適用于新高考新教材2024版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)上篇六大核心專題主攻專題6函數(shù)與導(dǎo)數(shù)高考小題突破10導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用課件

高考小題突破10導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義考向1導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

C(2)(2022新高考Ⅱ,14)曲線y=ln|x|經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為____________,____________.(3)(2022新高考Ⅰ,15)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線,則a的取值范圍是____________________.(-∞,-4)∪(0,+∞)增分技巧利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的方法(1)已知切點(diǎn)(x0,y0),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0).(2)已知曲線y=f(x)的切線斜率k,求切點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0)時(shí),可根據(jù)f'(x0)=k解方程得到.(3)求曲線y=f(x)過點(diǎn)(x1,y1)的切線方程時(shí),應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)(x0,y0),則切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0),再將點(diǎn)(x1,y1)的坐標(biāo)代入切線方程,求出x0即可求得切線方程.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2020全國Ⅰ,文15)曲線y=lnx+x+1的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為__________.y=2x(2)(2023廣東梅州二模)已知函數(shù)f(x)=x2+alnx的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線在y軸上的截距為2,則實(shí)數(shù)a=__________.-3解析

函數(shù)f(x)=x2+aln

x,求導(dǎo)得f'(x)=2x+,f'(1)=2+a,而f(1)=1,因此函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-1=(a+2)(x-1),令x=0,得y=-a-1,于是-a-1=2,解得a=-3.考向2公切線問題

D(2)(2023湖南邵陽二模)已知直線l是曲線f(x)=ln(x-2)+2與g(x)=ln(x-1)的公切線,則直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為__________.增分技巧解決曲線y=f(x)和y=g(x)的公切線問題時(shí),通常有兩種方法:一是利用其中一條曲線在某點(diǎn)處的切線與另一條曲線相切,列出關(guān)系式求解;二是分別設(shè)出公切線與曲線y=f(x)和y=g(x)的切點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,則有f'(x1)=g'(x2)=

,據(jù)此列式求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2023河北唐山三模)已知曲線y=lnx與y=ax2(a>0)有公切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性考向1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例3(2023云南“3+3+3”診斷聯(lián)考)函數(shù)f(x)=ex-ln(1+x)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.[0,+∞)增分技巧利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,其實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為解不等式問題,但應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)首先確定函數(shù)的定義域,忽視定義域的限制易致錯(cuò).(2)當(dāng)函數(shù)在區(qū)間的端點(diǎn)處有定義時(shí),單調(diào)區(qū)間可以寫成閉區(qū)間也可以寫成開區(qū)間,但當(dāng)函數(shù)在區(qū)間的端點(diǎn)處沒有定義時(shí),單調(diào)區(qū)間只能寫成開區(qū)間.(3)當(dāng)函數(shù)具有多個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間(遞減區(qū)間)時(shí),不能用“∪”聯(lián)結(jié),而應(yīng)該用“和”“,”等聯(lián)結(jié).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(-∞,1)解析

當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-x-2,其在(-∞,0)上單調(diào)遞減,當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=(x-2)ex,則f'(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex,當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0,則f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0,所以f(x)在[0,1)上單調(diào)遞減,又0-2=-2,f(0)=-2,故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1).考向2

函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例4若函數(shù)h(x)=lnx-ax2-2x(a≠0)在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________________.延伸探究1若本例條件變?yōu)椤昂瘮?shù)h(x)=lnx-ax2-2x(a≠0)在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞增”,則a的取值范圍為__________.(-∞,-1]延伸探究2若本例條件變?yōu)椤昂瘮?shù)h(x)=lnx-ax2-2x(a≠0)在區(qū)間[1,4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間”,則a的取值范圍為_______________.(-1,0)∪(0,+∞)延伸探究3若本例條件變?yōu)椤昂瘮?shù)h(x)=lnx-ax2-2x(a≠0)在區(qū)間[1,4]上不單調(diào)”,則a的取值范圍為__________.增分技巧已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍問題注意點(diǎn)(1)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍問題主要采用等價(jià)轉(zhuǎn)化法,但要注意函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增(遞減)與存在單調(diào)遞增(遞減)區(qū)間的區(qū)別,前者是不等式恒成立問題,后者是不等式有解問題.(2)解決這類問題主要與參數(shù)處理相關(guān),因此盡量采取措施合理地規(guī)避分類討論,簡化求解過程,否則就要運(yùn)用分類討論的思想解決問題.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2023新高考Ⅱ,6)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,則a的最小值為(

)A.e2

B.e

C.e-1

D.e-2C考向3比較大小或解不等式

A.a>b>c B.c>a>bC.c>b>a D.b>a>cB(2)(2023廣東廣州一模)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若xf'(x)-1<0,f(e)=2,則關(guān)于x的不等式f(ex)<x+1的解集為__________.(1,+∞)解析

令函數(shù)g(x)=f(x)-ln

x,x>0,因此函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,g(e)=f(e)-ln

e=1,因此f(ex)<x+1?f(ex)-x<1?g(ex)<g(e),即ex>e,解得x>1,所以不等式f(ex)<x+1的解集為(1,+∞).增分技巧利用導(dǎo)數(shù)解不等式或比較大小的思路根據(jù)題目條件,通過已知函數(shù)或構(gòu)造輔助函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性比較大小或解不等式問題.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(1)(2022全國甲,文12)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,則(

)A.a>0>b B.a>b>0C.b>a>0 D.b>0>aAB考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值例6(1)(2022全國乙,文11)函數(shù)f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在區(qū)間[0,2π]的最小值、最大值分別為(

)D(2)(2021全國乙,理10)設(shè)a≠0,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點(diǎn),則(

)A.a<b

B.a>bC.ab<a2 D.ab>a2D增分技巧利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法(1)若求極值,則先求方程f'(x)=0的根,再檢查f'(x)在f'(x)=0的根的左右函數(shù)值的符號(hào).(2)若已知極值大小或存在情況,則轉(zhuǎn)化為已知方程f'(x)=0根的大小或存在情況來求解.(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值時(shí),在得到極值的基礎(chǔ)上,結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a),f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較,從而得到函數(shù)的最值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6B(2)(2022全國乙,理16)已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若x1<x2,則a的取值范圍是__________.

考點(diǎn)四利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題C增分技巧利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟(1)建模:分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系,列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x).(2)求導(dǎo):求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x),解方程f'(x)=0.(3)求最值:比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)處的函數(shù)值的大小,最大(小)者為最大(小)值.(4)結(jié)論:回歸實(shí)際問題作答.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7(2023廣東茂名二模)修建棧道是提升旅游觀光效果的一種常見手段.如圖,某水庫有一個(gè)半徑為1百米的半圓形小島,其圓心為C且直徑MN平行壩面.壩面上點(diǎn)A滿足AC⊥MN,且AC長度為3百米,為便于游客到小島觀光,打算從點(diǎn)A到小島建三段棧道AB,BD與BE,水面上的