2023年高考數(shù)學(xué)第33講 數(shù)列相遇不等式

第33講數(shù)列相遇不等式，珠聯(lián)璧合互滲透

一、知識(shí)聚焦

數(shù)列與不等式知識(shí)的交匯,是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn),且涉及數(shù)列不等式的證明、數(shù)列中的最

值問(wèn)題數(shù)列不等式恒成立條件下的參數(shù)問(wèn)題、解有數(shù)列參與的不等式問(wèn)題以及比較大小問(wèn)

題.

特別要強(qiáng)調(diào)的是近年來(lái)高考命題中經(jīng)常出現(xiàn)利用放縮法證明數(shù)列型不等式，且多以壓軸題的

形式出現(xiàn),需要綜合利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題,如果所證數(shù)列不等式與和式有

關(guān),可先求出其和,再借助放縮法證明,或先將數(shù)列放縮為可以求和的形式再求和,并加以證

明.

二、精講與訓(xùn)練

【核心例題1]

己知等差數(shù)列｛4｝滿足：q=2,且q,生,％成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

⑵設(shè)S”為數(shù)歹U｛a“｝的前n項(xiàng)和,是否存在正整數(shù)n，使得S,,>60/1+800?若存在,求n

的最小值;若不存在，說(shuō)明理由.

【解題策略】

本例是求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列不等式的求解問(wèn)題.第(1)問(wèn),設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為

4,利用4，。2，。5成等比的條件得到=6％，并用4，"表示"2,。5,求出公差d進(jìn)而求出

通項(xiàng).第(2)問(wèn)，先利用(1)的結(jié)論與等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式求出S,.然后根據(jù)

S,,>6〃+800列出關(guān)于”的不等式求解,探求不等式能成立時(shí)”的最小值.

【解】

(1)設(shè)等差數(shù)列｛?！埃墓顬閐,依題意2,2+d,2+44成等比數(shù)列，故有

(2+dy=2(2+4d).化簡(jiǎn)得d2-4J=0,解得d=O或d=4.當(dāng)d=O時(shí)，%=2；當(dāng)

4=4時(shí)，%=2+(〃一1)x4=4n—2,從而得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為=2或

%二4〃-2.

(2)當(dāng)例=2時(shí)，=2〃，顯然2〃<60/2+800,此時(shí)不存在正整數(shù)n，使得Sn>60〃+800

〃「2+(4〃-2)1、

成立.當(dāng)a“=4〃-2時(shí)，S“=------------=2n~,

令2/?>60〃+800,即“2-30〃-400>0,解得〃>40或〃<一10(舍去)，此時(shí)存在正整

數(shù)及，使得S,,>60〃+800成立，”的最小值為41.綜上,當(dāng)%=2時(shí),不存在滿足題意的n；

當(dāng)an=4n-2時(shí),存在滿足題意的"，其最小值為41.

【變式訓(xùn)練】

等比數(shù)列｛《,｝的公比q>1,第17項(xiàng)的平方等于第24項(xiàng),求使

q+a,++an>—+—++!恒成立的正整數(shù)”的取值范圍.

4a2an

【核心例題2)

oc17

設(shè)數(shù)歹IJ｛q｝的前〃項(xiàng)和為sn,己知％=1,半=

(1)求生的值.

(2)求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式.

.1117

(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)〃，有1----FH---<—.

q々4

【解題策略】

第(2)問(wèn)，由條件等式寫(xiě)出“姐妹式”作差得到a向與凡的遞推關(guān)系式，再構(gòu)造等差數(shù)列寫(xiě)

出通項(xiàng)公式.第(3)問(wèn)，把(2)所得結(jié)果代入所證不等式左邊,先放縮再求和,再放縮.

一般地，對(duì)于和式不等式的證明有兩類(lèi)，一是先求和后放縮，二是先放縮再求和，視和式的

特征而定.本例顯然是后一類(lèi),放縮后才能運(yùn)用裂項(xiàng)相消法,再利用添減項(xiàng)放縮.

(1)【解】

I?1?

——-=a.——n2-n——eN*,.?.當(dāng)〃=］時(shí)，2a=2sl=a,---1——=

nn+,331233

a2-2,又％=1,故%=4.

⑵【解】

2s122z*

-^li=4+1-/neN,

1,,2〃(鹿+1)(〃+2)

2S”=na,l+i--n--n---n=nan+i--------------，①,

當(dāng)幾.2時(shí)，——曾——②

由①-②得2S“-2S,i=nan+l-(n-l)a,(-H(H+1).

2a“=2S"-2S._i，:.2a0=叫用-〃(〃+1).

整理可得3L—%=1,③

〃+1n

當(dāng)〃=1時(shí)，③式顯然成立,即數(shù)列I組;是首項(xiàng)為幺=1,公差為1的等差數(shù)列,

〃J1

=1+1x(n-1)=n,/.=H2(n..2),

n

2

an-n,nGN*.

(3)【證明】

由⑶知：%=7Z2,HGN\

17

(i)當(dāng)〃=1時(shí)，一二1〈一，故原不等式成立;

44

1117

(ii)當(dāng)〃=2時(shí)，一+—=1+—<一，故原不等式成立;

q%44

(iii)當(dāng)幾.3時(shí)，…n2>(n-l)(A7+l),.\—<-----&----r

11

22n2

---++--+--------+------------

1x32x4-----(〃一2)〃(〃一1)(〃+1)

1

2(〃一2nJ2(〃一1〃+1

111111111

1------1-----------1----------F+--------+-----------

32435〃-2nn-1〃+1

17If1117

1+----=-+-——----<—

1〃+U421nn+\)4

二當(dāng)幾.3時(shí)結(jié)論成立，即原不等式也成立.

一1117

綜上，對(duì)一切正整數(shù)〃，有---1------F…H-----<—.

Ga2an4

【變式訓(xùn)練】

已知數(shù)列｛a,J滿足%+i

3個(gè)+1

(1)若方程/(x)=x的解稱為函數(shù))，=/(%)的不動(dòng)點(diǎn),求an+i=/(q)的不動(dòng)點(diǎn)的值.

(2)若4=2,2=子，證明：數(shù)列｛｛ln0“｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng).

(3)當(dāng)任意〃eN*時(shí)，證明：2+為+&+

【核心例題3]

已知函數(shù)/(x)=x2+x,xe[l,+oo),a?=

(1)證明：jx+，

</(x)“2x2.

I2)

]3

(2)設(shè)數(shù)列｛?的前〃項(xiàng)和為An，設(shè)數(shù)列.，的前〃項(xiàng)和為紇,q=萬(wàn)，證明:

4+L

22”<也32"

3紇

【解題策略】

第(1)問(wèn)，可運(yùn)用比差法證明.第(2)問(wèn)是不可求通項(xiàng)型的數(shù)列不等式證明，可結(jié)合(1)所證結(jié)

果利用遞推的特點(diǎn)實(shí)施構(gòu)造放縮.

【證明】

=X2+X—|X2JQ--|=—>0,

⑴小)-1+；)4I4J4

“3〉[+{l-p

X/(x)-2x2=x2+x-2x2=x-x2=x(l—x)京0(%1),/./(%)?2x2,

<1、2]

XdVf(X),,2爐.

I2J2'"

⑵&=/(??-,)=<i+%，-,-<i=a,~a?-\■

3

運(yùn)用累加法得4=a；+q；++a；=ciH+^—4=%+i—~,

an=<1+a,i=%(a?_,+1),取倒數(shù)得；=/八=7"一7"

UnC"〃一十/Un-\Un-\

]_J____1_

,'%+1%an'

1112__

運(yùn)用累加法得久=—+4----------=-------------

4+1%+1%+1?l%+13atl+i

3

?4一°"+「2_3

??gT~2r~2a,,+l

a

3n+\

22、2”

>q+g

由(1)得>%十萬(wàn)一,n%+「I>

7

a>22-，L=<Z，，+l

n+\iBi〉3x2?T

q=/(a,i)融4n%2a燃療？^'af=2^'^=^32".

,331.2n12Z,+,

---=—6Fp,—x—x3=—x3Q.

2n'224

3A1

"

<X3H

-4-瓦2

4-

22"+」<江

3紇

又223—1>22].22"<士￡,32".

3紇

【變式訓(xùn)練】

設(shè)數(shù)列｛q)滿足an+]=crn-nan+1,neN*.

(1)當(dāng)q=2時(shí)，求生,%,%并由此猜測(cè)?！钡囊粋€(gè)通項(xiàng)公式(不需要證明).

⑵當(dāng)q23時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明an>n+2.

(3)當(dāng)4=3時(shí),證明：---+---F???+---<—.

1+q1+%1+〃“2

【核心例題4】

x

設(shè)等比數(shù)列｛a,,｝的前及項(xiàng)和為Sn,已知對(duì)任意的”eN*,點(diǎn)(〃,S“)在函數(shù)y=h+r

(6〉0且bw均為常數(shù))的圖像上.

(1)求r的值.

⑵當(dāng)力=2時(shí),記d=2(log2a?+1)(neN*),證明:對(duì)任意的〃eN*,不等式

4+14+1b4-1/~

----?----???----->\/拉+1成立.

4瓦bn

【解題策略】

本例的精彩之處在第(2)問(wèn)，在求出外之后代入所證不等式左邊的連乘式,如何對(duì)這個(gè)連乘

式進(jìn)行縮小就成了關(guān)鍵,可以有多種不同的處理方法，如運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證不等式;通過(guò)構(gòu)造

數(shù)列抓住通項(xiàng)進(jìn)行比較實(shí)現(xiàn)放縮;構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行放縮，通過(guò)糖水不等式逐

項(xiàng)進(jìn)行放縮;運(yùn)用均值不等式進(jìn)行放縮等，眾多證法供讀者賞析.

(1)【解】

-,?對(duì)任意〃eN*,點(diǎn)(小均在函數(shù)y=//+r(b>0且匕#l,b,r均為常數(shù))的圖像上，

n

Stl=b+r.

當(dāng)幾=1時(shí)，q=S[=b+r.

當(dāng)〃..2時(shí)，4=S?-%=bn+r-(bn-x+r)=bn-bn-l=(b-1)bn-1.

X-{4}為等比數(shù)列，.“=-4,公比為瓦4=僅一1)加1.

(2)【證明】

當(dāng)b=2時(shí)，？=(匕一l)Z/i=2"T.

),

b“=2(log2a,(+1)=21og22=2n,

.也+12n+lb,+1b,+\b+\3572〃+l

則」;一=-----,，一4~―――弋—=-x-x-x...x--------

bn2nh}b2bn2462n

原問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為證不等式3x2x2/x型口〉成立.

2462n

【證法一】(數(shù)學(xué)歸納法)

(D當(dāng)〃=i時(shí)，左邊=3,右邊=0.3>&,.?.不等式成立.

22

(ii)假設(shè)當(dāng)〃=人(左/)時(shí)不等式成立,即3x』xZx…x竺擔(dān)>成立.

2462k

則當(dāng)〃=攵+1時(shí),

3572Z+12A:+32k+3

左邊=±x±x'xx->---y-j-k--+--l-------

2462k2k+22k+2

但A+3>_卜(A+l)2+4(k+l)+l

V4(1+1)R4(1+1)

=/k+1）+1+^（h）>^+1）+L

,當(dāng)〃=攵+1時(shí)，不等式也成立.

由（。和（ii）可知,原不等式恒成立.

【證法二】（構(gòu)造數(shù)列,抓住通項(xiàng)實(shí)現(xiàn)放縮）

設(shè)數(shù)列｛%｝滿足C”=+L①，

則qc2cn_]=4n,②

①+②得q,=呼L

yJn

3572〃+1血85/4\/n+l

...原不等式等價(jià)于？xex,xX------------>―-=-X―-=X--=XX-=—.

2462HJix/2、/3Jn

二"士1><=>2”+1>2,〃+1?冊(cè)=4〃2+4〃+1〉4/+4〃

2n冊(cè)

顯然41+4〃+1>4/+4〃恒成立，原不等式成立.

【證法三】（構(gòu)造函數(shù),通過(guò)探究函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行證明）

令"〃"焉j332〃+1

x------------

2〃

2

EI62n+l2〃+1U/i+4n+l

/(n-l)Vn+12n2G7n+lV4”~+4〃

函數(shù)/（〃）=一/----x/x;x：*X——在定義域上單調(diào)遞增.

Vn+124