重難點01 相交線與平行線的三個模型與壓軸題歸類（解析版）

重難點01相交線與平行線的三個模型與壓軸題歸類相交線與平行線的三個模型與壓軸題：熟悉豬蹄、鉛筆、鋸齒這三個基本模型以及對應(yīng)的結(jié)論，能夠?qū)㈩}目中涉及的基本模型抽象出來，謹記解決這類題的通用輔助線作法，即添加已知直線的平行線；期末試卷中通常會考察1道小題和1道大題（壓軸題），多涉及角度的計算、角之間的數(shù)量關(guān)系的探究以及三角形旋轉(zhuǎn)下的平行問題；若小題中涉及基本模型，則可直接套用結(jié)論，若大題中涉及基本模型，則不行，需添加一條或多條平行線作為輔助線，嚴格按照平行線的性質(zhì)定理推導(dǎo)出結(jié)論（注意：在大題中，結(jié)論雖不能直接使用，但可以起到快速熟悉題目考點，理清題目邏輯，降低題目難度的作用）；若涉及旋轉(zhuǎn)問題，大多情況下需要分類討論，先將題目中描述的整個旋轉(zhuǎn)過程在腦海中過一遍，提升自己的空間想象能力，再按照次序描繪出各種可能情形下的圖像去解題，提升自己數(shù)形結(jié)合的能力?！灸Ｐ?豬蹄模型】1．（2023·松原·一模）已知，一個含有角的三角尺按照如圖所示的位置擺放，若，則度．【詳解】解：如圖，過直角頂點作，，，，，，，．故本題答案為：25．2．（2022·石家莊·二模）如圖，有，，三地，地在地北偏西方向上，，則地在地的A．北偏東方向 B．北偏東方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向【詳解】解：如圖，過點作，，，，，，，，地在地的北偏東方向．故本題選：．3．（2022·宜賓·一模）幾何模型在解題中有著重要作用，例如美味的“豬蹄模型”．（1）導(dǎo)入：如圖①，已知，如果，，那么；（2）發(fā)現(xiàn)：如圖②，已知，請判斷與，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）運用：如圖③，已知，，點、分別在、上，，如果，那么；如圖④，已知，點、分別在、上，、分別平分和．如果，那么；如圖⑤，已知，點、分別在、上，、分別平分和，且．如果，那么．（用含的代數(shù)式表示）【詳解】解：（1），，，，故本題答案為：60；（2），理由如下：如圖，過點作，，，，；（3），由（2）的結(jié)論可得：，，，，，，，，故本題答案為：60；，由（2）的結(jié)論可得：，，、分別平分和，，，，，，，，故本題答案為：128；、分別平分和，，，，由（1）知：，，，即，，，，即，，，，故本題答案為：．4．（2022·射洪·期末）【問題背景】同學(xué)們，我們一起觀察小豬的豬蹄，你會發(fā)現(xiàn)一個我們熟悉的幾何圖形，我們就把這個圖形象的稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊含著角的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖1，，為，之間一點，連接，，得到．試探究與、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）【類比探究】請你利用上述“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的問題：如圖2，已知，，點在上，，請你說明；（把下面的解答補充完整）解：因為所以因為又因為所以即所以由（1）知（3）【拓展延伸】如圖3，平分，平分，．若，請直接寫出的度數(shù)為．【詳解】解：（1），理由如下：如圖，過點作，，，，，，；（2）解：因為，所以（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），因為（平角的定義），又因為，所以（等角的補角相等），即，所以，由（1）知，，故本題答案為：，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；平角的定義；，；等角的補角相等；（3）平分，平分，，，，由（1）知：，即，，，即，，，，即，，，故本題答案為：．【模型2鉛筆模型】1．（2022·淄博·一模）如圖，直線，點、分別在直線、上，為兩平行線間一點，那么等于A． B． C． D．【詳解】解：如圖，過點作，則，，，．故本題選：．2．（2022·揭陽·月考）觀察圖形：已知，在第一個圖中，可得，則按照以上規(guī)律，度．【詳解】解：，，如圖2，過點作，，，，，，；如圖3，過點作，過點作，，，，，，，；．則按照以上規(guī)律，．故本題答案為：．3．（2022·隨州·期末）已知，點在射線，之間．（1）如圖1，若，，小聰同學(xué)過點作，利用平行線的性質(zhì)，求得度；（2）如圖2，請寫出你發(fā)現(xiàn)的，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，平分交于點，平分交于點，交于點，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【詳解】解：（1），，，，，，，，，，故本題答案為：120；（2），證明：如圖，過點作，，，，，，；（3），理由如下：平分，平分，，，，，由（2）得：，，，，．【模型3鋸齒模型】1．（2023·常州·期中）如圖，，是直線、間的一條折線．若，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【詳解】解：如圖2，過作，，，，，，，，，．故本題選：．2．（2021·雅安·期末）如圖，，，探索圖中角，，之間的關(guān)系式正確的是A． B． C． D．【詳解】解：如圖，過點作，過點作，，，，，，①，②，由①②得：．故本題選：．3．（2021·沈陽·期中）解答下列問題．（1）探究（1）如圖，若，求證：．（2）若將點移至圖所示位置，請證明此時、、之間有何關(guān)系？（3）若將點移至圖所示位置，直接寫出此時、、之間有什么關(guān)系？（4）圖中，，與有何關(guān)系？將結(jié)論推廣到圖又如何？請直接寫出2個圖的結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，過點作，，，，，，；（2）解：、、之間的關(guān)系是：，理由如下：如圖，過點作，，，，，，，即；（3）解：、、之間的關(guān)系是：，理由如下：如圖，過點作，，，，，，，即；（4）與的關(guān)系是：，理由如下：如圖，過點作，由（1）可知：，，，，，，即，由上述的結(jié)論得：．【壓軸1求角度】1．（2022·滁州·期末）已知：直線分別與直線，相交于點，，并且．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，點在直線，之間，連接，，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，射線是的平分線，在的延長線上取點，連接，若，，求的度數(shù)．【詳解】（1）證明：如圖1，，，，；（2）證明：如圖2，過點作，，，，，；（3）解：如圖3，令，，則，，射線是的平分線，，，，，，過點作，則，，，，，，，，．2．（2022·哈爾濱·期末）已知：直線分別交直線，于點，，且．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，點，分別在射線，上，點，分別在射線，上，連接，，且，分別延長，交于點，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，平分，且平分，若，求的度數(shù)．【詳解】（1）證明：，，，；（2）證明：如圖，過作，，，，，，，；（3）解：如圖，過作，過作，，，平分，，設(shè)，，平分，，，，，，，，，，，．【壓軸2探究角之間的數(shù)量關(guān)系】1．（2022·武漢·期末）已知，點，分別在直線，上，點在直線上方．問題探究：（1）如圖1，，證明：；問題拓展：（2）如圖2，，的角平分線所在的直線和的角平分線所在的直線交于點，請寫出和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．問題遷移：（3）如圖3，，直線分別交，于點，，若點在線段上，且，請直接寫出，和之間滿足的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示）．【詳解】（1）證明：如圖，是的外角，，，，；（2）解：如圖，，理由如下：，，，平分，，，設(shè)，則，，，平分，，設(shè)，則，，，是的外角，，，；（3）解：如圖，，，，，，，和之間滿足的數(shù)量關(guān)系是．2．（2023·昆明·期中）如圖1，直線分別交直線、于點（點在點的右側(cè)）．若．（1）求證：；（2）如圖2，點在直線、之間，過點作于點，若平分，，求的度數(shù)；（3）如圖3，直線與直線、分別交于點、，若，點為線段上一動點，為線段上一動點，請直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系．（題中的角均指大于且小于的角）【詳解】（1）證明：，，（同角的補角相等），（同位角相等，兩直線平行）；（2）解：如圖2，過點作，則，，即，，，，平分，，，，；（3）解：如圖，當(dāng)點在線段上時，過點作，則，，，；如圖，當(dāng)點在的延長線上時，過點作，則，，，；如圖，當(dāng)點在的延長線上且點在直線的右側(cè)時，過點作，則，，，；如圖（2），當(dāng)點在的延長線上且點在直線的右側(cè)時，過點作，則，，，；綜上，與，之間的數(shù)量關(guān)系為：或或．【壓軸3旋轉(zhuǎn)問題】1．（2022·重慶·期末）已知，點在上方，點在下方，分別以、為頂點作，的兩邊交于、（點在點的左邊），的兩邊交于、（點在點的左邊），、交于點，、交于點．（1）如圖1，若，，則，；（2）如圖2，、的角平分線交于點，交與，、的角平分線交于點交．試探索、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）在（1）的條件下，把繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)，每秒鐘轉(zhuǎn)，與此同時繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，每秒鐘轉(zhuǎn)．當(dāng)旋轉(zhuǎn)到邊首次與平行時，兩個三角形都停止轉(zhuǎn)動．在轉(zhuǎn)動過程中，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒，當(dāng)所在的直線與的邊平行時，請直接寫出的所有可能的值．【詳解】（1），；（2），理由如下：在四邊形中，，，如圖，過作，則，，，，同理可得：，、分別平分、，，，，設(shè)、交于點，過作交于點，則，，，、分別平分、，，，，，；（3），當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，12，21．2．（2022·重慶·期末）已知，，直線交于點，交于點，點在線段上，過作射線、分別交射線、于點、．（1）如圖1，當(dāng)時，求的度數(shù)；（2）如圖2，若和的角平分線交于點，求和的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，當(dāng)，且，時，作的角平分線．把一三角板的直角頂點置于點處，兩直角邊分別與和重合，將其繞點點順時針旋轉(zhuǎn)，速度為每秒，當(dāng)落在上時，三角板改為以相同速度逆時針旋轉(zhuǎn)．三角板開始運動的同時繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)中的為，當(dāng)和重合時，整個運動停止．設(shè)運動時間為秒，當(dāng)?shù)囊贿吅腿前宓囊恢苯沁吇ハ嗥叫袝r，請直接寫出的值．【詳解】解：（1）如圖，過點作，，，，，，，，；（2）如圖，過點作，過點作，設(shè)，則，，，設(shè)，則，，，，，，，；（3）①若，則，到達前，如圖：，，，解得：；返回時，如圖：，，，解得：；②當(dāng)時，如圖：，，解得：；③當(dāng)時，如圖：同理可得：，解得：；④當(dāng)時，如圖：，解得：；綜上，的值為10或15或或或35．1．（2022·凱里）一塊直角三角板按如圖所示方式放置在一張長方形紙條上，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【詳解】解：如圖，過直角的頂點作，交于點，交于點，則，四邊形是矩形，，，，，，，．故本題選：．2．（2023·泰安·一模）如圖，，，，則為A． B． C． D．【詳解】解：如圖，過點作，，，，，，．故本題選：．3．（2022·石家莊·期末）如圖，若直線，那么A． B． C． D．【詳解】解：如圖，令與互補的角為，，，，，．故本題選：．4．（2022·內(nèi)江·期末）（1）【問題】如圖1，若，，．求的度數(shù)；（2）【問題遷移】如圖2，，點在的上方，問，，之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）【聯(lián)想拓展】如圖3所示，在（2）的條件下，已知，的平分線和的平分線交于點，用含有的式子表示的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖1，過點作，，，．，又，，；（2），理由如下：如圖2，過點作，則，，，，，，，即；（3）如圖3，過點作的平行線．，，，，，又的平分線和的平分線交于點，，，同（1）易得：，，．5．（2022·洛陽·期末）課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．（1）閱讀理解：如圖1，已知點是外一點，連接、，求的度數(shù)．閱讀并補充下面推理過程．解：過點作，，，，．解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將、、“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．（2）方法運用：如圖2，已知，求的度數(shù)；（3）深化拓展：已知，點在點的右側(cè)，，平分，平分，，所在的直線交于點，點在直線與之間．①如圖3，點在點的左側(cè)，若，求的度數(shù)．②如圖4，點在點的右側(cè)，且，．若，求度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【詳解】解：（1），，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），故本題答案為：；；（2）如圖，過作，，，，，，，；（3）①如圖，過作，，，，平分，，，平分，，，，；②如圖，過作，，，，平分，，，，，，．6．（2022·江門·期末）如圖1，已知兩條直線，被直線所截，分別交于點，點，平分交于點，且．（1）判斷直線與直線是否平行，并說明理由；（2）如圖2，點是射線上一動點（不與點，重合），平分交于點，過點作于點，設(shè)，．①當(dāng)點在點的右側(cè)時，若，求的度數(shù)；②當(dāng)點在運動過程中，和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明．【詳解】解：（1）平分，，又，，；（2）①如圖2，，，，又平分，平分，，，，又，中，，即；②分兩種情況討論：如圖2，當(dāng)點在點的右側(cè)時，，證明：，，又平分，平分，，，，又，中，，即；如圖3，當(dāng)點在點的左側(cè)時，，證明：，，又平分，平分，，，，又，中，，即．7．（2022·咸寧·期末）已知，是截線上的一點，與、分別交于、．（1）若，，求的度數(shù)；（2）如圖1，當(dāng)點在線段上運動時，與的平分線交于，問：是否為定值？若是定值，請求出定值；若不是，說明其范圍；（3）①如圖2，當(dāng)點在線段的延長線上運動時，與的平分線交于，求的值；②當(dāng)點在直線上運動時，與的等分線交于，其中，，設(shè)，求的度數(shù)（直接用含，的代數(shù)式表示，不需說明理由）【詳解】解：（1）如圖，當(dāng)點在線段，之間時，過點作，，，，，，；當(dāng)點在的上方時，可得：；綜上，為或；（2），由（1）可知，，，，同理可得：，又，分別平分與，，，，；（3）①如圖，過點作，過點作，，，．，，，同理可得：，又，分別平分與，，，，；②，理由如下：分三種情況討論：（Ⅰ）如圖，當(dāng)點在線段的延長線上運動時，可得：，，，，，；（Ⅱ）如圖，當(dāng)點在線段上運動時，可得：，．，，，；（Ⅲ）如圖，當(dāng)點在線段的延長線上運動時，可得：，，，，，；綜上，．8．（2022·金華·期末）如圖，已知，直線交于點，交于點．點是線段上一點，，分別在射線，上，連接，，平分，平分．（1）如圖1，若，，則，．（2）如圖2，求與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，當(dāng)時，若，，過點作交的延長線于點．將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)，速度為每