北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專(zhuān)題4.1 成比例線(xiàn)段【七大題型】（舉一反三）（學(xué)生版）

專(zhuān)題4.1成比例線(xiàn)段【七大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1成比例線(xiàn)段的概念】 1【題型2成比例線(xiàn)段的應(yīng)用】 2【題型3比例的證明】 3【題型4利用比例的性質(zhì)求比值】 4【題型5利用比例的性質(zhì)求參】 4【題型6比例的性質(zhì)在閱讀理解中的運(yùn)用】 5【題型7黃金分割】 6【知識(shí)點(diǎn)1成比例線(xiàn)段的概念】1．比例的項(xiàng)：在比例式（即）中，a，d稱(chēng)為比例外項(xiàng)，b，c稱(chēng)為比例內(nèi)項(xiàng)．特別地，在比例式（即）中，b稱(chēng)為a，c的比例中項(xiàng)，滿(mǎn)足．2．成比例線(xiàn)段：四條線(xiàn)段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么這四條線(xiàn)段a，b，c，d叫做成比例線(xiàn)段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段．【題型1成比例線(xiàn)段的概念】【例1】（2023秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）不能與2，4，6組成比例式的數(shù)是（）A．43 B．3 C．8 【變式1-1】（2023秋?義烏市月考）已知線(xiàn)段a＝2，b＝6，則它們的比例中項(xiàng)線(xiàn)段為23．【變式1-2】（2023秋?道里區(qū)期末）如圖，用圖中的數(shù)據(jù)不能組成的比例是（）A．2：4＝1.5：3 B．3：1.5＝4：2 C．2：3＝1.5：4 D．1.5：2＝3：4【變式1-3】（2023秋?八步區(qū)期中）如圖所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．則線(xiàn)段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例線(xiàn)段嗎？【題型2成比例線(xiàn)段的應(yīng)用】【例2】（2023秋?渭濱區(qū)期末）已知△ABC的三邊分別為a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，試判斷△ABC的形狀．【變式2-1】（2023秋?青羊區(qū)校級(jí)月考）甲、乙兩地的實(shí)際距離是400千米，在比例尺為1：500000的地圖上，甲乙兩地的距離是（）A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．【變式2-2】（2023秋?杜爾伯特縣期末）一個(gè)班有30名學(xué)生，男、女生人數(shù)的比可能是（）A．3：2 B．1：3 C．4：5 D．3：1【變式2-3】（2023?臺(tái)灣）某校每位學(xué)生上、下學(xué)期各選擇一個(gè)社團(tuán)，下表為該校學(xué)生上、下學(xué)期各社團(tuán)的人數(shù)比例．若該校上、下學(xué)期的學(xué)生人數(shù)不變，相較于上學(xué)期，下學(xué)期各社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)變化，下列敘述何者正確？（）舞蹈社溜冰社魔術(shù)社上學(xué)期345下學(xué)期432A．舞蹈社不變，溜冰社減少 B．舞蹈社不變，溜冰社不變 C．舞蹈社增加，溜冰社減少 D．舞蹈社增加，溜冰社不變【知識(shí)點(diǎn)2比例的性質(zhì)】比例的性質(zhì)示例剖析（1）基本性質(zhì)：（2）反比性質(zhì)：（3）更比性質(zhì)：或或（4）合比性質(zhì)：（5）分比性質(zhì)：（6）合分比性質(zhì)：（7）等比性質(zhì)：已知，則當(dāng)時(shí)，.【題型3比例的證明】【例3】（2023秋?汝州市校級(jí)月考）已知線(xiàn)段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=c【變式3-1】（2023春?江陰市期中）如圖，點(diǎn)B，C在線(xiàn)段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求證：1AB【變式3-2】（2023秋?秦都區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，點(diǎn)O為三角形ABC內(nèi)部的任意一點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D．證明：（1）S△ABOS△BOD【變式3-3】（2023秋?岳陽(yáng)縣期中）若a，b，c，d是非零實(shí)數(shù)且ab=c【題型4利用比例的性質(zhì)求比值】【例4】（2023秋?炎陵縣期末）已知2b3a?b=34【變式4-1】（2023春?霍邱縣期末）若a?ba=3A．25 B．14 C．?2【變式4-2】（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）若ab=cd=ef=13且A．16 B．13 C．12【變式4-3】（2023春?棲霞市期末）下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A．若a4=cB．若a?bb=1C．若ab=cd=23（D．若ab=34，則【題型5利用比例的性質(zhì)求參】【例5】（2023秋?蜀山區(qū)校級(jí)期中）已知：y+zx=x+zy=x+y【變式5-1】（2023秋?灌云縣期末）已知x3=y5，且x+A．15 B．9 C．5 D．3【變式5-2】（2023秋?高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y【變式5-3】（2023?雨城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）我們知道：若ab=cd，且b+d（1）若b+d＝0，那么a、c滿(mǎn)足什么關(guān)系？（2）若b+ca=a+cb=a+bc【題型6比例的性質(zhì)在閱讀理解中的運(yùn)用】【例6】（2023秋?渝中區(qū)期末）閱讀理解：已知：a，b，c，d都是不為0的數(shù)，且ab=c證明：∵ab∴ab+1∴a+bb根據(jù)以上方法，解答下列問(wèn)題：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【變式6-1】閱讀材料：已知x3=y解：設(shè)x3=y4=z6=k（k≠0），則x＝3k，∴x+y?zx?y+z（1）回答下列問(wèn)題：①第一步運(yùn)用了的基本性質(zhì)，②第二步的解題過(guò)程運(yùn)用了的方法，由k5k得15利用了（2）模仿材料解題：已知x：y：z＝2：3：4，求x+y+zx?2y+3z【變式6-2】（2023秋?椒江區(qū)校級(jí)月考）閱讀下列解題過(guò)程，然后解題：題目：已知xa?b=yb?c=zc?a（a、b、c解：設(shè)xa?b=yb?c=zc?a=k，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k?0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列問(wèn)題：a，b，c為非零實(shí)數(shù)，且a+b+c≠0，當(dāng)a+b?cc=a?b+c【變式6-3】（2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）閱讀下面的解題過(guò)程，然后解題：題目：已知xa?b=yb?c=zc?a（a、b、c解：設(shè)xa?b=yb?c=zc?a=k，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c依照上述方法解答下列問(wèn)題：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x+【知識(shí)點(diǎn)3黃金分割】如圖，若線(xiàn)段AB上一點(diǎn)C，把線(xiàn)段AB分成兩條線(xiàn)段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即），則稱(chēng)線(xiàn)段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對(duì)于線(xiàn)段AB而言，黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．）【題型7黃金分割】【例7】（2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)R是正方形ABCD的AB邊上線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，且AR＞RB，S1表示以AR為邊長(zhǎng)的正方形面積；S2表示以BC為長(zhǎng)，BR為寬的矩形的面積，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面積，則S1：S2的值為．【變式7-1】（2023秋?楊浦區(qū)期末）已知點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上的一點(diǎn)，線(xiàn)段AP是PB和AB的比例中項(xiàng)，下列結(jié)論中，正確的是（）A．PBAP=5+12 B．PBAB【變式7-2】（2023秋?江都區(qū)校級(jí)月考）已知，點(diǎn)D是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，若AD＞BD．（1）若AB＝10cm，則AD＝；（2）如圖，請(qǐng)用尺規(guī)作出以AB為腰的黃金三角形ABC；（3）證明你畫(huà)出的三角形是黃金三角形．面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/9/1522:55:34；用戶(hù)：小不1825600716號(hào)：20699374【變式7-3】（2023春?兗州區(qū)期末）再讀教材：寬與長(zhǎng)的比是5?12（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱(chēng)的美感，世界各國(guó)許多著名的建筑，為取得最佳的視覺(jué)效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)，下面，我們用寬為2的矩形紙片折疊黃金矩形．（提示：第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平．第二步，如圖②，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等