勾股定理與弦圖問題八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)題典32

2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題勾股定理與弦圖問題〔重難點(diǎn)培優(yōu)〕姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________考前須知：本試卷總分值100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題〔本大題共10小題，每題3分，共30分〕在每題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．1．〔2021秋?江陰市期中〕如圖，“趙爽弦圖〞是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成大正方形，假設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為3，大正方形邊長(zhǎng)為15，那么一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是〔〕A．45B．36C．25D．182．〔2021秋?丹東期末〕如圖，用4個(gè)相同的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形，假設(shè)圖中直角三角形較短的直角邊長(zhǎng)是5，小正方形的邊長(zhǎng)是7，那么大正方形的面積是〔〕A．121B．144C．169D．1963．〔2021春?賀蘭縣期中〕“趙爽弦圖〞是由4個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形〔如下圖〕．假設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別是2和1，那么圖中陰影區(qū)域的面積與大正方形的面積之比為〔〕A．13B．14C．154．〔2021春?望城區(qū)期末〕勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，這是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是〔〕A．B．C．D．5．〔2021秋?姑蘇區(qū)期中〕如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，大正方形面積為64，小正方形面積為9，假設(shè)用x，y表示直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)〔x＞y〕，請(qǐng)觀察圖案，以下關(guān)系式中不正確的選項(xiàng)是〔〕A．x2+y2＝64B．x﹣y＝3C．2xy+9＝64D．x+y＝116．〔2021?龍馬潭區(qū)模擬〕“趙爽弦圖〞巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如下圖的“趙爽弦圖〞是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，假設(shè)ab＝18，大正方形的面積為100．那么小正方形的邊長(zhǎng)為〕A．9B．8C．7D．67．〔2021秋?山西月考〕如下圖的是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖〞的示意圖，此圖是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，那么EF2的值是〔〕A．169B．196C．392D．5888．〔2021春?海珠區(qū)月考〕如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，大正方形面積為49，小正方形面積為4，假設(shè)用x，y表示直角三角形的兩直角邊〔x＞y〕，以下結(jié)論：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正確的結(jié)論是〔〕A．①②B．②④C．①②③D．①③9．〔2021秋?中牟縣期中〕1876年，美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德利用如下圖的方法驗(yàn)證了勾股定理，其中兩個(gè)全等的直角三角形的邊AE，EB在一條直線上，證明中用到的面積相等關(guān)系是〔〕A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCDC．S△EDA+S△CEB＝S△CDED．S四邊形AECD＝S四邊形DEBC10．〔2021秋?南山區(qū)校級(jí)期中〕如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成正方形ABCD和正方形EFGH，即趙爽弦圖．連接AC，分別交EF、GH于點(diǎn)M，N，連接FN．AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，那么圖中陰影局部的面積之和為〔〕A．214B．215C．225二、填空題〔本大題共8小題，每題3分，共24分〕請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11．〔2021春?興城市期末〕把圖1中長(zhǎng)和寬分別6和4的兩個(gè)全等矩形沿對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形，將這四個(gè)全等的直角三角形拼成圖2的正方形，那么圖2中小正方形ABCD的面積為．12．〔2021春?陽西縣期末〕“趙爽弦圖〞巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如下圖的“趙爽弦圖〞是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為a，較短的直角邊長(zhǎng)為b，假設(shè)ab＝8，小正方形的面積為9，那么大正方形的邊長(zhǎng)為．13．〔2021?通州區(qū)一模〕把圖1中長(zhǎng)和寬分別為3和2的兩個(gè)全等矩形沿對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形，將這四個(gè)全等的直角三角形拼成圖2所示的正方形，那么圖2中小正方形ABCD的面積為．14．〔2021秋?法庫縣期末〕如圖是“趙爽弦圖〞，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝．15．〔2021秋?延慶區(qū)期末〕用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖一個(gè)大正方形ABCD和一個(gè)小正方形EFGH，這就是著名的“趙爽弦圖〞．在2002年北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)就用這個(gè)弦圖作為會(huì)標(biāo)．假設(shè)AB＝10，AF＝8，那么小正方形EFGH的面積為．16．〔2021?高新區(qū)一?！橙鐖D1，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國(guó)漢代趙爽在注解?周髀算經(jīng)?時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖〞．在此圖形中連接四條線段得到如圖2的圖案，記陰影局部的面積為S1，空白局部的面積為S2，大正方形的邊長(zhǎng)為m，小正方形的邊長(zhǎng)為n，假設(shè)S1S217．〔2021?寧夏〕2002年8月，在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的?勾股圓方圖?，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形〔如圖1〕，且大正方形的面積是15，小正方形的面積是3，直角三角形的較短直角邊為a，較長(zhǎng)直角邊為b．如果將四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，那么圖2中最大的正方形的面積為．18．〔2021秋?福田區(qū)期末〕如圖是“趙爽弦圖〞，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4．那么AH等于．三、解答題〔本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟〕19．〔2021春?岳西縣期末〕公元3世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽在注?周髀算經(jīng)?中，就利用以下弦圖證明了勾股定理．即用4個(gè)全等的直角三角形拼成如下圖的正方形ABCD，中間留出一個(gè)小正方形空格．請(qǐng)你利用這個(gè)弦圖證明勾股定理．20．〔2021秋?蘇州期末〕三國(guó)時(shí)代東吳數(shù)學(xué)家趙爽〔字君卿，約公元3世紀(jì)〕在?勾股圓方圖注?一書中用割補(bǔ)的方法構(gòu)造了“弦圖〞〔如圖1〕，并給出了勾股定理的證明．，圖2中涂色局部是直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c的4個(gè)直角三角形，請(qǐng)根據(jù)圖2利用割補(bǔ)的方法驗(yàn)證勾股定理．21．〔2021秋?伊川縣期末〕勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖擺放時(shí)，可以用“面積法〞來證明．將兩個(gè)全等的直角三角形按如下圖擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2+b2＝c2．22．〔2021秋?溧陽市期中〕勾股定理被譽(yù)為“幾何明珠〞，在數(shù)學(xué)的開展歷程中占有舉足輕重的地位．它是初中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)之一，也是初中學(xué)生以后解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中常常運(yùn)用到的重要知識(shí)，因此學(xué)好勾股定理非常重要．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)“不僅要知其然，更要知其所以然〞，所以，我們要學(xué)會(huì)勾股定理的各種證明方法．請(qǐng)你利用如圖圖形證明勾股定理：：如圖，四邊形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于點(diǎn)E，且△ABE≌△BCD．求證：AB2＝BE2+AE2．23．〔2021秋?雁江區(qū)期末〕中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的奉獻(xiàn)和地位，表達(dá)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和開展，現(xiàn)用4個(gè)全等的直角三角形拼成如下圖“弦圖〞．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，請(qǐng)你利用這個(gè)圖形解決以下問題：〔1〕試說明：a2+b2＝c2；〔2〕如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是3，求〔a+b〕2的值．24．〔2021春?青白江區(qū)期末〕如圖，在長(zhǎng)方形ACDF中，AC＝DF，點(diǎn)B在CD上，點(diǎn)E在DF上．BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．〔1〕在探究長(zhǎng)方形ACDF的面積S時(shí)，我們可以用兩種不同的方法：一種是找到長(zhǎng)和寬，然后利用長(zhǎng)方形的面積公式，就可得到S；另一種是將長(zhǎng)方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，