2023年初中幾何“中點問題”七大模型（附解析）

2023年初中11幾何"中點問題"七大模型（附解析）

模型一多個中點出現(xiàn)或平行+中點（中點在平行線上）時，常考慮或

構造三角形中位線

1模型分析I在三角形中，如果有中點，可構造三角形的

中位線，利用三角形中位線的性質(zhì)定理:。后〃且QE

=町解決線段之間的相等或比例關

系及平行問題.

練一練

1.如圖，在中，對角線4C與時相交于點。鴻

是邊的中點，連接?？谌?430=60°,/創(chuàng)。二

80°,則乙1的度數(shù)為)

第1題圖

2如圖，M是△48C的邊BC的中點，4N平分乙MC,

BNLAN于點、N,且48=8,MN=3.求4c的長.

第2題圖

答案：

1.B2.AC=14.

3.，證明：如解圖，順次連接MP、2V、

NQ、QM,

???點M、P分別晚段儂、血的中點，

MP是△45。的中位線，

MP//AB且=-^-AB,

同理,NQ〃”且NQ二。肛

MP〃NQ且MP=NQ,

.-.四邊形MPNQ是平行四邊形，

又?：點P、N分別是線段BD、BC的

中點，

；.PN是ABCD的中位線，

...PN=-yCD,

又?.?48二。。，

/.PN;PM,

二.平行四邊形M0V。是菱形，

/.MN與PQ互相垂直平分.

模型二直角三角形中遇到斜邊上的中點，常聯(lián)想“斜邊上的中線等于斜

邊的一半”

1模型分析I直角三角形中有斜邊中點時，常作斜邊上

的中線，利用“斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得CD

=4。=8。=來解題，有時有直角無中點，要找中

點，可簡記為“直角+中點，等腰必呈現(xiàn)”.

此模型作用:①證明線段相等或求線段長；②構造角相

等進行等量代換.

練一練

答案：

4.AB=6.

5.證明:???49_L08,點E為45的中點,

DE=BE=^-AB,

...乙ABD=ABDE.

?.?DE//BC,

乙CBD二乙BDE,

...乙ABD=乙CBD,

BD平分44BC.

模型三等腰三角形中遇到底邊上的中點，常聯(lián)想“三線合一”的性質(zhì)

1模型分析|等腰三角形中有底邊上的中點時,常作底

邊的中線，利用等腰三角形底邊中線、高線、頂角平分線

“三線合一”的性質(zhì)得到：乙m。=LCAD,AD±BC,BD

=CO,解決線段相等及平行問題、角度之間的相等問題.

練一練

6.如圖，AABC中,45=4C,點D是BC的中點,E是AC

上一，點，且若乙4ED=75°.

求：4磯）C的度數(shù).

BDC

第6題圖

答案：

6.乙EDC=15°.

12

7.MN二芋.

8.證明：(1);四邊形48co是矩形，

/.AB//CD,

ADCE=乙CEB,

EC平分乙DEB,

ADEC=乙CEB,

...ADCE=乙DEC,

DE二DC；

(2)如解圖，連接

?「DE=DC,F為CE的中點,

DFA.EC,

ADFC=90°,

在矩形ABCD中，四二DC,4ABC二90。,

/.BF=CF=EF=~YEC,

乙ABF=乙CEB,

???ADCE=乙CEB,

AABF=乙DCF,

在△AB尸和△QCr中，

BF=CF

乙ABF二乙DCF,

AB=DC

△ABF”XDCF(S2,

AAFB=乙DFC=90。，

模型四遇到三角形一邊垂線過這邊中點時，可以考慮用垂直平分線的

性質(zhì)

練一練

答案：

9.ZU8E的周長為10.

10.證明：如解圖，連接。燈

???G是CE的中點,OG_LCE,

???OG是CE的垂直平分線，

DE=DC,

?「ZUBC中,4。是高，CE1是中線,

DE是Rt^ADB的斜邊AB上的

中線，

/.DE=BE=^-AB,

DC=BE.

模型五中線等分三角形面積

1模型分析是匕kBC的中線，則=S：=

:S.C?（因為△力血與△4。。是兩個等底同高的三角形）

練一練

答案：

模型六圓中弦（或?。┑闹悬c，考慮垂徑定理及圓周角定理

(點￡是弦43的中點)(點。是43的中點)

1模型分析|(1)圓心。是直徑的中點，常與已知中點連

接，或過點。作一邊的平行線或垂直構造中位線解題；

(2)圓中遇到弦的中點，聯(lián)想“垂徑定理”，出現(xiàn)“四中點

一垂直”解決相應問題；

(3)圓中遇到弧的中點，利用“一等四等”“垂徑定理”解

決相應問題.

13.如圖，48是。。的直徑，C是。。上的一點

8。于點。,4。=6,則。。的長為()

C.3.5D.4

14.如圖,46是半圓。的直徑，△48C的兩邊AC,BC分

別交半圓于〃&且￡為BC的中點，已知ABAC=

50。，則乙。二

答案：

13.B14.65°

模型七遇到三角形一邊上的中點（中線或與中點有關的線段），考慮

倍長中線法構造全等三角形

1模型分析I當遇見中線或者中點時，可以嘗試用倍長中

線法構造全等三角形，證明線段間的數(shù)量關系，該類型

經(jīng)常會與中位線定理一起綜合應用.

答案：

15.1<AD<6

16.證明:如解圖，延長4寸到點C,使

得=連接"，

???4。是3。邊上的中線，

/.DC=DB,

在△40。和△COB中，

AD=DG

]AADC=