專題1.1 等腰三角形（教師版）

專題1.1等腰三角形1.理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)及其推論，并應(yīng)用他們解決基本的幾何問題；2.進(jìn)一步學(xué)習(xí)等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)，了解等腰三角形兩底角的角平分線（兩腰上的高，中線）的性質(zhì)；3.掌握等腰三角形的判定定理及其運(yùn)用；4.學(xué)習(xí)等邊三角形的性質(zhì)與判定定理，并能夠運(yùn)用其解決問題；5.理解并掌握反證法的思想，能夠運(yùn)用反證法進(jìn)行證明；6.掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)并解決有關(guān)問題。知識(shí)點(diǎn)01等腰三角形的性質(zhì)及其推理【知識(shí)點(diǎn)】定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.簡述：等邊對(duì)等角。推論：等腰三角形頂角的平分線,底邊上的中線底邊上的高互相重合(三線合一)。補(bǔ)充：1）等腰三角形兩底角的平分線相等，兩腰上的中線相等，兩腰上的高相等；2）過底邊的端點(diǎn)且與底邊夾角相等的兩線段相等；3）兩腰上距頂點(diǎn)等距的兩點(diǎn)與底邊頂點(diǎn)的連線段相等。【知識(shí)拓展1】利用等邊對(duì)等角計(jì)算角度例1．（2022·安徽蕪湖·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將大小不同的兩塊量角器的零度線對(duì)齊，且小量角器的中心恰好在大量角器的圓周上，設(shè)圖中兩圓周的交點(diǎn)為且點(diǎn)在小量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為，那么點(diǎn)在大量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為只考慮小于的角(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，，如圖，先根據(jù)得到，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和求出即可．【詳解】解：連接，，如圖，在小量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為，即，而，，，即點(diǎn)在大量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為只考慮小于的角．故選：A．【即學(xué)即練】1．（2022春·成都市·八年級(jí)期中）如圖，已知，…，以此類推，若，則______．【答案】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和，等邊對(duì)等角，三角形的外角可得；同理可得，，，即可找到規(guī)律得出答案．【詳解】解：∵在中，，，∴∵，是的外角，∴；同理可得，，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，等邊對(duì)等角，三角形的外角的性質(zhì)，正確找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展2】等腰三角形的性質(zhì)：“三線合一”求角度例2．（2022春·河北邯鄲·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，平分，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：三線合一即可知【詳解】∵，∴是等腰三角形，且平分，∴，，∴，∴，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)：三線合一求解，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【即學(xué)即練】2．（2022春·遼寧大連·八年級(jí)期末）如圖，在中，，D為的中點(diǎn)，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】利用等邊對(duì)等角，三線合一和三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，D為的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．熟練掌握等邊對(duì)等角，等腰三角形三線合一，是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展3】等腰三角形的性質(zhì)：“三線合一”求長度例3．（2022春·廣東梅州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，是邊上除，點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，則____．【答案】【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，由勾股定理可得，，再由求解即可得到答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，∵，，∴，，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和三線合一定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．【即學(xué)即練3】3．（2022春·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，平分．若，，則的周長為（

）A．11 B．14 C．16 D．18【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到，即可求出答案．【詳解】解：∵，平分．∴，∴的周長為，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)：底邊上的中線、高線及頂角的平分線是同一條線，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展4】例4．【即學(xué)即練4】4．知識(shí)點(diǎn)02等腰三角形的判定【知識(shí)點(diǎn)】有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.(簡稱“等角對(duì)等邊”).等腰三角形的判定方法：①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形(定義法)②有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立．這種證明方法稱為反證法．【知識(shí)拓展1】網(wǎng)格中的等腰三角形個(gè)數(shù)判斷例1．（2022春·浙江衢州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知每個(gè)小方格的邊長為1，、兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中找一個(gè)頂點(diǎn)，使為等腰三角形，則這樣的頂點(diǎn)有（）A．9個(gè) B．8個(gè) C．7個(gè) D．6個(gè)【答案】B【分析】當(dāng)為底時(shí)，作的垂直平分線，當(dāng)為腰時(shí)，分別以、點(diǎn)為頂點(diǎn)，以為半徑作弧，分別找到格點(diǎn)即可求解．【詳解】解：當(dāng)為底時(shí)，作的垂直平分線，可找出格點(diǎn)的個(gè)數(shù)有個(gè)，當(dāng)為腰時(shí)，分別以、點(diǎn)為頂點(diǎn)，以為半徑作弧，可找出格點(diǎn)的個(gè)數(shù)有個(gè)；這樣的頂點(diǎn)有個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2022春·浙江臺(tái)州·八年級(jí)臺(tái)州市書生中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在的網(wǎng)格中，每個(gè)網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知圖中，兩個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中再尋找另一個(gè)格點(diǎn)，使成為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)有（

）個(gè)．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即可解答．【詳解】解：如圖所示：分三種情況：①當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作圓，交網(wǎng)格線的格點(diǎn)為，，②當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作圓，交網(wǎng)格線的格點(diǎn)為，，③當(dāng)時(shí)，作的垂直平分線，交網(wǎng)格線的格點(diǎn)為，，，，綜上所述：使成為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)有個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，根據(jù)題意，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展2】根據(jù)等角對(duì)等邊判定等腰三角形例2．（2022春·廣東東莞·八年級(jí)期中）已知：如圖中，，平分，平分，過作直線平行于，交，于，．(1)求證：是等腰三角形；(2)求的周長．【答案】(1)見解析(2)的周長為【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)角平分線的定義可得，可得，進(jìn)一步即可得證；（2）同理（1）可得，根據(jù)的周長，求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴的周長，∵，∴（），∴的周長為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】2．（2022春·福建廈門·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)E、F在BC上，，，，與交于點(diǎn)G，求證：是等腰三角形．【答案】見解析【分析】求出，根據(jù)推出，得，由等腰三角形的判定可得結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展3】根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等例3．（2022·貴州遵義·三模）如圖，在中，平分，，，，則的周長為（）A．2 B．24 C．27 D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意在上截取，連接，由可證≌，可得，，可證，可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，在上截取，連接，∵平分，∴，在和中，，∴≌，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周長＝，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練3】3．（2022春·遼寧大連·八年級(jí)期末）是等邊三角形，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，且．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)是上任意一點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接．求的度數(shù)【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，再由“三線合一”的性質(zhì)及角平分線得出，再由等角對(duì)等邊即可證明；（2）延長至，使，連，根據(jù)全等三角形的判定得出，，再由其性質(zhì)結(jié)合圖形找出各角之間的關(guān)系即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：在等邊中，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，平分，∵，∴，∴，，∴，∴．（2）如圖所示，延長至，使，連，∵為的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，∴．∴，，，∴又∵，∴在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，結(jié)合圖形，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【知識(shí)拓展4】等腰三角形的相關(guān)操作類問題例4．（2022·吉林長春·八年級(jí)期中）如圖，下列4個(gè)三角形中，均有AB=AC，則經(jīng)過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線能夠?qū)⑦@個(gè)三角形分成兩個(gè)小等腰三角形的是（

）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】逐個(gè)畫出圖形，即可得到答案．【詳解】解：圖①中，∠A=36°，AB=AC，則∠ABC=∠ACB=72°，以B為頂點(diǎn)，在△ABC內(nèi)作∠ABC的平分線，則∠ABD=∠DBC=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形，而∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∠ACB=72°，∴∠ACB=∠BDC=72°，∴△BDC是等腰三角形，故直線BD將△ABC分成了兩個(gè)小等腰三角形，故①符合題意；圖③中，∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°，過A作AE⊥BC于E，如圖：則△ABE和△ACE是等腰直角三角形，故直線AE將△ABC分成了兩個(gè)小等腰三角形，故③符合題意；圖④中，∠BAC=108°，AB=AC，則∠B=∠C=36°，以A為頂點(diǎn)，在△ABC內(nèi)作∠BAF=72°，如圖：則△ABF和△ACF都是等腰三角形，故④符合題意；圖②是等邊三角形，沒有直線能將它分成兩個(gè)小的等腰三角形，故②不符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定，涉及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分別畫出圖形，計(jì)算圖中角的大小，用等邊對(duì)等角判斷等腰三角形．【即學(xué)即練4】4．（2022春·吉林長春·八年級(jí)期末）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．線段的端點(diǎn)在格點(diǎn)上．(1)在圖①中畫出一個(gè)以為腰的等腰直角三角形；(2)在圖②中畫出一個(gè)以為底的等腰三角形，其面積為______．【答案】(1)作圖見解析；(2)作圖見解析，．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可作圖；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可作圖，利用矩形面積減去三個(gè)小的直角三角形面積即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示：為所求（2）解：如圖所示：為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)03等邊三角形的性質(zhì)與判定【知識(shí)點(diǎn)】定理：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°等邊三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性質(zhì)。等邊三角形的判定(1)三邊相等的三角形是等邊三角形.(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形(3)有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形定理：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半?！局R(shí)拓展1】等邊三角形的性質(zhì)例1．（2022春·重慶合川·八年級(jí)期末）如圖，等邊中，是邊上的高，交于點(diǎn)E，若，則的邊長為（

）A．3 B．4 C．5 D．無法確定【答案】B【分析】設(shè)，則，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，，據(jù)此建立方程，解方程即可得．【詳解】解：設(shè)，，，是等邊三角形，是邊上的高，，，，，，即，解得，則，即的邊長為4，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練1】1．（2022春·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，垂足為，延長到，使，若的周長為12，，則的周長是___________（用含的代數(shù)式表示）【答案】【分析】根據(jù)等邊三角形的判定定理，得出是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出，，再根據(jù)三線合一的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，得出，，，再根據(jù)等邊對(duì)等角和等量代換，得出，，再根據(jù)等角對(duì)等邊，得出，再結(jié)合題意，得出，，，再根據(jù)三角形的周長公式，即可得出的周長．【詳解】解：∵中，，，∴是等邊三角形．∴，，又∵，垂足為，∴，，，∵，∴，，∴，∴，又∵的周長為12，，∴，，，∴周長是．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展2】等邊三角形的判定例2．（2022春·遼寧葫蘆島·八年級(jí)期中）如圖，中，．點(diǎn)D，E在邊上，且．(1)求的度數(shù)；(2)求證：是等邊三角形．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角，以及三角形的內(nèi)角和定理求解即可；（2）根據(jù)，再根據(jù)，，和三角形的內(nèi)角和定理，證明，得到，即可證明為等邊三角形．【詳解】（1）解：∵，∴，∴；（2）證明：∵，，，∴，即，∴，∴為等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等邊對(duì)等角，以及三角形的內(nèi)角和是，是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】2．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，點(diǎn)分別在邊上，且，．(1)求證：是等腰三角形；(2)當(dāng)時(shí),求的度數(shù)；(3)若，判斷是何種三角形．【答案】(1)證明見詳解；(2)70°；(3)等邊三角形，理由見詳解．【分析】（1）根據(jù)邊角邊證明，即得即可；（2）由與三角形的外角性質(zhì)可得，從而可以求解；（3）由（2）知，再根據(jù)已知可以判定是等邊三角形，從而可以判斷的形狀．【詳解】（1）解：，，在和中，，，是等腰三角形；（2）解：，，即，，，；；（3）解：是等邊三角形，理由如下：由（2）知，又，，，，又，是等邊三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形與等邊三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展3】含30°的直角三角形的性質(zhì)例3．（2022春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，大樹垂直于地面，為測(cè)樹高，小明在C處，測(cè)得，他沿方向走了20米，到達(dá)D處，測(cè)得，則大樹的高度為（）米.A．6 B．8 C．10 D．20【答案】C【分析】利用三角形外角的性質(zhì)可得，，得到，利用含直角三角形的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：由題意可得：，米，∴，∴米，在中，，∴米，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了含直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)．【即學(xué)即練3】3．（2022·福州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在等腰中，，為上一點(diǎn)，且，若，，則的長是______．【答案】【分析】過點(diǎn)作于，根據(jù)含度的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作于，，，，，，在等腰中，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了含度的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握含度的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．【知識(shí)拓展4】等邊三角形性質(zhì)與判定綜合例4．（2022西安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，等邊中，，分別在，邊上，且，與交于點(diǎn)，于點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③是等腰三角形；④，其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】對(duì)于①，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得，，然后利用“邊角邊”定理，證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)①作出判斷；對(duì)于②，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，得，求出，利用三角形的內(nèi)角和定理，求出的度數(shù)，可對(duì)②作出判斷；對(duì)于③，由，計(jì)算得出的度數(shù)，結(jié)合，，判斷三個(gè)內(nèi)角的大小關(guān)系，結(jié)合等腰三角形的判定方法，即可對(duì)③作出判斷；對(duì)于④，根據(jù)，求出，然后根據(jù)直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可得到與的數(shù)量關(guān)系，據(jù)此可對(duì)④作出判斷．【詳解】解：為等邊三角形，，．在和中，，，，①正確．，，．，，②正確．．又，，的三個(gè)內(nèi)角均不相等，不是等腰三角形，③錯(cuò)誤．，，，，，④錯(cuò)誤．綜上所述，正確的結(jié)論有①②，共2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)，并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】4．（2022·廣東·八年級(jí)考期中）如圖，在中，分別以、為邊作等邊三角形與等邊三角形，連接、，與交于點(diǎn)，連接．有以下四個(gè)結(jié)論：①；②平分；③；④．其中結(jié)論一定正確的個(gè)數(shù)有（

）A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形得性質(zhì)證明，可證明結(jié)論①；作作于，于，證明，可證明結(jié)論②；在上截取，證明，可證明為等邊三角形，由此可證明結(jié)論④；根據(jù)結(jié)論④即可證明結(jié)論③．【詳解】解：結(jié)論①，∵等邊三角形，等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴，故結(jié)論①正確；結(jié)論②，如圖所示，作于，于，∵，∴，，∴，∵，，∴點(diǎn)在的平分線上，∴平方，故故結(jié)論②正確；結(jié)論④，在上截取，連接，如圖所示，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，故結(jié)論④正確；結(jié)論③，由結(jié)論④正確，可知，，∴，即，故結(jié)論③錯(cuò)誤．綜上所述，正確的有①②④．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形綜合題，包括等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，三角形內(nèi)角和定理，掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，且，已知，，則的面積為（

）A．7 B．14 C．21 D．28【答案】A【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，根據(jù)，，得到，結(jié)合，得到，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，得到，代入面積公式計(jì)算即可．【詳解】如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，得到，所以，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的三線合一，角的平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·廣西·八年級(jí)期中）下列說法中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）（1）關(guān)于某一條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定全等；（2）有一角為，且腰長相等的兩個(gè)等腰三角形全等；（3）有一個(gè)外角是的等腰三角形是等邊三角形；（4）如果一個(gè)三角形的一個(gè)外角的角平分線與這個(gè)三角形的一邊平行，那么這個(gè)三角形一定是等腰三角形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：（1）關(guān)于某一條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定全等．正確；（2）有一角為，且腰長相等的兩個(gè)等腰三角形全等．錯(cuò)誤，角可能是底角，也可以是頂角；（3）有一個(gè)外角是的等腰三角形是等邊三角形，正確；（4）如果一個(gè)三角形的一個(gè)外角的角平分線與這個(gè)三角形的一邊平行，那么這個(gè)三角形一定是等腰三角形．正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．3．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，D為的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，若，則的長為（）A．1.5 B．2 C．1 D．【答案】C【分析】先由求出，再根據(jù)角的性質(zhì)可得，【詳解】解：∵，∴，∵D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；等腰三角形的兩個(gè)底角相等．4．（2022春·河北石家莊·八年級(jí)期中）用一條長為的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形，若其中有一邊的長為，則該等腰三角形的底邊長為()A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】分已知邊是腰長和底邊兩種情況討論求解．【詳解】解：是腰長時(shí)，底邊為，∵，∴、、不能組成三角形；是底邊時(shí)，腰長為，、、能夠組成三角形；綜上所述，它的腰長為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，關(guān)鍵在于分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系判斷是否能組成三角形．5．（北京市朝陽區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，平分，則_____________．【答案】36【分析】設(shè)的度數(shù)為x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到由三角形外角性質(zhì)得到，再由角平分線定義得出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為，解出x即可．【詳解】解：設(shè)的度數(shù)為x，，平分，，，解得：，．故答案為：36．【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)位置關(guān)系將各角的的大小表示出來．6．（2022春·江蘇南通·八年級(jí)期中）如圖，在中，、分別是和的平分線，過點(diǎn)E作交于D、交于F，若，，則周長為_____．【答案】7【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出，，進(jìn)而解答即可．【詳解】解：∵，∴，，∵、分別是和的平分線，∴，，∴，，∴，，∴．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，有效的進(jìn)行線段的等量代換是解題的關(guān)鍵．7．（2021春·北京西城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)D，E在的邊上，，．求證：．【答案】見解析【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)P，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出，，即可得出答案．【詳解】證明：過點(diǎn)A作于點(diǎn)P，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形三線合一，是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┰谙铝芯W(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1．請(qǐng)按要求畫出格點(diǎn)三角形．(1)在圖1中畫出一個(gè)等腰．(2)在圖2中畫出一個(gè)，且其三邊都不與網(wǎng)格線重合．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義畫出圖形即可；（2）根據(jù)直角三角形的定義畫出圖形即可．【詳解】（1）解：利用網(wǎng)格，取格點(diǎn)，連接，，使，如下圖（答案不唯一）（2）解：利用網(wǎng)格，結(jié)合勾股定理，取格點(diǎn)，連接，使，如下圖（答案不唯一）【點(diǎn)睛】此題考查了作圖——應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．9．（2022春·安徽蕪湖·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，線段AB上兩點(diǎn)C、D，，，，連接DE并延長至點(diǎn)M，連接CF并延長至點(diǎn)N，DM，CN交于點(diǎn)P，；(1)求證：；(2)求證：是等腰三角形．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）由推導(dǎo)出即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明（2）由得由平行線的性質(zhì)得所以即可由“等角對(duì)等邊”證明是等腰三角形．【詳解】（1）在和中，；（2）證明：∴是等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等式的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)，正確找到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角并且證明是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等邊中，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，，交于點(diǎn)P，，垂足為點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)10【分析】（1）根據(jù)為等邊三角形，證明，即可證明；（2）結(jié)合（1）證明為直角三角形，，根據(jù)，即可求的長．【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，∴，，又∵，∴，∴．（2）解：由（1）可知，，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴為直角三角形，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．11．（2022·廣東東莞·八年級(jí)期中）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)、、分別在、、上；若，，求證：(1)；(2)是等邊三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，由此根據(jù)證明；（2）根據(jù)得到，，推出，即可證得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴在和中∴；（2）∵，∴，，∵∴∴是等邊三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟記各判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．題組B能力提升練1．（2020春·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是的平分線，，交于E，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（

）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理判定為等腰三角形，然后由角平分線、平行線的性質(zhì)、等角對(duì)等邊來找圖中的等腰三角形．【詳解】解：∵在中，，∴，∵為的平分線，∴，∴，∵，∴，，∵，∴是等腰三角形；∵，∴是等腰三角形；∵，∴是等腰三角形；∵，∴是等腰三角形；∵，∴是等腰三角形；綜上，等腰三角形共有5個(gè)；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定．角的等量代換的運(yùn)用是正確解答本題的關(guān)鍵．2．（2022春·河北邯鄲·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，．則下列4個(gè)結(jié)論：①；②是等邊三角形；③；④．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)題意可知是等腰三角形，即可判定①正確，由，，且，即可等到，即可判定②正確，，即可判定③正確，由③可知是等腰三角形，，同理可得，由②可知，故可判定④正確【詳解】解：∵，∴是等腰三角形，∴，故①正確；∵，∴，∵，，∴，∴是等邊三角形，故②正確；∵，，∴，故③正確；∵，∴是等腰三角形，∴，同理可得：，又∵是等邊三角形，∴，∴，故④正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)3．（北京市朝陽區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）如圖，O是射線上一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，t的值為（

）A．2 B．2或6 C．4或6 D．2或4或6【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與判定，分兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在的延長線上時(shí)．分別列式計(jì)算即可求．【詳解】解：分兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，設(shè)t時(shí)后是等腰三角形，∵∴∴，即，解得；（2）當(dāng)點(diǎn)P在的延長線上時(shí)，此時(shí)經(jīng)過時(shí)的時(shí)間已用，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，∵，∴是等邊三角形，∴，即，解得，，綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，t的值為2或6．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定；解題時(shí)把幾何問題轉(zhuǎn)化為方程求解，是常用的方法，注意要分類討論，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O的左側(cè)還是在右側(cè)是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022春·浙江溫州·八年級(jí)瑞安市安陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)D，，交于點(diǎn)E，若，則的長為______.【答案】【分析】先根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)，得出，再證明，得出，得出，即可得出答案．【詳解】解：∵，，，∴，，∵平分，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定，得出．5．（2022春·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，，，平分，交于點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)，，，則的長為______．【答案】10【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證明，，然后根據(jù)等角對(duì)等邊得出，，最后根據(jù)線段的和差求解即可．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，根據(jù)等腰三角形的判定得出，是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，等邊中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊，，延長線上一點(diǎn)，且，連接，，，則_____．【答案】【分析】連接，證明，設(shè)，再由，推導(dǎo)出，則，得．【詳解】解：連接，∵是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，同理，設(shè)，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)“等高三角形面積的比等于底邊的比”推導(dǎo)出是解題的關(guān)鍵．7．（2022春·福建福州·八年級(jí)期末）如圖，在中，，．垂足為D，是的角平分線分別交，于點(diǎn)P，E．則下列說法正確的有_____．（寫出所有正確的序號(hào)）①；②是等邊三角形；③；④．【答案】①②④【分析】①利用角平分線和互余關(guān)系，得到，即可得證；②利用互余關(guān)系，得到，利用外角的性質(zhì)，得到，即可得證；③根據(jù)的直角三角形的性質(zhì)，得到，得到；④利用等角對(duì)等邊和的直角三角形的性質(zhì)，即可得證．【詳解】解：∵，，∴，∵是的角平分線，∴，∴，∴；故①正確；∵垂足為D，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形；故②正確；在中，，∴，∴；故③錯(cuò)誤；在中，，∴，∵，∴，∴；故④正確；綜上：正確的是①②④．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查的直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定．熟練掌握所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，以及三個(gè)角是的三角形是等邊三角形，是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·吉林長春·七年級(jí)吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）【感知】如圖①，是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊上，且，證明：．【探究】如圖②，是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊的延長線上，且，則圖②中全等的三角形是______________________；若此時(shí)，，則___________．【拓展】如圖③，在中，，，點(diǎn)D、E分別在的延長線上，且，若，，則的大小為___________．【答案】感知：見解析；探究：，，6；拓展：20【分析】感知：根據(jù)證明三角形全等即可；探究：證明，求出的面積即可；拓展：先判斷出，進(jìn)而得出，再利用同高的兩三角形的面積的比等于底的比求出，的面積，即可得出結(jié)論．【詳解】解：感知：如圖①中，∵是等邊三角形，∴，，在和中，，∴；探究：與全等，理由：如圖②中，在等邊中，，，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴．故答案為：，，6；拓展：如圖③中，∵，∴，，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴（同高的兩三角形的面積比是底的比），∴，∵，∴（同高的兩三角形的面積比是底的比），∴，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，同高的三角形面積的比等于底的比，解探究的關(guān)鍵是得出，解拓展的關(guān)鍵是求出．9．（2022春·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：是等邊三角形；(2)求證：；(3)若，求線段的長（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可得，可得是等邊三角形；（2）根據(jù)證明，即可得證；（3）據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知，即可表示出的長．【詳解】（1）在等邊△ABC中，，∵，∴，∴是等邊三角形，（2）∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵∴在和中，，∴，∴；（3）∵是等邊三角形，且，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：等邊中．(1)如圖1，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AB邊上，滿足，求的值；(2)如圖2，點(diǎn)M在AB邊上（M為非中點(diǎn)，不與A，B重合），點(diǎn)N在CB的延長線上且，求證：．(3)如圖3，點(diǎn)P為AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB的延長線上，點(diǎn)F在BC的延長線上，滿足，求的值．【答案】(1)3(2)見解析(3)【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出，設(shè),則,可求出答案；（2）如圖2，過點(diǎn)M作交AC于點(diǎn)G，根據(jù)可證明，得出，則結(jié)論得證；（3）如圖3，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)M，根據(jù)可證明，得出，得出，則答案可求出．【詳解】（1）∵為等邊三角形，∴，，∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，，設(shè)，則，，∴，∴．（2）如圖2，過點(diǎn)M作交AC于點(diǎn)G，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，∴．（3）如圖3，過點(diǎn)P作交AB于點(diǎn)M，∴為等邊三角形，∴，，∵P為AC的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又∵P為AC的中點(diǎn)，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、含30度角直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)造全等三角形．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)南師附中新城初中?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】分三種情況分別畫出圖形，如圖，以為腰，為頂角的頂點(diǎn)的等腰三角形；以為腰，為頂角的頂點(diǎn)的等腰三角形；以為底邊，為頂角的頂點(diǎn)的等腰三角形；從而可得答案．【詳解】解：如圖，以為腰，為頂角的頂點(diǎn)的等腰三角形有以為腰，為頂角的頂點(diǎn)的等腰三角形有，以為底邊，為頂角的頂點(diǎn)的等腰三角形有，其中是等邊三角形，∴符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)有6個(gè)，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的定義，等邊三角形的判定，做到不重復(fù)不遺漏的得到點(diǎn)P是解本題的關(guān)鍵．2．（2021春·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C是線段上的一點(diǎn)，和都是等邊三角形，交于M，交于N，交于O，連接，則①；②；③；④是等邊三角形．其中，正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】易證，可得①正確；即可求得，可得②錯(cuò)誤；再證明，可得③正確和，即可證明④正確；即可解題．【詳解】解：∵和都是等邊三角形∵，，，∴，∴，在和中，，∴，①符合題意；∴，，，∵，∴，②不符合題意；在和中，，∴，∴，，③符合題意；∵，∴是等邊三角形，④符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，本題中求證和是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·廣東廣州·八年級(jí)廣州市第七十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，中，與的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論，其中不正確的有（

）A．是等腰三角形； B．；C．若，則； D．．【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義證明，得到即可判斷A；同理可證即可判斷B；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出的度數(shù)即可判斷C；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明，即可判斷D．【詳解】解：∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；故A正確；同理，∴，故B正確；∵，∴，∵平分平分，∴，∴，∴，故C正確；若，則，根據(jù)先由條件無法證明這一點(diǎn)，∴不一定等于，故D不正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定、角平分線的定義及平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等以及等角對(duì)等邊來判定等腰三角形是解答本題的關(guān)鍵．4．（2021春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，在射線OA，OB上分別截取，連接，在，上分別截取，連接，…按此規(guī)律作下去，記，…，則___________，___________．【答案】

27

【分析】利用等邊對(duì)等角，以及三角形內(nèi)角和，和外角的性質(zhì)，進(jìn)行推導(dǎo)，抽象概括出相應(yīng)的規(guī)律，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：均為等腰三角形，∴，，，∴；故答案為：27，．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和以及外角的性質(zhì)．熟練掌握等邊對(duì)等角，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·廣西·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A為線段外一動(dòng)點(diǎn)，，，分別以、為邊作等邊、等邊，連接．則線段長的最大值為_____________．【答案】5【分析】連接，首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可證得，再根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系，可得，可知當(dāng)E、B、C在同一直線上時(shí)，最長，即可求出線段長的最大值即可．【詳解】解：如圖：連接，、都為等邊三角形，，，，，即，在與中，，，，∴當(dāng)E、B、C在同一直線上時(shí)，最長，∴線段長的最大值為5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊之間的關(guān)系，線段最大值問題，作出輔助線，證得是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，等邊三角形的邊長為，、、三點(diǎn)在一條直線上，且．若為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．【答案】【分析】連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出是等邊三角形，，進(jìn)而得出與關(guān)于直線對(duì)稱，再根據(jù)平角的定義，得出，進(jìn)而得出，再根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得出、關(guān)于直線對(duì)稱，再根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，得出當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，進(jìn)而即可得出的最小值．【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，∵是等邊三角形，，∴是等邊三角形，，∵、、三點(diǎn)在一條直線上，∴

與關(guān)于直線對(duì)稱，∵，∴，∴，∵，∴，，∴、關(guān)于直線對(duì)稱，∴當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，最小值為線段的長．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃虇栴}、等邊三角形的性質(zhì)、三線合一的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)找對(duì)稱點(diǎn)，形成兩點(diǎn)之間的線段來解決最短問題，屬于中考常考題型．7．（2022春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)．(1)若，兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊和上時(shí)，求證：；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在和的延長線上時(shí)，連接，若，則．(2)如圖3，若，兩邊分別交邊于E，交的延長線于F，連接，若，試求的長．【答案】(1)①見解析；②18(2)2【分析】（1）①由“”可證，可得；②由“”可證，可得，即可求解；（2）由“”可證，可得，，由“”可證，可得，即可求解．【詳解】（1）①證明：如圖1，連接，∵，，∴.∵點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∴和是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；②解：如圖2，連接，同理可證：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：18；（2）解：如圖3，連接，過點(diǎn)O作，交的延長線于點(diǎn)H，∵，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)