2023-2024學(xué)年北京西城區(qū)育才學(xué)校高二（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

2023北京育才學(xué)校高二（上）期中數(shù)學(xué)（120分鐘150滿分）一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題y=?x+21.直線的傾斜角為（）A.45°B.60°C.120°D.135°)b=(?)，則a+b=2.已知向量a3,2，=(?（）A.6B.C.D.143.兩個不同的平面，平面=()=()4,2，則和）的一個法向量為12,1，平面的一個法向量2平面與平面（A.平行B.垂直C.相交D.不能確定D.外切2+y2=1與圓N：x2(?)2+y29，則兩圓的位置關(guān)系是=4.已知圓M：A.相交xB.相離C.內(nèi)切l(wèi)?l?lk?k?k，則（1235.若圖中的直線的斜率分別為）123kkkkkkkkkkkkA.B.C.D.123213231132x2y26.若橢圓+=1上一點P到一個焦點的距離為4，則點P到另一個焦點的距離是（）2516A.1B.2C.4D.6=”是“直線l：+y+2=0與直線l：x+ay+2=0平行”的（）7.“a112A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件4)8.已知半徑為1的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（．A.4B.5且與原點距離最大的直線方程是（C.6D.79.過點）x+2y?5=0x+3y?7=02x+y?4=03x+y?5=0A.C.B.D.10.已知MN是正方體內(nèi)切球（球在正方體內(nèi)且與正方體的六個面都相切）的一條直徑，點P在正方體表面上運(yùn)動，正方體的棱長是2，則PMPN的取值范圍為（）0,41,42A.B.C.D.1,22二、填空題（共5小題，每小題5分，共25+y+2y=1的圓心坐標(biāo)為______，半徑為______．x22圓12.一個橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的離心率為________.x+y?4=0的最小值是___________13.點P在直線上，O為原點，則|l:2x?y=0l:ax+by?3=0a,b的值__________．14.試給出一組試兩條直線與互相垂直的實數(shù)12x2y215.已知M為橢圓+=1上一點，N為橢圓長軸上一點，O為坐標(biāo)原點．給出下列結(jié)論：43①存在點M，N，使得△為等邊三角形；②不存在點M，N，使得△為等邊三角形；③存在點M，N，使得OMN90；=④不存在點M，N，使得OMN90．=其中，所有正確結(jié)論的序號是________________．三、解答題（共6小題，共85(?)、(??)、()．A1,5的頂點坐標(biāo)為B1C4,316.已知（1）求BC邊的中線長；（2）求AB邊的高線所在直線方程．17.求下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：y=?x、M(2,0)N(0,4)（1）圓心在直線上且過兩點的圓的方程；(B(?0)C6)（2）經(jīng)過三點的圓的方程．ABCD?ABCDAA1=2，點P為的中點．1==18.如圖，長方體中，ABAD1，1111BD1//；（1）求證：直線平面（2）求CP與平面BDD1B所成的角大??；的距離．1B1（3）求點到平面x22y221ab0的兩個焦點為=()F1F2⊥FF，點P在橢圓上，且，11219.設(shè)橢圓C：+，CabPF1=3，2=5．（1）求橢圓C的方程；（2）點M在橢圓C上，且△MF1F的面積為23，求點的坐標(biāo)．M2x?8y+12=0，直線l：ax+y+2a0．=20.已知圓C：2+y2（1）當(dāng)a為何值時，直線l與圓C相交；（2）當(dāng)直線l與圓C相交于A、B兩點，且=22時，求直線l的方程21.如圖，在多面體中，梯形ADEF與平行四邊形ABCD所在平面互相垂直，AF//DE，1DE⊥AD，AD⊥BD，AFADBD===DE=1．2（1）求證：DE平面⊥ABCD；（2）求二面角BEFD的余弦值；??（3）判斷線段DE上是否存在點Q，使得直線CQ//平面？若存在，求出的值，若不存在，說明理由．參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題1.【答案】D【分析】根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系進(jìn)行求解即可.y=?x+2【詳解】由可知該直線的斜率為1，所以該直線的傾斜角，故選：D2.【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算求得a+b的坐標(biāo)，根據(jù)模的計算公式，即得答案.，b=(?))a3,2=(?【詳解】由題意知向量，則a+b=(??，a+b=(2+(?2)2+3=14，2故故選：D3.【答案】A的坐標(biāo)，判斷二者共線，即可判斷平面與平面的位置關(guān)系v,v.【分析】根據(jù)12)v=(2)，，2v1=2,1【詳解】由題意知則v=2v，即v,v12共線，則∥，21故選：A4.【答案】C【詳解】分析：求出圓心的距離，與半徑的和差的絕對值比較得出結(jié)論．詳解：圓M0M=1，圓N0，r=3=2=r?r，所以內(nèi)切．故選CM,NNr，，r，則：MN點睛：兩圓的位置關(guān)系判斷如下：設(shè)圓心距為，半徑分別為MNN?M=N?rr?rr+r=N+r，相交；M，內(nèi)含；，內(nèi)切；，MNMNMN+r外切；，外離．M5.【答案】A【分析】由傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.l?l?l,,【詳解】設(shè)直線的傾斜角分別為，123123k=tan,k=tan,k=tan，3則1122301，由圖可知：，2322kkk.3所以12故選：A6.【答案】D【分析】利用橢圓的定義直接求解即可.F1F2PF+PF=10，則由橢圓定義可知，12【詳解】設(shè)橢圓的兩個焦點分別為，不妨設(shè)PF1=4，故2=6．故選：D．7.【答案】Da【分析】先根據(jù)兩直線平行求出，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.+y+2=0與直線llx+ay+2=0：平行，【詳解】因為直線：12所以a2?1=0，解得a=1，經(jīng)檢驗當(dāng)a=1時，兩直線重合，所以a=?1，所以“a=1”是“直線與直線平行”的既不充分也不必要條件.ll21故選：D.8.【答案】A【分析】求出圓心C的軌跡方程后，根據(jù)圓心M到原點O的距離減去半徑1可得答案.【詳解】設(shè)圓心()，則x3(?)Cx,y2+(?)=1，2y4(?)化簡得x32+(?)y4=1，2所以圓心C的軌跡是以M4)為圓心，1為半徑的圓，所以||1||=5，所以|OC5?1=4，=32+42當(dāng)且僅當(dāng)C在線段OM上時取得等號，故選：A.【點睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.9.【答案】A且與OA【分析】首先根據(jù)題意得到過點垂直的直線為所求直線，再求直線方程即可.且與OA垂直的直線.【詳解】由題知：過點且與原點距離最大的直線為過點1?=?(?)x1，即x+2y?5=0.k=2y2因為，故所求直線為2故選：A【點睛】本題主要考查直線方程的求解，數(shù)形結(jié)合為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.10.【答案】C【分析】確定正方體內(nèi)切球半徑，根據(jù)空間向量的運(yùn)算化簡PMPN為|PO|1，結(jié)合題意得|PO|的取2值范圍，即可得答案.【詳解】由題意設(shè)正方體中心為O，即為正方體內(nèi)切球球心，則O為MN的中點，因為正方體的棱長是，故，MN=22則內(nèi)切球半徑為1；()()PMPN=PO+OMPO+ON則()()=PO+PO?||?|||PO|1，由于點P在正方體表面上運(yùn)動，故|PO=2+2+2=3,|PO|=1，2即當(dāng)P位于正方體頂點時取得最大值，位于內(nèi)切球與正方體的切點處時取最小值，則|PO|12]，即PMPN的取值范圍為故選：C，2二、填空題（共5小題，每小題5分，共25(0,?【答案】①..2【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得答案.x2+y2+2y=1即圓x，半徑為2，；22+(y+=2，2【詳解】由題意知圓(0,?故該圓的圓心為(0,?故答案為：12.【答案】【分析】32ba2根據(jù)已知可知：a=b，再代入離心率公式e【詳解】由題知：2a=2b，即a=b.=?即可.12ca2?b2ba22143e===1?=1?=.aa223故答案為：2【點睛】本題主要考查離心率的求法，根據(jù)題意找到關(guān)系式為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.13.【答案】x+y?4=0【詳解】解：因為點P在直線上，則點P到原點距離的最小值即為原點到直線的距離公式可知為a=b=2（滿足b=2aa,b的值均符合）14.【答案】且不為零的實數(shù)a,ba,b的值即可.【分析】由直線相互垂直可得滿足的等式關(guān)系，求符合條件的一組l:2x?y=0l:ax+by?3=0互相垂直【詳解】解：兩條直線與122a+(?b=0，即b=2aa=b=2（滿足b=2a則有a,b的值均符合）故答案為：且不為零的實數(shù)15.【答案】①④()Ma,aN2≤2判斷正誤；③④假設(shè)【分析】①②設(shè)，根據(jù)M在橢圓上求參數(shù)a，由在長軸上有()、N(,0)存在，利用垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示及M在橢圓上得到一元二次方程，由方程求參數(shù)Mx,y00m，結(jié)合?2m2.確定存在性()a=25(N2a,0)2a=452，由且．故①對，②錯；Ma,a【詳解】設(shè)代入橢圓方程得55Mx,yN,0OMN=90成立，令()，0()且?2m2，若0則(x,ym?x,?y=0)()，整理得0?0?y0=)．220000x2y2()在橢圓()()整理得：=()122上，聯(lián)立Mx,y+2x?0+=，40120又0043043x0m=+易知因為，則，00x?2,02)，所以m()((?)(+),2，故③錯，④對．0故答案為：①④三、解答題（共6小題，共8516.1）25x+6y?22=0（2））根據(jù)中線的定義，結(jié)合中點坐標(biāo)公式和兩點間距離公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)互相垂直直線的斜率關(guān)系，結(jié)合直線點斜式方程進(jìn)行求解即可.【小問1設(shè)BC邊的中點為D，因為(B1C3)，)、(2+41+3()，D1,所以點D的坐標(biāo)為，即22=(+)112+(?)=25152所以BC邊的中線長AD【小問21?52+116k==6AB?邊的高線所在直線的斜率為因為，所以，1因此AB邊的高線所在直線方程為y3?=?(?)+x4x6y22=0.?6(?)17.1）x32+(+)y3=102(+)（2）x42+(?)y3=252）根據(jù)M，N兩點和圓坐標(biāo)關(guān)系代入圓的方程，求解未知數(shù)即可；（2）將A,B,C三點坐標(biāo)代入圓方程求解未知數(shù)即可；【小問1x2+y2+++F=0，DE設(shè)圓的一般方程為?,?其中D2+E2+4F,0圓心坐標(biāo)為,22y=?xM(2,0)N(0,4)、因為圓心在直線上且過兩點，ED?=222+2D+F=02所以解得，?4)?4E+F=02D=?6E=6，F(xiàn)=8x2+y?6x+6y+8=0，2所以圓的一般方程為(?)所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x32+(+)y3=10；2【小問2x2+y+++F=0，2設(shè)圓的一般方程為其中D2+E2+4F0,(B(?0)C6)因為經(jīng)過三點，22?)?)??1+1DE+F=08D+F=0+6E+F=0所以()?8?2，62D=8E=?6F=0解得，x2+y+8x?6y=0，2所以圓的一般方程為(+)所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x42y3=25；+(?)218.1）證明過程見解析π（2）6（3）3）利用三角形中位線定理，給合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合線面角定義進(jìn)行求解即可；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間點到面距離公式進(jìn)行求解即可.【小問1是，，顯然OBD中點，連接OP設(shè)因為點P為的中點，1BD1//1，平面，所以，而平面BD1//；所以直線平面【小問2因為ABAD1，所以矩形ABCD是正方形，因此AC⊥BD，ABCD，AC==DD1⊥又因為平面平面ABCD，1⊥DD1=D,DD1,BDD1B平面，1所以，而所以⊥平面所以CPO是CP與平面AA1=2BDD1B，1BDD1B所成的角，1因為ABAD1，==，點P為的中點．11212所以CP=12+2=2，CO=AC=12+21=，222在直角三角形中，sinCPO=CO12π，22==CPO=6π所以CP與平面【小問3BDD1B所成的角大小為1；6建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，()()()()，P0,1,A1,0,0,C0,B21n=(x,y,z)，設(shè)平面的法向量為1,1=(?)=(?)，nz=0n=1)，(則有n?z=0)，AB=(21B1+12B1d=ABAB,n==3.點到平面的距離11n12+1+122x2y2+=119.1）（2）23,3)(或23,?3)23,3)或23,?3或)）根據(jù)橢圓定義，結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【小問1因為點P在橢圓C上，PF+PF=3+5=2aa=4所以因為，12⊥FF，12PF1=3，2=5．12+2=2=25?9=16=42c=4c=2，所以PF12212121x2y2所以b2=a2?c2=，即橢圓C的方程為+=1；【小問2()Mx，因為△MF1F設(shè)的面積為23，002121FFy=234y=23y=3所以，210002因為點M在橢圓C上，x203+=10=120=23，2所以1612所以點M的坐標(biāo)為23,3)(或23,?3)23,3)或23,?3).或34a?,?20.1）x?y+2=0或7x?y+14=0（2））先求出圓心及半徑，再根據(jù)直線l與圓C相交可得圓心到直線l的距離小于半徑，即可得解；（2）根據(jù)圓的弦長及弦長公式求出圓心到直線l的距離，進(jìn)而可得出答案.【小問1x2+y2?8y+12=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得x2+(y?4)2=4，將圓C()C0,4r=2則圓心，半徑，當(dāng)直線l與圓C相交時，4+2a3()C0,4a?2圓心到直線l的距離，解得，2a+1434a?,?時，直線l與圓C所以當(dāng)相交；【小問2()到直線l的距離為dC0,4設(shè)圓心，AB=2r2?d2，即2=?2，解得d=2，則224da=?7，4+2ad