特訓08 期中解答壓軸題（第1-4章九大題型含四大綜合應(yīng)用）（解析版）

特訓08期中解答壓軸題（第1-4章，九大題型，含四大綜合應(yīng)用）目錄：題型1：二次函數(shù)-存在性問題題型2：二次函數(shù)-最值、取值范圍問題題型3：二次函數(shù)-新定義情景題題型4：圓在二次函數(shù)中的應(yīng)用題型5：相似三角形在二次函數(shù)中的應(yīng)用題型6：圓壓軸題題型7：相似三角形在圓中的應(yīng)用題型8：相似三角形壓軸題題型9：相似三角形在平面直角坐標系的綜合應(yīng)用題型1：二次函數(shù)-存在性問題1．（2023秋·浙江金華·九年級義烏市繡湖中學教育集團校聯(lián)考階段練習）如圖①，在平面直角坐標系中．拋物線與軸交于，兩點點在點右側(cè)，，與軸交于點．直線經(jīng)過點，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖②，點為上方拋物線上一點，過點作軸交直線于點，作軸交直線于點，求周長的最大值；(3)在(2)的條件下，若點是軸上的動點，點為平面內(nèi)一點，是否存在點，，使得以，，，為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)當時，周長的最大值為(3)存在，點的坐標為，或，或，或，或，【分析】（1）求出點，的坐標，由可得點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）設(shè)點，，可得、的坐標，利用勾股定理求出，，，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求解；（3）分三種情況畫出圖形，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．【解析】（1）解：直線，令得，令得，解得．，，，，，，，將，，，，，代入得，，解得，拋物線的解析式為；（2）設(shè)點，軸，，，，軸，，，，，，點為上方拋物線上一點，，，的周長，當時，周長的最大值為；（3）存在，由（2）知時，，，設(shè)，，①線段為菱形的邊，四邊形為菱形時，如圖，

，，，，或，，四邊形為菱形，點的坐標可由點向右平移個單位長度，向下平移個單位長度得到，點可由點向右平移個單位長度，向下平移個單位長度得到，，或，；②線段為菱形的邊，四邊形為菱形時，如圖，

，，，，或，，四邊形為菱形，點的坐標可由點向左平移個單位長度，向上平移個單位長度得到，點可由點向左平移個單位長度，向上平移個單位長度得到，，或，；③線段為菱形的對角線，四邊形為菱形時，如圖，

，，，設(shè)，，，解得，，解得，，．綜上所述，存在，點的坐標為，或，或，或，或，．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求拋物線、坐標與圖形性質(zhì)、勾股定理、菱形的性質(zhì)、兩點間的距離、二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，本題綜合性強，熟練掌握待定系數(shù)法和菱形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線經(jīng)過A，C兩點，與x軸的另一交點為點B，點P為拋物線上的一個動點．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)當?shù)拿娣e與的面積相等時，求點P的坐標；(3)是否存在點P，使得，若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的函數(shù)表達式為(2)點P的坐標為(3)存在，點P的橫坐標為或7．【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)求出A、C兩點坐標，代入解析式求解即可得到答案；（2）根據(jù)A、B、C點坐標即可得到，求出的面積，分點P在下方或上方兩類列方程即可得到答案；（3）由（2）得，作的垂直平分線交于一點F，求得，即，過點作，過點作交于點，得到，即點在直線上，求得直線的解析式，根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)交點問題聯(lián)立方程求解即可得到答案．【解析】（1）解：當時，，故，當時，，，故，將，代入解析式得，，解得：，∴；（2）解：①點P在下方時，如圖所示，連接，設(shè)，∴，當，解得：，，故，∵，，∴，，，∴，∴，∴，∵的面積與的面積相等，∴，即，∵，無解，②當點P在上方時，如圖所示，連接，設(shè)，∴，∵的面積與的面積相等，∴∴（與B重合，舍去），，當時，，∴；（3）解：∵,，，∴∴，∴是直角三角形，∴，如圖所示，作的垂直平分線交于一點F，連接，則，∴∴，∵∴設(shè)，則，∵，在中，，即，解得：，則∴∴如圖所示，過點作，過點作交于點，則即，即點在直線上，∵∴，在中，,∴過點作軸，則∴，∴,，∴設(shè)直線的解析式為即∴即，聯(lián)立解得：（舍去），同理可得設(shè)直線的解析式為則解得：∴聯(lián)立解得：（舍去），綜上，點P的橫坐標為或7．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；(2)點在第一象限內(nèi)，過點作軸，交于點，作軸，交拋物線于點，點在點的左側(cè)，以線段為鄰邊作矩形，當矩形的周長為11時，求線段的長；(3)點在直線上，點在平面內(nèi)，當四邊形是正方形時，請直接寫出點的坐標．【答案】(1)拋物線的解析式為；(2)；(3)點的坐標為或或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）先求得直線的解析式為，設(shè)，則，利用對稱性質(zhì)求得，推出，，利用矩形周長公式列一元二次方程計算即可求解；（3）先求得直線的解析式為，分別過點M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，證明，推出，，設(shè)，則，由點M在直線上，列式計算，可求得m的值，利用平移的性質(zhì)可得點N的坐標；設(shè)點，則點，當繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到時，當點M繞點O逆時針得到點E時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得點N的坐標．【解析】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點和，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：∵點和，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為，設(shè)，且，則，∴，∵拋物線的對稱軸為直線，∴，∴，依題意得，解得（舍去）或，∴；（3）解：令，則，解得或，∴，同理，直線的解析式為，∵四邊形是正方形，∴，，分別過點M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，如圖，

，，∴，∴，，設(shè)，∴，，則，∵點M在直線上，∴，解得或，當時，，，即點M與點C重合，點E與點B重合時，四邊形是正方形，此時；當時，，，點O向左平移個單位，再向下平移1個單位，得到點M，則點E向左平移個單位，再向下平移1個單位，得到點N，∴，即；設(shè)點，則點，當繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到時，如圖，∵點E在的圖象上，∴，∴點，∵點E在的圖象上，∴，解得：或0，∴，，當點M繞點O逆時針得到點E時，點，，∵點E在的圖象上，∴，解得：，∴點，，，，∴點N的坐標為或；綜上，點的坐標為或或或．【點睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，兩點之間的距離公式和正方形的性質(zhì)，是一道綜合性較強的題，解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式以及分情況討論．題型2：二次函數(shù)-最值、取值范圍問題4．（2023秋·浙江臺州·九年級?？茧A段練習）已知拋物線經(jīng)過點和兩點，且拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．

(1)若點M是拋物線的頂點，求拋物線解析式及A、B、C坐標；(2)在（1）的條件下，若點P是A、C之間拋物線上一點，求四邊形面積的最大值及此時點P的坐標；(3)若，且，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)面積最大值為，(3)或【分析】（1）設(shè)拋物線的頂點式為，將N點代入即可求a的值，從而確定函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，先求出直線的解析式，過P點作軸交于點G，則，，從而得到，當時，的面積有最大值，此時，求出直線與x軸的交點為，再求，即可求四邊形面積的最大值；（3）先求出拋物線的解析式，分別求出當時以及當時，a的取值，即可．【解析】（1）解：∵點M是拋物線的頂點，∴可設(shè)拋物線解析式為，∵拋物線過點，∴解得：，∴拋物線的解析式為，當時，，解得或1，∴，當時，，∴；（2）解：設(shè)，設(shè)直線的解析式為，把代入得：，解得，∴直線的解析式為，過P點作軸交于點G，∴，∴，∴，當時，的面積有最大值，此時，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，∴直線與x軸的交點為，∴，∴四邊形面積的最大值為；（3）解：將和兩點代入，∴，解得，∴，當時，，解得：，當時，，解得，∴或．

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用鉛錘法求三角形面積的方法是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·浙江·九年級專題練習）在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于O，A兩點，過點A的直線與y軸交于點C，交拋物線于點D．

(1)直接寫出點A，C，D的坐標；(2)如圖1，點B是直線上方第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接和，求面積的最大值；(3)如圖2，若點M在拋物線上，點N在x軸上，當以A，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點N的坐標．【答案】(1)(2)(3)，，【分析】（1）令，，分別求出二次函數(shù)圖形和坐標軸的交點，再聯(lián)立二次函數(shù)和一次函數(shù)求出交點，即可得到交點；（2）過點B作軸于點F，交AC于點E，過點D作軸于點H，交于點G，利用面積求，將三角形的面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，求最值即可；（3）當點M在x軸上方時，當點M在x軸下方，分兩種情況討論，利用平行四邊形的性質(zhì)進行求解即可．【解析】（1）解：當時，，解得：，∴，當時，，∴，聯(lián)立二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式，得：，整理得：，解得：，當時，，∴；（2）解：如圖1，過點B作軸于點F，交AC于點E，過點D作軸于點H，交于點G，

設(shè)，則，∴，∴，當時，有最大值為；（3）解：①當點M在x軸上方時，如圖2，以A，D，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形，

則，由對稱性得到，即，故，∴，；②當點M在x軸下方時，如圖3：

過點M作軸于點P，過點D作軸于點Q，則：，∵以A，D，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴，將代入拋物線解析式得：，解得：或，∴或，∴或，符合條件的N點有：，，．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用.熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵．6．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)的圖像與直線的圖像交于，兩點，點的坐標為，點的坐標為.(1)求二次函數(shù)的表達式.(2)點是線段上的動點，將點向下平移個單位得到點.①若點在二次函數(shù)的圖像上，求的最大值.②若，線段與二次函數(shù)的圖像有公共點，請求出點的橫坐標的取值范圍.【答案】(1)；(2)①，②或【分析】（1）待定系數(shù)法計算即可．（2）①設(shè)點的坐標為，則點的坐標為，把代入構(gòu)造h為函數(shù)的二次函數(shù)計算即可．②當，點的坐標為代入解析式，確定m的值，結(jié)合圖像計算即可．【解析】（1）把，代入得：，解得，，∴．（2）①設(shè)點的坐標為，則點的坐標為．把代入，得：，，∵，當時，且滿足，∴．②設(shè)點的坐標為，則點的坐標為.當，點的坐標為，把代入得：，∴或．∴或．【點睛】本題考查了拋物線的解析式，最值，點的平移，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型3：二次函數(shù)-新定義情景題7．（2022秋·浙江衢州·九年級校聯(lián)考期中）定義：由兩條與軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．

(1)【概念理解】拋物線與拋物線________（填“能”或“不能”）圍成“月牙線”．(2)【嘗試應(yīng)用】如圖，拋物線與拋物線組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線與拋物線與軸有相同的交點，（點在點的左側(cè)），與軸的交點分別為，，拋物線的解析式為，拋物線的解析式為．①求的長和的值；②將拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向左或向右平移，平移后的“月牙線”與軸的交點記為，，與軸的交點記為，，當時，求平移的方向及相應(yīng)的距離．【答案】(1)能，(2)①，，②拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向右平移，或拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向右平移個單位長度．【分析】（1）分別求解兩條拋物線與x軸的交點坐標，再根據(jù)交點坐標與開口方向進行判斷即可；（2）①根據(jù)先求解M，N的坐標，再求解，再把代入，可得c的值；②當拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向右平移個單位長度，可得平移后的分別解析式為，，求解的縱坐標為，的縱坐標為，而，當拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向左平移個單位長度，同理可得：，再建立方程求解即可．【解析】（1）解：當，解得：，，交點坐標為：，；當，解得：，，交點坐標為：，；而兩條拋物線的開口方向都向上，∴拋物線與拋物線能圍成“月牙線”（2）解：當時，解得：，，∴，，∴，把代入可得：．∴，②∵，，當拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向右平移個單位長度，∴平移后的分別解析式為，，當時，，，

∴的縱坐標為，的縱坐標為，而，∴，解得：（負根舍去），∴此時拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向右平移個單位長度；當拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向左平移個單位長度，同理可得：，解得：（負根舍去），∴此時拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向左平移個單位長度．【點睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點坐標，與y軸的交點坐標，拋物線的平移，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，理解題意，建立方程求解是解本題的關(guān)鍵．8．（2023·浙江金華·統(tǒng)考二模）定義：若n為常數(shù)，當一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標和為n的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象關(guān)于n的“恒值點”，例如：點（1，2）是函數(shù)圖象關(guān)于3的“恒值點”．

(1)判斷點，，是否為函數(shù)圖象關(guān)于10的“恒值點”．(2)如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點（A在B的左側(cè)），現(xiàn)將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的其余部分保持不變，所得的新圖象如圖2所示．①求翻折后A，B之間的拋物線解析式．（用含b的代數(shù)式表示，不必寫出x的取值范圍）②當新圖象上恰好有3個關(guān)于c的“恒值點”時，請用含b的代數(shù)式表示c．【答案】(1)是函數(shù)圖象關(guān)于10的“恒值點”．(2)①；②或【分析】（1）由，在函數(shù)圖象上，不在函數(shù)圖象上，而，，可得是函數(shù)圖象關(guān)于10的“恒值點”．（2）①由拋物線，再根據(jù)關(guān)于x軸對稱的特點可得答案；②新圖象分兩部分，如圖，當新圖象上恰好有3個關(guān)于c的“恒值點”時，，，整理得：或，而與坐標軸構(gòu)成的三角形是等腰直角三角形，求解，當過點時，滿足條件；，當與只有1個交點時，滿足條件；即有兩個相等的實數(shù)根，從而可得答案．【解析】（1）解：∵，在函數(shù)圖象上，不在函數(shù)圖象上，而，，∴是函數(shù)圖象關(guān)于10的“恒值點”．（2）①∵拋物線，∴翻折后的拋物線的解析式為，∴翻折后的解析式為：，②新圖象分兩部分，如圖，當新圖象上恰好有3個關(guān)于c的“恒值點”時，

∴，，∴整理得：或，而與坐標軸構(gòu)成的三角形是等腰直角三角形，令，解得：，∴，當過點時，滿足條件；∴，當與只有1個交點時，滿足條件；∴即有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得：；【點睛】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．9．（2023秋·浙江舟山·九年級校聯(lián)考階段練習）“距離”是數(shù)學研究的重要對象，如我們所熟悉的兩點間的距離．現(xiàn)在我們定義一種新的距離：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐標系內(nèi)的兩點，我們將稱作P，Q間的“L型距離”，記作L（P，Q），即．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過平面直角坐標系內(nèi)的A，B，C三點，其中A，B兩點的坐標為A（－1，0），B（0，3），點C在直線x＝2上運動，且滿足．

(1)求L（A，B）；(2)求拋物線的表達式；(3)已知是該坐標系內(nèi)的一個一次函數(shù)．①若D，E是圖像上的兩個動點，且，求面積的最大值；②當時，若函數(shù)的最大值與最小值之和為8，求實數(shù)t的值．【答案】(1)4；(2)；(3)①面積最大值為；②．【分析】（1）根據(jù)題干中對于“型距離”的定義，即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)經(jīng)過點、、三點，所以只要求出點坐標即可：根據(jù)點在直線上運動，所以可設(shè)點，根據(jù)列方程求解出的值，利用待定系數(shù)法列方程組即可求出拋物線的表達式；（3）①根據(jù)的一邊長度固定等于5，所以只要求出頂點到的最大距離即可：由所在的直線過固定點,故直線的圖像是繞點旋轉(zhuǎn)的直線，當直線時，點到的距離最大，此時就是的最大面積，根據(jù)三角形面積公式求解即可；②根據(jù)，可得函數(shù)的解析式：，可知函數(shù)的圖像是一個開口向下，對稱軸是的拋物線，由此可知函數(shù)在對稱軸上取得最大值，根據(jù)可知當時有最小值，最后根據(jù)函數(shù)的最大值與最小值之和是8，從而列出方程即可求出的值．【解析】（1）解：由題意得：，；（2）點在直線上運動，設(shè)點，且由平面上兩點間距離，利用勾股定理得：即，又二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，，，設(shè)代入解析式得：解方程組得：拋物線的表達式為；（3）①令時，直線恒過定點直線的圖像是繞點旋轉(zhuǎn)的直線，當直線時，點到的距離最大，面積也最大，過點作交直線于點

由點到直線的距離，垂線段最短知：，面積的最大值為②二次函數(shù)的對稱軸為二次函數(shù)的圖像開口向下，當時，函數(shù)值取得最大值又當時，函數(shù)值取得最小值函數(shù)的最大值與最小值之和為8整理得：解得：實數(shù)的值為．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了對于題干中“型距離”的理解能力、以及根據(jù)“型距離”以及用待定系數(shù)法求拋物線的表達式、根據(jù)垂線段最短求三角形最大面積、根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)求函數(shù)最值等，對知識的綜合性很強．根據(jù)題意靈活運用所學知識以及扎實的計算基礎(chǔ)是解此題的關(guān)鍵．題型4：圓在二次函數(shù)中的應(yīng)用10．（2022秋·浙江·九年級專題練習）如圖，拋物線y＝ax2＋bx﹣3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且經(jīng)過點（2，﹣3a），對稱軸是直線x＝1，頂點是M．(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)經(jīng)過C，M兩點作直線與x軸交于點N，在拋物線上是否存在這樣的點P，滿足以點P，A，C，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)設(shè)直線y＝﹣x＋3與y軸的交點是D，在線段BD上任取一點E（不與B，D重合），經(jīng)過A，B，E三點的圓交直線BC于點F，試判斷△AEF的形狀，并說明理由．【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3(2)存在，P（2，﹣3）(3)等腰直角三角形，見解析【分析】（1）依題意聯(lián)立方程組即可求出a，b的值后可求出函數(shù)表達式．（2）分別令，求出A、B、C三點的坐標，然后易求直線CM的解析式，證明四邊形ANCP為平行四邊形可求出點P的坐標．（3）求出直線與坐標軸的交點D、B的坐標，然后證明∠AEF＝∠ABC＝45°，AE=AF，可證△AEF為等腰直角三角形．【解析】（1）∵拋物線經(jīng)過點（2，﹣3a），∴4a+2b﹣3＝﹣3a①，又因為拋物線對稱為x＝1，∴②，聯(lián)立①②，解得，∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）如圖1，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴M（1，﹣4），令x＝0，則y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C（0，﹣3），設(shè)直線MC為y＝kx﹣3，代入點M得k＝﹣1，∴直線MC為y＝﹣x﹣3，令y＝0，則x＝﹣3，∴N（﹣3，0），令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），過C作CP∥AN，使CP＝AN，則四邊形ANCP為平行四邊形，∴CP＝AN＝﹣1﹣（﹣3）＝2，∴P（2，﹣3），

∵P的坐標滿足拋物線解析式，∴P（2，﹣3）在拋物線上，即P（2，﹣3）；（3）如圖2，令x＝0，則y＝﹣x+3＝3，∴D（0，3），∴OB＝OD＝3，又∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，同理，∠ABC＝45°，∵同弧所對的圓周角相等，∴∠AEF＝∠ABC＝45°，

∠AFE＝∠DBO＝45°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴△AEF為等腰直角三角形．【點睛】本題綜合考查了等腰三角形的判定,平行四邊形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的結(jié)合圖形的應(yīng)用，難度較大．11．（2022秋·浙江嘉興·九年級校聯(lián)考期中）如圖1，已知拋物線經(jīng)過原點，它的對稱軸是直線，動點從拋物線的頂點出發(fā)，在對稱軸上以每秒1個單位的速度向上運動，設(shè)動點運動的時間為秒，連接并延長交拋物線于點，連接，．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)當為直角三角形時，求的值；(3)如圖2，為的外接圓，在點的運動過程中，點也隨之運動變化，請你探究：在時，求點經(jīng)過的路徑長度．【答案】(1)；(2)當為直角三角形時，的值為1或2或5；(3)經(jīng)過的路徑長度為【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；（2）分分別為直角，三種情況討論，利用勾股定理進行求解即可；（3）根據(jù)為的外接圓，可知，點在線段的中垂線上，當時，點的運動路徑是在線段中垂線上的一條線段，分別求出當、和時，點的坐標，然后利用兩點間的距離公式，進行求解即可．【解析】（1）解：拋物線經(jīng)過原點，且對稱軸是直線，，，則、，拋物線解析式為；（2）解：設(shè)點，，點，則、、，①若，則，解得（舍或，，則直線解析式為，當時，，即，；②若，則，解得（舍或，，則直線解析式為，當時，，即，；③若，則，整理，得：，，，，，則或（舍，，直線解析式為，當時，，即，；綜上，當為直角三角形時，的值為1或2或5．（3）為的外接圓，點在線段的中垂線上，當時，點的運動路徑是在線段中垂線上的一條線段，當時，如圖1，由（2）知，此時的外接圓圓心是的中點，，；當時，如圖2，由（2）知，，此時的外接圓圓心是的中點，、，；當時，如圖3，由（2）知，，此時的外接圓圓心是的中點，，；則點經(jīng)過的路徑長度為．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵．本題的綜合性強，屬于中考壓軸題．12．（2022秋·浙江·九年級期中）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于兩點．（1）求這個二次函數(shù)的表達式．（2）若M是第一象限內(nèi)線段上任意一點（不與B，C重合），軸于點H，與二次函數(shù)的圖象交于點P，連接．設(shè)點M的橫坐標為t，當是直角三角形時，求點M的坐標．（3）如圖，若M是直線上任意一點，N是x軸上任意一點，且．以N為旋轉(zhuǎn)中心，將逆時針旋轉(zhuǎn)，使M落在Q點連接，則線段的最值為_______．（直接寫出答案）【答案】（1）；（2）或；（3）最小值為，最大值為【分析】（1）根據(jù)A、B坐標，利用待定系數(shù)法求解；（2）求出BC表達式，分∠CPM=90°和∠PCM=90°兩種情況分別求解；（3）作的外接圓⊙，連接，，，，過點作于點，過點作交的延長線于，分析出當Q，O′，B，三點共線時，BQ可取得最值，再求解．【解析】解：（1）設(shè)拋物線的表達式為：，∴，得，∴．（2）令，，∴點坐標為，設(shè)直線BC解析式為：，，解得，∴，∵點的橫坐標為，∴點坐標為，∵，∴，∵軸，∴，∴，當時，則軸，是等腰直角三角形，∴．設(shè)點坐標為，∴，，∴，整理得：，解得：，（舍），∴點坐標為，當時，則，過作于，則軸，∴，∵，，∴，整理得：，解得：，（舍），∴點坐標為，綜上所述，點坐標為或．（3）作的外接圓⊙，連接，，，，過點作于點，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，過點作交的延長線于，∵，∴，∵MN繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到NQ，∴，，∵，∴，∴四邊形QKGN是矩形，∴，，∴，∴在中，，∴當且僅當，，三點共線時，BQ取得最值，即，∴，∴線段BQ的最小值為，線段BQ的最大值為．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，還涉及外接圓的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，難度較大，解題時要結(jié)合圖形，畫出輔助線，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三點共線得到取最值時的情況．題型5：相似三角形在二次函數(shù)中的應(yīng)用13．（2023秋·浙江杭州·九年級杭州外國語學校?？茧A段練習）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，過點作直線軸，過點作，交直線于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點為第三象限內(nèi)拋物線上的點，連接和交于點，當時．求點的坐標；(3)在軸上是否存在點，使得？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)的坐標為或【分析】（1）根據(jù)拋物線過點，對稱軸為直線，求出點坐標，點坐標，用待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）先證明，根據(jù)求出的長，從而確定點坐標，待定系數(shù)法求出的解析式，作軸，交直線于點，設(shè)，則，根據(jù)平行可得，表示出再利用，求出的值，從而得到最后結(jié)果；（3）先證明是等腰直角三角形，根據(jù)題意可得，以為對角線作正方形，則，進而求得，的坐標，待定系數(shù)法求得，的解析式，分別求出當時的值，即可求解．【解析】（1）解：拋物線的對稱軸交軸于點，拋物線對稱軸為直線，拋物線與軸交于點和點，點與點關(guān)于直線對稱，，拋物線，當時，，，設(shè)拋物線的解析式為：，過點，，，；（2）直線軸，，，，，，，，，，，，，軸，，，設(shè)的解析式為：，，解得：，，如圖：作軸，交直線于點，

設(shè)，，，，，，，，（舍去），當時，，；（3），，，是等腰直角三角形，，由（2）可知，，，如圖，以為對角線作正方形，則，

，，，，，設(shè)，則，解得：或，是，兩點的坐標，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，當，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，當時，，綜上所述的坐標為或【點睛】本題是函數(shù)的綜合題，考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與坐標軸的交點問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解決問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題．14．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，，將線段繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，使點A落在邊上的點E處，拋物線過A，E，B三點．(1)填空：；．(2)若點M是拋物線對稱軸上的一動點，當?shù)闹荛L最小時：①求點M的坐標；②求外接圓圓心F的坐標．(3)在（2）的條件下，點P是軸上一動點，當時，求點P的坐標．【答案】(1)1，(2)①；②(3)或【分析】（1）先利用二次函數(shù)解析式求出點A的坐標，進而求出E、B的坐標，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①先求出拋物線對稱軸為直線，如圖所示，連接，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于T，再由A、B關(guān)于直線對稱，得到，進一步推出當三點共線時，最小，即此時的周長最小，先求出，進而證明，得到，則；②利用勾股定理和勾股定理得逆定理證明時直角三角形，即，則外接圓圓心F即為的中點，據(jù)此求解即可；（3）先由（2）得，再證明，求出，由此即可得到答案．【解析】（1）解：當時，，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴；∵四邊形是矩形，，∴，∴，把，代入到拋物線解析式中得：，解得，故答案為：1，；（2）解：①由（1）得拋物線解析式為，∴拋物線對稱軸為直線，如圖所示，連接交對稱軸于點M，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于T，∵，，∴A、B關(guān)于直線對稱，∴，∴的周長，∵B、E都是定點，即是定值，∴當三點共線時，最小，即此時的周長最小，∵，∴，∴，∴，∴；②∵，，，∴，，，∴，∴時直角三角形，即，∴外接圓圓心F即為的中點，∴外接圓圓心F的坐標為．（3）解：由（2）得，∵點P在x軸上，∴，又∵，∴，∴，即，∴．∵，∴或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，軸對稱最短路徑問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，三角形外接圓等等，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．題型6：圓壓軸題15．（2022秋·浙江寧波·九年級?？计谥校┒x：兩個角對應(yīng)互余，且這兩個角的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形叫做“互余三角形”．如圖1，在和中，若，且，則和是“互余三角形”(1)以下四邊形中，一定能被一條對角線分成兩個“互余三角形”的是______；（填序號）①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形．(2)如圖2，等腰直角，其中，點D是上任意一點（不與點A、B重合），則圖中△______和△______是互余三角形，并求證：．(3)如圖3，的半徑為5，四邊形是的內(nèi)接四邊形，且和是“互余三角形”①求的值；②若°，求和的周長之差．【答案】(1)②④(2)和是“互余三角形”，理由見解析；(3)①；②【分析】（1）根據(jù)“互余三角形”的定義可知，矩形和正方形是“互余三角形”，既得答案；（2）過C作于H，可以得到和是“互余三角形”，在中利用勾股定理的逆定理可以得到結(jié)論；（3）①連接并延長交于E，連接，由和是“互余三角形”，可證，然后在中運用勾股定理即可求解；連接并延長交于，連接，過作于，由和是“互余三角形”可知是等腰直角三角形，解出，的值進而解題即可．【解析】（1）根據(jù)“互余三角形”定義可知：矩形和正方形一條對角線把它分成的兩個三角形，兩個角對應(yīng)互余，且這兩個角的夾邊對應(yīng)相等，∴矩形和正方形是“互余三角形”，故答案為：②④；（2）和是“互余三角形”，理由如下：過C作于H，如圖2；∵，∴，又∵∴和是“互余三角形”，∵設(shè)A，則，∵，∴，∴在中，∴，∴∴；（3）①連接并延長交于E，連接，如圖3：∵和是“互余三角形”，∴，∵是直徑，∴，∴，又∵，，∴，，∴，，∴，又∵，∴，在與中，∴，∴在中，，∴，即的值為100；②連接并延長交于，連接，過作于，如圖：∵，由①知，∴，∴，∵，∴，∵和是“互余三角形”∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，

∴，∴，在中，，在中，∴和的周長之差=．【點睛】本題考查圓周角定理的推論，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形的全等三角形解決問題．16．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖半徑為r，銳角內(nèi)接于，連并延長交于D，過點D作于E．(1)如圖1，求證：；(2)如圖1，若，求的長；(3)如圖2，當時，，求r的值；(4)如圖3，若，直接寫出的值（用含r的代數(shù)式表示）【答案】(1)見解析(2)3(3)(4)【分析】（（1）延長交于F，連接，由圓周角定理可得，再由等角的余角相等可得結(jié)論；（2）作，可得，再由證明即可得到結(jié)論；（3）作于點G，于點H，可證明，得到，由勾股定理得，，延長交于，連接，可得，再由勾股定理可得結(jié)論；（4）延長交于點F，連接，過點C作于點G，連接交于點H，由證明得，從而，再根據(jù)證明得，最后由勾股定理可得結(jié)論．【解析】（1）延長交于F，連接，∴∵為直徑，，∴，∴；（2）作于N，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（3）作于點G，于點H，∴，∴，又∵，∴，∴可得，又∵，∴，在中，，設(shè)，在中，，解得，∴，延長交于，連接，∵，∴，在中，．∴；（4）延長交于點F，連接，過點C作于點G，連接交于點H，如圖，，，，，由（1）得，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，在和中，，，為的直徑，，，，．【點睛】本題考查垂徑定理、直徑的性質(zhì)、勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．17．（2022秋·浙江寧波·九年級校考期中）如圖①，在中，在邊上，圓為銳角的外接圓，連結(jié)并延長交于點．(1)若，請用含的代數(shù)式表示；(2)如圖②，作，垂足為，與交于點，已知，求證：.(3)如圖③，在(2)的條件下，與交于，，求的值.【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半可得，再利用等邊對等角可得，由三角形內(nèi)角和即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系可得：，設(shè)，由（1）結(jié)論得出，利用三角形內(nèi)角和及對頂角相等可得，根據(jù)等量代換得出，根據(jù)等角對等邊即可證明；（3）連接，根據(jù)，推出，過點作，證明，得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，設(shè)，在與中，勾股定理得出，即可求解．【解析】（1）解：如圖所示：連結(jié)，∵，∴，又∵，∴，∴；（2）證明：如圖，∵，∴，設(shè)，則由（1）得：，∵，∴，故，∴；（3）如圖，連接，∵，∴，∴，∵，∴∴過點作∴∵∴即，∴在與中，∴∴，由（2）∴是等腰直角三角形，∴,∴是等腰直角三角形，設(shè)∴∴在與中，∴，整理得．∴．【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．題型7：相似三角形在圓中的應(yīng)用18．（2023春·浙江杭州·九年級專題練習）如圖，銳角三角形內(nèi)接于，，點D平分，連接，，．(1)求證：．(2)過點D作，分別交于點E，F(xiàn)，交于點G．①若，，求線段的長（用含a，b的代數(shù)式表示）．②若，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)①；②證明見解析【分析】（1）由點D平分，可得，則，由，可得，則，進而結(jié)論得證；（2）證明四邊形是菱形，則，，證明，則，即，求解即可；②由，可得，，由，可得，證明，則，即，如圖，連接，，說明，則，進而結(jié)論得證．【解析】（1）證明：∵點D平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）①解：由（1）可知，，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，∴，，∵，∴，∴，即，解得，∴線段的長為；②證明：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，如圖，連接，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了同弧或等弧所對的圓周角相等，菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．19．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，圓O為的外接圓，延長線與交于點D，，點F在上，平分．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連結(jié)，求證：；(3)如圖3，連結(jié)并延長分別交，于G，H兩點，若，，求．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理和等腰三角形底邊上的三線合一得出，結(jié)合已知條件利用兩角對應(yīng)相等即可得出結(jié)論（2）連接，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等得出，從而得出，即可得出答案（3）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和垂徑定理得出，再利用得出，從而得出，繼而得出，即可得出答案【解析】（1）解：連接，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴．（2）解：連接，∵，∴，∴，，∴∴，∵，∴，∴，∴．（3）解：作于M，由（2）知，，∵平分，∴，∴，∴，∵∴，∵，∴，∵，設(shè)，∴，∵，∴，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴∴，，∴∴．【點睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形的外角性質(zhì)、含有30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識，靈活添加輔助線是解題的關(guān)鍵20．（2022·浙江杭州·杭州綠城育華學校?？级＃┤鐖D，已知是的內(nèi)接三角形，為直徑，，，是上的兩點，連結(jié)交于，交于．(1)如圖1，連結(jié)，，，若，求的度數(shù)．(2)如圖2，若，求證：．(3)若且，作交于，交于，過點作交的延長線于，當過圓心時，求出的值．【答案】(1)55°(2)見解析(3)【分析】（1）由，得，又，可得，從而；（2）證明，可得，由垂徑定理即得，（3）連接，由，可得，即有，，，又，，即得，，由，知，故．【解析】（1）解：為的直徑，，，，，，，，；（2）證明：，，，，，，，，，，；（3）解：連接，如圖：，，為的直徑，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，

，，，，．【點睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的相關(guān)性質(zhì)題型8：相似三角形壓軸題21．（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）已知，在矩形中，，，點在邊上，且，過點作的垂線，并在垂線上矩形外側(cè)截取點F,使，連接，，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．．

(1)如圖（1），當，求的值．(2)如圖2，若，求m關(guān)于n的數(shù)量關(guān)系．(3)若旋轉(zhuǎn)至A，E，F(xiàn)三點共線，求m的值．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】（1）如圖1，過作，交的延長線于，先證明四邊形是矩形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理分別求出m、n的值，即可求解；（2）如圖2，連接，先后利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等證明、，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，分別畫出圖形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解即可．【解析】（1）當時，如圖1，過作，交的延長線于，

四邊形是矩形，，，，，四邊形是矩形，，，，，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，故答案為：；（2）如圖2，連接，

在中，由勾股定理得：，在中，，，，，，，，，，，，，，即；（3）當旋轉(zhuǎn)至，，三點共線時，存在兩種情況：①如圖3，連接，

在中，由勾股定理得：，在中，，，，，，，，，，，，，，在中，，，；②如圖4，連接，

同理得：，，，，綜上，或．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理、證明三角形相似是解題關(guān)鍵．22．（2023春·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）在矩形中，是邊上一動點，將矩形沿著對折，點的對應(yīng)點為．

(1)若，．①如圖1，當點恰好落在對角線上時，求的長．②如圖2，是射線上一動點，當，，三點在同一直線上時，求的長．(2)如圖3，若，連結(jié)，，當是直角時，求的長．【答案】(1)①；②或(2)【分析】（1）①根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，求出，然后在中，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可；②當點P在線段上時，求出，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可；當點P在線段的延長線上時，求出，證明，可得，求出，即可得到的長；（2）過點D作于E，過點作，先證明，可得，求出，再證明，求出，，可得，然后求出和，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．【解析】（1）解：①∵在矩形中，，，，∴，由折疊得：，，，∴，，在中，，∴，∴；②設(shè)，如圖2-1，當點P在線段上時，

由折疊得：，，，∴，∵在矩形中，，，∴，∴，∵在中，，∴，∴，即；如圖2-2，當點P在線段的延長線上時，

由折疊得：，，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖3，過點D作于E，

∵，∴矩形是正方形，∴，∵，且，∴，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，過點作，則四邊形是矩形，∴，，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵在中，，∴，∴．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，作出合適的輔助線，正確分類討論是解題的關(guān)鍵．23．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖1，菱形中，，，是邊上一動點（不與點、重合）連結(jié)，點關(guān)于直線的對稱點為，連結(jié)并延長交直線于點、是的中點，連結(jié)、．

(1)填空：________；________．(2)如圖2，將題中條件“”改成“”，其余條件均不變，連結(jié)，猜想、、這三條線段間的數(shù)量關(guān)系，并對你的猜想加以證明．(3)在（2）的條件下，連結(jié)．①若動點運動到邊的中點處時，求的面積；②在動點的整個運動過程中，求面積的最大值．【答案】(1)，(2)猜想：，證明見詳解(3)①②【分析】（1）由是關(guān)于的對稱點，可得沿翻折后可得到，可求，，進而可求解；（2）過作，交的延長線于，在中，可求，再證，即可得證；（3）連接交于，連接，可證、、、四點共圓，為圓心，在上，再證，可求，，從而可求，在中，，即可求解；②過作，交于，的運動軌跡是以為圓心，為半徑的，與交于，可得，當取最大時，最大，所以當與重合時，即，最大，即可求解.【解析】（1）解：四邊形是菱形，，，是關(guān)于的對稱點，沿翻折后可得到，，，，是的中點，，，．故答案：，．（2）結(jié)論：，證明：如圖，過作，交的延長線于，

，四邊形是菱形，，四邊形是正方形，，，由（1）得：，，