X，員工B抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為Y，SKIPIF1<0，1，2，3．則下列判斷正確的是（

）A．隨機變量X服從二項分布 B．隨機變量Y服從超幾何分布C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】對于A，B選項，由超幾何分布和二項分布的概念可知“有放回”是二項分布，“無放回”是超幾何分布，故兩個選項均正確；C，D選項，可進行計算判斷.【詳解】對于A，B選項，由超幾何分布和二項分布的概念可知兩個選項均正確；對于D選項，該批產(chǎn)品有M件，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此D正確；對于C選項，假若C正確可得SKIPIF1<0，則D錯誤，矛盾！故C錯誤．故選：ABD.12．（2023·全國·高三專題練習）袋中有10個大小相同的球，其中6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個球，記隨機變量X為其中白球的個數(shù)，隨機變量Y為其中黑球的個數(shù)，若取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，隨機變量Z為取出4個球的總得分，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】利用超幾何分布的性質(zhì)，及超幾何分布的期望求解公式逐項驗證.【詳解】由題意知X，Y均服從于超幾何分布，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；從而SKIPIF1<0，故選項A正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選項B錯誤，C正確；SKIPIF1<0，故選項D正確；故選：ACD.三、解答題13．（2023·全國·高三專題練習）某校組織“生物多樣性”知識競賽，甲、乙兩名同學(xué)參加比賽，每一輪比賽，甲、乙各回答一道題，已知每道題得分為1~100的任意整數(shù)，60分及以上判定為合格.規(guī)定：在一輪比賽中，若兩名參賽選手，一名合格一名不合格，記合格者為SKIPIF1<0，不合格者為SKIPIF1<0；若兩名參賽選手，同時合格或同時不合格，記兩名選手都是SKIPIF1<0.在比賽前，甲、乙分別進行模擬練習.已知某次練習中，甲、乙分別回答了15道題，答題分數(shù)的莖葉圖如圖所示，甲、乙回答每道題得分不相互影響，并以該次練習甲、乙每道題的合格概率估計比賽時每道題的合格概率.甲乙063101236278550329534786565407485849578010(1)分別求甲、乙兩名同學(xué)比賽時每道題合格的概率；(2)設(shè)2輪比賽中甲獲得SKIPIF1<0的個數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)若甲、乙兩名同學(xué)共進行了10輪比賽，甲同學(xué)獲得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）個SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0最大時，求SKIPIF1<0.【答案】(1)甲的合格率為SKIPIF1<0，乙的合格率為SKIPIF1<0(2)分布列見解析，SKIPIF1<0(3)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最大【分析】（1）利用古典概型的概率公式直接求解；（2）設(shè)一輪比賽中，甲同學(xué)獲得SKIPIF1<0的個數(shù)為SKIPIF1<0，分別求出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.判斷出SKIPIF1<0的可能取值為0，1，2，分別求出SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，寫出SKIPIF1<0的分布列；（3）設(shè)10輪比賽中，甲同學(xué)獲得SKIPIF1<0的個數(shù)為SKIPIF1<0，判斷出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0(SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)．利用單調(diào)性判斷出當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最大．（1）根據(jù)莖葉圖知，15道題中甲同學(xué)合格了5個題，乙同學(xué)合格了6個題，所以甲同學(xué)合格的概率為SKIPIF1<0，乙同學(xué)合格的概率為SKIPIF1<0.（2）設(shè)一輪比賽中，甲同學(xué)獲得SKIPIF1<0的個數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的可能取值為0，1，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0由于甲同學(xué)2輪比賽可能獲得SKIPIF1<0的個數(shù)為0，1，2，故SKIPIF1<0的可能取值為0，1，2，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）設(shè)10輪比賽中，甲同學(xué)獲得SKIPIF1<0的個數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)．由于SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0隨著SKIPIF1<0的增大而增大，所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，故當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最大．14．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)一模（理））隨著奧密克戎的全球肆虐，防疫形勢越來越嚴峻，防疫物資需求量急增．下表是某口罩廠今年的月份x與訂單y（單位：萬元）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)：月份x12345訂單ySKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程，并估計該廠6月份的訂單金額．(2)已知甲從該口罩廠隨機購買了4箱口罩，該口罩廠質(zhì)檢過程中發(fā)現(xiàn)該批口罩的合格率為SKIPIF1<0，不合格的產(chǎn)品需要更換，用X表示甲需要更換口罩的箱數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0．參考公式：回歸直線的方程是SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0，59.9萬元(2)分布列見解析，SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)已知和參考數(shù)據(jù)求出SKIPIF1<0即可得出方程，代入SKIPIF1<0可估計該廠6月份的訂單金額；（2）可得X的取值可能為0，1，2，3，4且SKIPIF1<0，求出X取不同值的概率即可得出分布列求出期望.(1)由數(shù)據(jù)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，故y關(guān)于x的線性回歸方程為SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，估計該廠6月份的訂單金額為59.9萬元．(2)依題意，隨機變量X的取值可能為0，1，2，3，4，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．隨機變量X的分布列為X01234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0．題型四：正態(tài)分布一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）已知在體能測試中，某校學(xué)生的成績服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，其中60分為及格線，則下列結(jié)論中正確的是（

）附：隨機變量SKIPIF1<0服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．該校學(xué)生成績的均值為25 B．該校學(xué)生成績的標準差為SKIPIF1<0C．該校學(xué)生成績的標準差為70 D．該校學(xué)生成績及格率超過95%【答案】D【分析】求得該校學(xué)生成績的均值判斷選項A；求得該校學(xué)生成績的標準差判斷選項BC；求得該校學(xué)生成績及格率的范圍判斷選項D.【詳解】由正態(tài)分布SKIPIF1<0的定義，SKIPIF1<0為期望值，SKIPIF1<0為方差，選項A：該校學(xué)生成績的均值為70.判斷錯誤；選項B：該校學(xué)生成績的標準差為SKIPIF1<0.判斷錯誤；選項C：該校學(xué)生成績的標準差為SKIPIF1<0.判斷錯誤；選項D：該校學(xué)生成績及格率SKIPIF1<0，判斷正確.故選：D.2．（2023·全國·高三專題練習）已知隨機變量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．0.36 B．0.18 C．0.64 D．0.82【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選:C．3．（2023·全國·高三專題練習）2012年國家開始實施法定節(jié)假日高速公路免費通行政策，某收費站統(tǒng)計了2021年中秋節(jié)前后車輛通行數(shù)量，發(fā)現(xiàn)該站近幾天車輛通行數(shù)量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，