專題10 勾股定理中的翻折模型（解析版）

專題10.勾股定理中的翻折模型翻折問題屬于圖形變換中的實際問題，也是近些年中考試卷出題老師青睞的題型。在解決翻折問題的有關(guān)的題目中，要注意隱含的已知條件比較多。比如翻折前后的圖形全等，這樣就好出現(xiàn)相等的線段和相等的角；因為大部分翻折問題是對矩形進行翻折，所以翻折后由于線段交錯，出現(xiàn)的直角三角形也引起注意；因為翻折問題本身是軸對稱的問題，所以翻折前后對應(yīng)點所連線段會被折痕所在直線垂直平分；折痕還會平分翻折所形成的的兩個角?？傊?，翻折問題并不復(fù)雜，只要要把隱含已知條件熟記于心，再結(jié)合其他有關(guān)知識就能讓此類問題迎刃而解了?！局R儲備】勾股定理在有關(guān)圖形折疊計算的問題中的共同方法是：在圖形中找到一個直角三角形，然后設(shè)圖形中某一未知數(shù)為x，將此三角形中的三邊長用具體數(shù)或含x的代數(shù)式表示，再利用勾股定理列出方程，從而得出要求的線段的長度。模型1.折痕過對角線模型【模型解讀】沿著矩形的對角線所在直線進行翻折。已知矩形ABCD中，以對角線AC為折痕，折疊ABC，點B的對應(yīng)點為B’.結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：AEC是等腰三角形。例1．（2023春·上海寶山·八年級統(tǒng)考期末）已知矩形，把矩形沿直線翻折，點A落在點E處，如果的長度等于該矩形的一條邊長，那么．【答案】6或【分析】分兩種情況：①當(dāng)時，利用矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)證明是等邊三角形，得出，然后根據(jù)30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求解；②當(dāng)時，同理可求．【詳解】解：如圖，當(dāng)時，∵四邊形是矩形，∴，，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得：，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，即，解得：；

當(dāng)時，如圖，同理可得是等邊三角形，∴，∵，∴，∴；故答案為：6或．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·河南平頂山·八年級?？计谥校┤鐖D，將矩形ABCD沿對角線AC翻折，點B落在點F處，F(xiàn)C交AD于點E．若AB＝4，BC＝8，則圖中陰影部分的面積為（）A．8 B．10 C．12.5 D．7.5【答案】B【分析】利用折疊的性質(zhì)可得∠ACF＝∠ACB，由AD∥BC，可得出∠CAD＝∠ACB，進而可得出AE＝CE，根據(jù)矩形性質(zhì)可得AB=CD=4，BC=AD=8，∠D=90°，設(shè)AE＝CE=x，則ED＝8﹣x，在Rt△CDE中，利用勾股定理可求出x的值，再利用三角形的面積公式即可求出△ACE的面積，則可得出答案．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)，∠ACF＝∠ACB．∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB，∴∠CAD＝∠ACF，∴AE＝CE．∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD=4，BC=AD=8，∠D=90°，設(shè)AE＝CE=x，則ED＝8﹣x，在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得，即42+（8﹣x）2＝x2，∴x＝5，∴圖中陰影部分的面積＝S△ACEAE?AB=×5×4＝10．故選：B【點睛】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積，利用勾股定理求出AE的長是解題的關(guān)鍵．例3．（2023春·安徽亳州·八年級校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B（8，0），D（0，4），若將△ABC沿AC所在直線翻折，點B落在點E處．則E點的坐標(biāo)是．【答案】（,）【詳解】連接BE，與AC交于G，作EF⊥AB，∵AB=AE，∠BAC=∠EAC，∴△AEB是等腰三角形，AG是BE邊上的高，∴EG=GB，EB=2EG，BG==，設(shè)E（x，y），則有：AE2-AF2=BE2-BF2即：82-x2=（）2-（8-x）2，解得：x=，y=EF=，∴E點的坐標(biāo)為：（,）．模型2.折痕過一頂點模型【模型解讀】沿著矩形的一個頂點和一邊上的點的線段所在直線進行翻折。已知矩形ABCD中，以AE為折痕，點B的對應(yīng)點為B’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：AEF是等腰三角形。例1．（2022秋·廣東深圳·八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形紙片中，，，點在上，將沿折疊，使點落在對角線上的點處，則的長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理即可求出的長，設(shè)，則，在中根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：，，，，根據(jù)折疊可得：，，設(shè)，則，，在中：，解得：，故選：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，矩形邊沿折痕折疊，使點落在上的處，已知，的面積為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，；根據(jù)，解出，可得的值，根據(jù)直角三角形，利用勾股定理，即可求出．【詳解】∵四邊形是矩形，∴，，，∵是沿折痕折疊得到的，∴，，∵，∴，∴在直角三角形中，，∴，∴，∴，，設(shè)，∴，∴在直角三角形，，∴，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，勾股定理的運用．例3．（2023春·江蘇八年級課時練習(xí)）如圖，矩形中，，，點為上一個動點，把沿折疊，當(dāng)點的對應(yīng)點落在的角平分線上時，的長為______．【答案】或【分析】連接，過作，交于點，于點，作交于點，先利用勾股定理求出，再分兩種情況利用勾股定理求出．【詳解】解：如圖，連接，過作，交于點，于點，作交于點點的對應(yīng)點落在的角平分線上，，設(shè)，則，，又折疊圖形可得，，解得或，即或．在中，設(shè)，當(dāng)時，，，，，解得，即，當(dāng)時，，，，，解得，即．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了折疊問題，解題的關(guān)鍵是明確掌握折疊以后有哪些線段是對應(yīng)相等的．例4．（2023春·江蘇·八年級期中）在四邊形中，，，，P為射線上一點，將沿直線翻折至的位置，使點B落在點E處．(1)若P為上一點．①如圖1，當(dāng)點E落在邊上時，求的長；②如圖2，連接，若，則與有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；(2)如果點P在的延長線上，當(dāng)為直角三角形時，求的長．【答案】(1)①2；②，理由見解析(2)10或30【分析】（1）①以點A為圓心，為半徑交于點E，利用勾股定理求出的長即可；②根據(jù)平行線的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可證，從而；（2）由是直角三角形，當(dāng)時，則四邊形是正方形，得；當(dāng)時，設(shè)，則，在中，利用勾股定理列方程即可求解，當(dāng)時，點P在線段上，不符合題意，舍去．【詳解】（1）①如圖：以點A為圓心，為半徑交于點E，∵，∴，∴；②，理由如下：∵將沿直線翻折至的位置，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）∵是直角三角形，當(dāng)時，∵，且，∴四邊形是正方形，∴；當(dāng)時，則，∴，∵，∴點E、D、C三點共線，由翻折知，根據(jù)勾股定理得，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，解得，∴；當(dāng)時，點P在線段上，不符合題意，舍去，綜上：或30．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會利用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．例5．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖所示，在長方形ABCD中，AB＝2，在線段BC上取一點E，連接AE、ED，將ABE沿AE翻折，點B落在點處，線段E交AD于點F．將ECD沿DE翻折，點C的對應(yīng)恰好落在線段上，且點為的中點，則線段EF的長為（）A．3 B． C．4 D．【答案】A【分析】由折疊的性質(zhì)可得AB＝A＝CD＝D＝2，∠B＝∠＝90°＝∠C＝∠DE，BE＝E，CE＝E，由中點性質(zhì)可得E＝2E，可得BC＝AD＝3EC，由勾股定理可求CE的長，由“AAS”可證，可得＝1，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°由折疊的性質(zhì)可得：AB＝＝CD＝＝2，∠B＝∠＝90°＝∠C＝∠，BE＝，CE＝，∠BEA=∠=，∠CED=∠=∴∠AED=+===90∴是直角三角形∴AD2＝AE2+DE2，∵點恰好為的中點，∴＝2，∴BE＝2CE，∴BC＝AD＝3EC，∵AE2＝AB2+BE2，DE2＝DC2+CE2，∴(3CE)2=AB2+BE2+DC2+CE2即9CE2＝8+4CE2+8+CE2，∴CE＝2，∴＝BE＝4，BC＝AD＝6，＝2，∴＝2，∵∠＝∠DC'F＝90°，∠AF＝∠DFC'，A＝D，∴AFDF（AAS），∴F＝F＝1，∴EF＝C'E+F＝3，故選：A．【點睛】此題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等，解題的關(guān)鍵是求出CE的長．模型3.折痕任意兩點模型【模型解讀】沿著矩形邊上的任意兩點所在直線進行翻折。已知矩形ABCD中，以E，F(xiàn)為折痕，點B的對應(yīng)點為B’，點C的對應(yīng)點為C’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕EF垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：GC’F是直角三角形。例1．（2023春·重慶八年級課時練習(xí)）如圖，在矩形中，，，是邊上的中點，是邊上的一動點．連接，將沿折疊，點的對應(yīng)點為點，連接．當(dāng)為直角三角形時，的長為________．【答案】2或【分析】分情況討論：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時三種情況下，分別利用勾股定理和翻折的性質(zhì)可得到答案．【詳解】解：當(dāng)為直角三角形時，可有：①當(dāng)時，如圖1，此時，由折疊性質(zhì)可知，，∵，∴，∴；②當(dāng)時，如圖2，由折疊性質(zhì)可知，，，，∴，即M、E、C三點共線，設(shè)，則，在中，，∴，在中，有，即，解得，即，③當(dāng)時，點E在直線CD上，此時，故此種情況不符合題意．綜上所述，滿足條件的BN的長為2或．故答案為：2或．【點睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)和勾股定理的運用，根據(jù)題意畫出圖形并分情況討論是解題關(guān)鍵．例2．（2023秋·廣東·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，，E是上一個動點，F(xiàn)是上一點（點F不與點D重合）．連接，將沿翻折，使點A的對應(yīng)點落在邊上，連接，若，則的面積為．

【答案】3【分析】過點E作于H，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：如圖，過點E作于H．

由折疊的性質(zhì)得，∵四邊形是矩形，∴，，設(shè)，則，在中，則有，解得，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，，∴，∴的面積為．故答案為：3．【點睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．例3．（2023春·江蘇·八年級階段練習(xí)）如圖，把矩形ABCD沿EF折疊，使點C落在點A處，點D落在點G處，若CD＝2，AD＝3，則邊AE的長為_____．【答案】/【分析】根據(jù)勾股定理列方程可求解【詳解】根據(jù)折疊知，,設(shè)，則．根據(jù)勾股定理，得：解得，．故答案為：【點睛】本題考查了折疊問題，勾股定理的應(yīng)用，利用折疊的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)對應(yīng)邊、對應(yīng)角的關(guān)系為關(guān)鍵．例4．（2022春·四川雅安·九年級專題練習(xí)）如圖，把矩形沿翻折，點B恰好落在邊的處，若，，則．【答案】10【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)求出，AE==5，=60°，然后根據(jù)含30度的直角三角形性質(zhì)求出，過點E作EM⊥BC于M，根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可求EM=AB=，最后在Rt△EFM中，根據(jù)含30度的直角三角形性質(zhì)和勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，，∵折疊，AE=5，，∴∠BFE==60°，AB=，∠A==90°，AE==5，，∵，∴∠DEF=∠EFB=60°，∠AEF=180°-∠BFE=120°=，∴，∴，∴，∴，過E作EM⊥BF于M，又∠A=∠B=90°，∴四邊形ABME是矩形，∴EM=AB=，∵∠EMF=90°，∠EFB=60°，∴∠MEF=30°，∴EF=2FM，在Rt△EFM中，，∴，∴FM=5，∴EF=2FM=10．故答案為：10．【點睛】本題考查了折疊問題，矩形的判定與性質(zhì)，含30度的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運用折疊的性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．例5．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）在矩形中，，點G在邊上，，邊上有一點H，將矩形沿邊折疊，點C和D的對應(yīng)點分別是和，若點A、和三個點恰好在同一條直線上時，的長為__________．【答案】7或1/1或7【分析】分兩種情況，分別畫出圖形，再根據(jù)勾股定理求出線段長，進而得出答案．【詳解】當(dāng)點A，點，點，共線時，根據(jù)題意可知，，∴．在中，，∴；當(dāng)點A，點，點，共線時，根據(jù)題意可知，，∴．在中，，∴.所以的長為7或1．故答案為：7或1．【點睛】這是一道關(guān)于矩形的折疊問題，考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等，準(zhǔn)確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．模型4.過一個頂點所在直線（落點在一邊上）翻折模型【模型解讀】1）沿過點A的直線翻折使得點B的對應(yīng)點為B’落在斜邊AC上，折痕為AD；2）沿過點C的直線翻折使得點B的對應(yīng)點為B’落在斜邊AC上，折痕為CD；3）沿過點B的直線翻折使得點A的對應(yīng)點為E落在BC邊上，折痕為BD。例1．（2022·安徽·合肥市八年級期中）如圖，在中，，，．將折疊，使點B恰好落在邊AC上．與點重合，AE為折痕，則的長為（

）A．12 B．25 C．20 D．15【答案】D【分析】由勾股定理可求出AC，再由折疊的性質(zhì)可知，，進而可得，設(shè)，在中，由勾股定理列方程即可求解．【詳解】解：∵在中，，，，，∵折疊，點B與點重合，，，，，設(shè)，則，又，在中，，即，解得：，．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，，將斜邊翻折，使點B落在直角邊的延長線上的點E處，折痕為，則的長是___________．【答案】【分析】先利用勾股定理求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，進一步求出，設(shè)，則，由勾股定理得，解得，則．【詳解】解：在中，由勾股定理得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，∵，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得∴，解得∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，正確利用勾股定理結(jié)合方程的思想求解是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·河南周口·八年級校聯(lián)考期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點D在邊AB上，連接CD，將△ADC沿直線CD翻折，點A恰好落在BC邊上的點E處，若AC＝3，BE＝1，則DE的長是．【答案】【分析】過點作于，于，由折疊的性質(zhì)可得，，由勾股定理可求，由面積法可求的長，由勾股定理可求的長．【詳解】解：如圖，過點作于，于，將沿直線翻折，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識，求出的長是本題的關(guān)鍵．模型5.過斜邊中點所在直線翻折模型【模型解讀】1）沿直線MN（N為斜邊中點）翻折使得點A與點C重合；2）沿中線BE翻折，使得點A落在點F處，連結(jié)AF，F(xiàn)C，AF與BE交于點O.3）沿中線BE翻折，使得點C落在點D處，連結(jié)AD，CD.例1．（2022·江蘇無錫·八年級期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ADE沿DE翻折，使點A與點B重合，則AE的長為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】先利用折疊的性質(zhì)得到，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理可得到，求解即可．【詳解】解：∵沿DE翻折，使點A與點B重合，∴，∴，設(shè)，則，，在中，∵，∴，解得，∴，故選：D．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，理解題意，熟練掌握勾股定理解三角形是解題關(guān)鍵．例2．（2023春·安徽蚌埠·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，，點為斜邊的中點，連接，將沿翻折，使落在點處，點為直角邊上一點，連接，將沿翻折，使點與點重合，則：(1)°；(2)的長為．【答案】(1)90(2)【分析】（1）利用翻折的性質(zhì)可知翻折前后對應(yīng)角相等，結(jié)合原來的和互余即可得到的度數(shù)；（2）利用翻折的性質(zhì)可知翻折前后對應(yīng)邊相等，結(jié)合（1）中得到的結(jié)論設(shè)為，利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）解：由翻折可知：，，，即；故答案為：90；（2）解：，，由翻折可知：，∴，設(shè)，則，，解得，即．【點睛】本題考查勾股定理和翻折的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理列方程以及翻折的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．例3．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，是的中線，，把沿著直線翻折，點C落在點E的位置，如果，那么線段的長度為．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)判定是等邊三角形，然后再利用求．【詳解】解：連接，是的中線，且沿著直線翻折，，是等腰三角形，，，為等邊三角形，，在中，，．【點睛】本題考查了翻折變換，還考查的知識點有兩個：1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；2、等邊三角形的性質(zhì)求解．解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．模型6.過任意兩點所在直線（落在其中一邊）翻折模型【模型解讀】1）沿直線MN翻折，使得點C落在點D處，連結(jié)CD.2）沿直線DE翻折使得點C與邊AB上的點F重合；例1．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，點D、E分別在邊和邊上，沿著直線翻折，點A落在邊上，記為點F，如果，則的長為（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】過點F作于G，先求出，則，設(shè)，則，在中，利用勾股定理求解即可．【詳解】過點F作于G，∴，∵，，，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，即，解得∴，故選：D．【點睛】本題考查了翻折變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，能夠準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·重慶市七年級期中）如圖，在中，，點D，E分別在邊，上，且，將沿折疊，點C恰好落在邊上的F點，若，，，則的長為______．【答案】【分析】由三角形面積公式可求得，由折疊的性質(zhì)可得，由直角三角形的性質(zhì)可得，，即可求得AB．【詳解】解：∵將△CDE沿DE折疊，點C恰好落在AB上的F處，∴OC＝OF，CF⊥DE，∵，∴，∴，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，且∠CDE＋∠DCF＝90°，∠CDE＝∠B，∴∠A＝∠ACF，∴，同理可求：，∴．故答案為：．【點睛】本題考查翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是綜合運用相關(guān)知識解題．模型7其他三角形翻折模型例1．（2023·遼寧沈陽·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，，，點是射線上一點，連接，將沿翻折得到，當(dāng)直線與射線垂直時，的長為．

【答案】1或5【分析】分兩種情況畫圖，根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)三角形面積可得，根據(jù)勾股定理即可解決問題．【詳解】解：①設(shè)直線與射線垂直于點，在中，，

，，，，，，，，由折疊可知：，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，，解得．②直線與射線垂直于點，

由①可知：，，，由折疊可知：，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，，解得．綜上所述：的長為1或5．故答案為：1或5．【點睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．例2．（2022秋·重慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點D在邊上，將沿直線翻折后，點A落在點E處．如果，那么線段的長為．【答案】【分析】連接，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，，，由可得是等腰直角三角形，可求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出，即可求出，由直角三角形兩銳角互余可得，即可求出，可證明是等腰直角三角形，可得，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可得，利用勾股定理可求出的長，根據(jù)可求出的長，即可得的長．【詳解】連接，如圖∵沿直線翻折后點A落在點E處，∴，，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，在中，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，翻折前后的兩個圖形全等，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；角所對的直角邊等于斜邊的一半，正確得出翻折后的對應(yīng)邊及對應(yīng)角并熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）如圖，三角形紙片中，點是邊上一點，連接，把沿著直線翻折，得到，交于點，連接交于點，若，的面積為，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用折疊和中線的性質(zhì)，得到的面積，利用勾股定理求出，利用三角形的面積公式求出，進而求出，再利用勾股定理求出即可．【詳解】解：∵∴為的中線，∴，∵翻折，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；故選B．【點睛】本題考查勾股定理與折疊問題．熟練掌握折疊的性質(zhì)以及三角形的中線平分面積，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．例4．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，點F在AC上，并且，點E為上的動點（點E不與點C重合），將沿直線翻折，使點C落在點P處，的長為，則邊的長為（）

A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)折疊可得，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)折疊可知，，在中，，，，，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理及翻折的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．例5．（2022春·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，點是線段上的一點，過點作交于點，將沿翻折，得到，若點恰好在線段上，若，：：，，則的長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，則，由折疊的性質(zhì)得出，，，由勾股定理求出，設(shè)，則，由勾股定理列出方程求出的值，則可得出答案．【詳解】解：設(shè)，，則，將沿翻折，得到，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，解得，，故選C．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例6．（2022·江蘇西附初中八年級月考）如圖，中，，，，將邊AC沿CE翻折，使點A落在AB上的點D處；再將邊BC沿CF翻折，使點B落在CD的延長線上的點處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點E、F，則線段的長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AC=CD，∠A=∠CDE，CE⊥AB，Rt△ABC中根據(jù)勾股定理求得AB=5，再根據(jù)三角形的面積可求得B′F的長．【詳解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AC＝CD，∠A＝∠CDE，CE⊥AB，∴B′D＝BC﹣CD＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF，∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝45°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠EFC＝45°，∴∠BFC＝∠B′FC＝135°，∴∠B′FD＝90°，∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CE，∴AC?BC＝AB?CE，∴CE＝，∴EF＝，ED＝AE＝，∴DF＝EF﹣ED＝∴B′F＝．選：A．【點睛】此題主要考查了翻折變換，勾股定理的應(yīng)用等，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得相等的角是本題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2023秋·成都市八年級期中）如圖，已知中，，，將此三角形沿翻折，使得點A與點B重合，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)折疊可得，再在中利用勾股定理列方程計算即可．【詳解】∵三角形沿翻折，使得點A與點B重合，∴，∵，∴，在中，∴，解得，故選：C．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，將邊沿翻折，點落在點處，連接交于點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)可得最小時，最大，當(dāng)時，最大，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)等面積法求得，進而即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，將邊沿翻折，∴，∵，∴當(dāng)時，最小，此時最大，則，∴，∴的最大值為，故選：D．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，等面積法求得的最小值是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·成都市八年級課時練習(xí)）如圖，在中，，cm，cm，點、分別在、邊上．現(xiàn)將沿翻折，使點落在點處．連接，則長度的最小值為（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】C【分析】當(dāng)H落在AB上，點D與B重合時，AH長度的值最小，根據(jù)勾股定理得到AB=10cm，由折疊的性質(zhì)知，BH=BC=6cm，于是得到結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)H落在AB上，點D與B重合時，AH長度的值最小，∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=10cm，由折疊的性質(zhì)知，BH=BC=6cm，∴AH=AB-BH=4cm．故選：C．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·福建廈門·八年級期末）如圖，在中，D是邊上的中點，連接，把沿翻折，得到，與交于點E，連接，若，，則C到的距離為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，交于點M，由翻折知，，垂直平分，證為等邊三角形，利用含30度的直角三角形性質(zhì)及勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，交于點M，

∵，D是邊上的中點，∴，由翻折知，，垂直平分，∴，，，∴，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，在中，，，∴，，∴C到的距離為，故選B．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、折疊的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·江蘇·八年級階段練習(xí)）如圖，在中，，，點D、E分別在邊和邊上，沿著直線翻折，點A落在邊上，記為點F，如果，則的長為（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，，方法1：作于G，設(shè)，則，在中，，，問題隨之得解；方法2：如圖2，作于，設(shè)，則，，，在中，，，問題隨之得解．【詳解】∵在中，，，∴，，∵，∴，方法1：如圖1，作于G，∵在中，，，∴，∵，則，設(shè)，則，在中，，，即．方法2：如圖2，作于，設(shè)，則，，，在中，，，即．故選：D．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)等知識，掌握折疊的性質(zhì)并靈活運用勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022·重慶八年級月考）如圖，已知ABCD是長方形紙片，，在CD上存在一點E，沿直線AE將折疊，D恰好落在BC邊上的點F處，且，則的面積是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)面積求出BF、AF、CF，設(shè)DE為x，列方程求出即可．【詳解】解：ABCD是長方形紙片，∴AB=CD=3，，∴，∴BF=4，∴AF=，∴AF=AD=BC=5，CF=1，設(shè)DE為x，EF=DE=x，EC=3-x，x2=(3-x)2+1，解得，x=，∴，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理與翻折，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程．7．（2022·廣東·江門八年級期中）已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點D與點B重合，折痕為EF，則BE的長為（）A．6cm B．9cm C．4cm D．5cm【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BE＝ED，設(shè)AE＝x，表示出BE＝9﹣x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式計算即可得解．【詳解】解：∵長方形折疊點B與點D重合，∴BE＝ED，設(shè)AE＝x，則ED＝BE＝9﹣x，在Rt△ABE中，，即，解得x＝4，∴AE的長是4cm，∴BE＝9﹣4＝5（cm），故選：D．【點睛】本題考查翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于AE的長的方程是解題的關(guān)鍵．8．（2022·山東濟寧·中考真題）如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊BC上的點D處；再折疊紙片，使點C與點D重合，若折痕與AC的交點為E，則AE的長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，繼而設(shè)AE=x，則CE=DE=3-x，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊BC上的點D處，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折疊紙片，使點C與點D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴∠ADE=90°，∴AD2+DE2=AE2，設(shè)AE=x，則CE=DE=3-x，∴22+(3-x)2=x2，解得即AE=故選A【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．（2022·深圳市初三月考）如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長為()A．3B．4C．5D．6【答案】D分析：先根據(jù)矩形的特點求出BC的長，再由翻折變換的性質(zhì)得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的長，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的長．【解析】∵四邊形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8﹣3=5，在Rt△CEF中，CF===4，設(shè)AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，故選D．考點：翻折變換（折疊問題）；勾股定理．10．（2022·江蘇·無錫八年級期末）如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點B落在CD邊上的處，點A對應(yīng)點為，且＝3，則BN＝______，AM＝______．【答案】

5

2【分析】由翻折的性質(zhì)可知：BN=NB′，設(shè)BN=x，在Rt△CNB′中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出x；連接BM，MB′，由于CB′=3，則DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知：BN=NB′，設(shè)BN=x，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=9，∠C=∠D=90°，∵NB′2=CB′2+CN2，∴x2=（9-x）2+32，解得x=5，∴BN=5；設(shè)AM=y，連接BM，MB′，在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，∵MB=MB′，∴AB2+AM2=BM2=B′M2=MD2+DB′2，即92+y2=（9-y）2+（9-3）2，解得y=2，即AM=2，故答案為：5；2．【點睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，對應(yīng)邊相等，利用了勾股定理建立方程求解．11．（2023·山東濟南·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點N為邊DC上一動點（不與C、D重合），連接BN，作C關(guān)于直線BN的對稱點C′連接BC′，C′N，當(dāng)C′恰好在△ABD的邊上時，CN的長為__________．【答案】或【分析】分兩種情況討論：點C'在BD上或點C'在AD上，依勾股定理以及折疊的性質(zhì)，即可得到CN的長．【詳解】如圖所示，當(dāng)點C'在BD上時，設(shè)CN=x，則C'N=x，DN=3-x，由折疊可得，∠C=∠BC'N=90°，BC'=BC=4，Rt△BCD中，BD=，∴C'D=5-4=1，∴Rt△DC'N中，12+x2=（3-x）2，解得x=；如圖所示，當(dāng)點C'在AD上時，設(shè)CN=x，則C'N=x，DN=3-x，由折疊可得，BC'=BC=4，Rt△ABC'中，AC'=，∴C'D=，∴Rt△DC'N中，()2+(3?x)2＝x2，解得x=；綜上所述，CN的長為或．故答案為：或．【點睛】本題考查折疊問題以及勾股定理的運用，解題時，常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切危\用勾股定理列出方程求出答案．12．（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，，，將邊沿翻折，使點A落在上的點D處；再將邊沿翻折，使點B落在的延長線上的點處，兩條折痕與斜邊分別交于點E、F，則線段的長為____________．【答案】【分析】由折疊可知可得，知，根據(jù)，，用面積法可得，由勾股定理得，即得，故．【詳解】解：由折疊可知，，，，，，，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；故答案為：．【點睛】本題考查圖形的折疊，熟練掌握勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·江蘇無錫·八年級校考期中）如圖，中，，，，，，，P是直線上一點，把沿所在的直線翻折后，點C落在直線上的點H處，______．【答案】或10【分析】分兩種情況：當(dāng)P點在E點左邊時；當(dāng)P點在E點右邊時．分別畫出圖形，利用折疊性質(zhì)和勾股定理解答即可．【詳解】解：當(dāng)P點在E點左邊時，如圖1，由折疊性質(zhì)得，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴∴，設(shè)，則，，∵，∴，解得，，即；當(dāng)P點在E點右邊時，如圖2，由折疊知，，∴，設(shè)，則，，∵，∴，解得，，即；綜上，或10．故答案為：或10．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識，注意分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．14．（2023·貴州黔東南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在軸上，邊在軸上，點的坐標(biāo)為.將矩形沿對角線翻折，點落在點的位置，且交軸于點，那么點的坐標(biāo)為______.【答案】（0，）．【分析】先證明EA=EC（設(shè)為x）；根據(jù)勾股定理列出x2=12+（3-x）2，求得x=，即可解決問題．【詳解】由題意知：∠BAC=∠DAC，AB∥OC，∴∠ECA=∠BAC，∴∠ECA=∠DAC，∴EA=EC（設(shè)為x）；由題意得：OA=1，OC=AB=3；由勾股定理得：x2=12+（3-x）2，解得：x=，∴OE=3-=，∴E點的坐標(biāo)為（0，）．故答案為（0，）．【點睛】該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．15．（2023·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC，D為AB的中點，E為BC上一點，將△BDE沿DE翻折，得到△FDE，EF交AC于點G，則△ECG的周長是___________．【答案】【分析】連接CE．根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”、等腰三角形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)推知EG+CG=EG+GF=EF=BE，【詳解】解：（1）如圖，連接CD、CF.∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AB邊的中點，∴BD=CD=1．BC=,∵由翻折可知BD=DF，∴CD=BD=DF=1，∠DFE=∠B=∠DCA=45°,∴∠DCF=∠DFC，∴∠DCF-∠DCA=∠DFC-∠DFE，即∠GCF=∠GFC，∴GC=GF，∴EG+CG=EG+GF=EF=BE，∴△ECG的周長=EG+GC+CE=BE+EC=BC=,故答案為.【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，能將三角形的周長轉(zhuǎn)移到已知線段上是解題的關(guān)鍵.．16．（2022·吉林白城·八年級期末）如圖，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折疊，使AB落在直線AC上．(1)BC＝______；(2)求重疊部分（陰影部分）的面積．【答案】(1)16(2)36【分析】（1）根據(jù)勾股定理直接求解即可；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，設(shè)CD＝x，則，利用勾股定理得出CD=6，由三角形面積公式求解即可．（1）∵在中，，，，∴，故答案為：16；（2）由折疊可知，∵AC＝12，∴設(shè)CD＝x，則在中，，∴解得x＝6，∴．【點睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握運用勾股定理及折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．17．（2022春·貴州銅仁·八年級統(tǒng)考期中）如圖，ABCD是矩形紙片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．設(shè)F，H分別是B，D落在AC上的兩點，E，G分別是折痕CE，AG與AB，CD的交點．(1)求證：四邊形AECG是平行四邊形；(2)若AB=8cm，BC=6cm，求線段EF的長．【答案】(1)見解析(2)線段EF長為3cm．【分析】（1）根據(jù)：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，證明AG∥CE，AE∥CG即可；（2）在Rt△AEF中，運用勾股定理可將EF的長求出即可．【詳解】（1）證明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．由題意，得∠GAH=∠DAC，∠ECF=∠BCA．∴∠GAH=∠ECF，∴AG∥CE．又∵AE∥CG，∴四邊形AECG是平行四邊形；（2）解：在Rt△ABC中，∵AB=8cm，BC=6cm，∴AC==10（cm）．∵CF=CB=6cm，∴AF=4cm．在Rt△AEF中，設(shè)EF=xcm，則AE=（8-x）cm．根據(jù)勾股定理，得AE2=AF2+EF2，即（8-x）2=42+x2．解得x=3，即線段EF長為3cm．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，矩形的邊在軸上，邊在y軸上，點B的坐標(biāo)為．D是邊上一點（不與點A、B重合），將沿直線翻折，使點B落在點E處．(1)如圖1，當(dāng)點E恰好落在y軸時，直接寫出點D的坐標(biāo)(2)如圖2，當(dāng)點E恰好落在矩形的對角線上時，求點D的坐標(biāo)．(3)如圖3，當(dāng)以O(shè)、E、C三點為頂點的三角形是等腰三角形時，求的面積．【答案】(1)(2)(3)12或【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)，求出點的坐標(biāo)，得出的長即可求解；（2）中，由勾股定理得：，即可求解；（3）①當(dāng)時，，則的面積；②當(dāng)時，利用勾股定理得：，求出，進而求解．【詳解】（1）∵點B的坐標(biāo)為，且四邊形是矩形，∴點的坐標(biāo)分別為，∴，由折疊得，∴∴點D的坐標(biāo)為（2）∵點A的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為，∴．∴中，，∵四邊形是矩形，∴，∵沿折疊，∴，∴，設(shè),則,∵中，由勾股定理得：，∴，解得，∴點D的坐標(biāo)為；（3）過點E分別作軸的垂線，垂足分別為，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴．①當(dāng)時，∵，∴，的面積；②當(dāng)時，∵，∴，設(shè)，則，在中，，在中，，即，解得：，則，的面積；故的面積為12或．【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、勾股定理的運用、面積的計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．19．（2023·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）已知，長方形紙片中，，，點E在邊上移動，連接，將四邊形沿直線翻折，得到多邊形，點B、C的對應(yīng)點分別為點、．(1)當(dāng)恰好經(jīng)過點D時，如圖1，則_______，______．(2)當(dāng)分別交邊、于點F、G，且，如圖2，求的面積．【答案】(1)4；(2)的面積為【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理即可解決問題；（2）證明△DFG是等腰直角三角形，求出DF即可解決問題．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是長方形，∴