2022年全國統(tǒng)一高考沖刺新課標(biāo)Ⅲ數(shù)學(xué)沖刺(文科)

2020年全國統(tǒng)一高考新課標(biāo)m數(shù)學(xué)試卷（文科）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={xI3<x<15},則4B中元素的個(gè)數(shù)

為（）

A.2B.3C.4D.5

2.（5分）若z11+i）=1—i,則z=（）

A.1—iB.1+iC.—iD.i

3.（5分）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x,x,,x的方差為，則數(shù)據(jù)10x,10x,…，10x的方

12n12n

差為（）

A.B.C.1D.10

4.（5分）Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)

據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)l（t）（t的單位：天）的Logistic模型：

I⑴=--------------;其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)I（t*）=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，

1+e-023（t-53）

則t*約為（川n19必3）

A.60B.63C.66D.69

5.(5分)已知sin9+sin(9+則sin(9號(hào))=()

12c相

A.-B.亞c3D-T

23

6.（5分）在平面內(nèi)，A,B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn).若AC6C*=1,則點(diǎn)C的軌跡為（

)

A.圓B.橢圓C.拋物線D.直線

7.（5分）設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn),直線x=2與拋物線C:y2=2px（p>0）交于D,E兩點(diǎn)，若

ODJ0E,則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A?d，0)B.g°)C.(1,0)D.(2,0)

4

8.（5分）點(diǎn)（0,—1）到直線y=k（x+1）距離的最大值為（）

A.1B.?2C.V-3D.2

9.（5分）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

A.6+4~2B.4+揚(yáng)C.6+宓D.4+瓶

10.（5分）設(shè)a=log2,b=log3,c=2,則（

353

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

2

11.（5分）在編ABC中,cosC二一，AC=4,BC=3,則tanB=（

3）

A.45B.，5C.儒D.8/5

12.（5分）已知函數(shù)￡（刈=§!1*+」-,則（）

sinx

A.f（x）的最小值為2

B.f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

C.f（x）的圖象關(guān)于直線*=幾對(duì)稱

D.f（x）的圖象關(guān)于直線x=?對(duì)稱

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

（|X+疹0,

13.（5分）若x,y滿足約束條件（2/-吊,則z=3x+2y的最大值為

嶼.

14.（5分）設(shè)雙曲線C:二丫21（a>0,b>0）的一條漸近線為y=揚(yáng)，則C的離心率

3.2b2

為一.

15.（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=e、，若f,（1）='則2=___

x+a4

16.（5分）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為一.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.（12分）設(shè)等比數(shù)列｛a｝滿足a+a=4,a-a=8.

n1231

（1）求｛a｝的通項(xiàng)公式；

n

（2）記S為數(shù)列｛loga｝的前n項(xiàng)和.若S+S==S，求m.

n3nmm+1m+3

18.（12分）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園

鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：

鍛煉人次[0,200](200,400](400,600]

空氣質(zhì)量等級(jí)

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率;

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為

代表）;

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為

3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)

表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

人次（00人次〉400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

附：d）

P(K^k)

k

19.（12分）如圖，在長方體ABCD-ABCD中，點(diǎn)E,F分別在棱DD,BB上，且

111111

2DE=ED,BF=2FB.證明:

11

(1)當(dāng)AB=BC時(shí)，EFJAC；

20.(12分)已知函數(shù)f(x)=X3-kx+k2.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，求k的取值范圍.

21.(12分)已知橢圓CJ1(0<m<5)的離心率城I5,A,B分別為C的左、右

25m24

頂點(diǎn).

(1)求C的方程；

⑵若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x=6上，且|BP|=|BQ|,BPJBQ,求編APQ的面積.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的

第一題計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與的方程］(10分)

22.(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為『二；為參數(shù)且t±1).C

與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn).

⑴求IAB|；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線AB的極坐標(biāo)方程.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.設(shè)a,b,c=R,a+b+c=0,abc=1.

(1)證明：ab+be+ca<0；

(2)用max｛a,b,c｝表示a,b,c中的最大值，證明：max(a,b,c｝對(duì)黑.

2020年全國統(tǒng)一高考新課標(biāo)m數(shù)學(xué)試卷（文科）

參考答案與解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合人={1,2,3,5,7,11},B={x|3<xv15},則0|B中元素的個(gè)數(shù)

為（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】求出集合A,B,由此能求出OB,進(jìn)而能求出門B中元素的個(gè)數(shù).

【解答】解：,集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15）,

：咽8={5,7,11},

:哨B中元素的個(gè)數(shù)為3.

故選：B.

2.（5分）若zI1+i）=1—i,則z=（）

A.1—iB.1+iC.—iD.i

【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，然后利用共掘復(fù)數(shù)的概念得

答案.

【解答】解：由zp+i）=1-i,得2=匕1=（1-'）2二T,

1+i（1+i）（1—i）

:z=i.

故選：D.

3.（5分）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x,x,…，x的方差為，則數(shù)據(jù)10x,10x..........10x的方

12n12n

差為（）

A.B.C.1D.10

【分析】根據(jù)任何一組數(shù)據(jù)同時(shí)擴(kuò)大幾倍方差將變?yōu)槠椒奖对鲩L，求出新數(shù)據(jù)的方差即可.

【解答】解：?.■樣本數(shù)據(jù)x,x..........x的方差為，

12n

:根據(jù)任何一組數(shù)據(jù)同時(shí)擴(kuò)大兒倍方差將變?yōu)槠椒奖对鲩L，

:數(shù)據(jù)10x,10x,...,10x的方差為:100x0.01=1,

12n

故選：C.

4.(5分)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)

據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)l(t)(t的單位：天)的Logistic模型：

l(t)=-------------;其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)I(t*)=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，

1+e-023(t-53)

則t?約為()(ln19?3)

A.60B.63C.66D.69

【分析】根據(jù)所給材料的公式列出方程——-一=0.95K,解出t即可.

1+?-023(1-53)

K[

【解答】解：由已知可得--------="0.95K,解得e-o.23(t-53)=一,

1+e—0.23(t—53)19

兩邊取對(duì)數(shù)有一0.23(t—53)=—In19,

解得166,

故選：C.

5.(5分)已知sin9+sin(9+—)=1,則sin(9+—)=()

36

【分析】利用兩角和差的三角公式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用輔助角公式進(jìn)行化簡即可.

n

【解答】解：sin9+sin(9+—)=1,

14

:sin9+—sin9+—cos9=1

22

+與9=3

即

得n9)=1,

即J3sin(9+—)=1,

6

n

得sin(9+_)=35_

63

故選：B.

6.(5分)在平面內(nèi)，A,B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn).若而反？1,則點(diǎn)C的軌跡為(

)

A.圓B.橢圓C.拋物線D.直線

【分析】設(shè)出A、B、C的坐標(biāo)，利用已知條件，轉(zhuǎn)化求解C的軌跡方程，推出結(jié)果即可.

【解答】解：在平面內(nèi)，A,B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn),

不妨設(shè)A(—a,0),B(a,O),設(shè)C(x,y),

因?yàn)橛浱?hào)=1,

所以(x+a,yXx—a,y)=1,

解得X2+y2=32+1,

所以點(diǎn)C的軌跡為圓.

故選：A.

7.(5分)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線C:y2=2px(p>0)交于D,E兩點(diǎn)，若

ODJOE,則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.4，0)B.g,0)C.(1,0)D.(2,0)

【分析】法一：利用已知條件轉(zhuǎn)化求解E、D坐標(biāo)，通過kk?=-1,求解拋物線方程，

ODOE

即可得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).

法二：畫出圖形，求出D的坐標(biāo)，代入拋物線方程，然后求解即可.

【解答】解：法一：將x=2代入拋物線y2=2px,可得y=±2J-OD」OE,可得

kk=——1,

ODOE

即④—1,解得p=1,

22

所以拋物線方程為：y2=2x,它的焦點(diǎn)坐標(biāo)(L0).

2

故選：B.

法二：易知,

可得4=4p,

故選：B.

8.（5分）點(diǎn)（0,-1）到直線y=k（x+1）距離的最大值為（

。

A.1B.C.<3D.2

【分析】直接代入點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合基本不等式即可求解結(jié)論.

|1+k|

【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)（0,—1）到直線y=k（x+1）距離d=

要求距離的最大值，故需k>0：

可得d當(dāng)k=1時(shí)等號(hào)成立;

故選：B.

9.（5分）如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

A.6+CB.4+W2C.6+a/3D.4+2^

【分析】先由三視圖畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù),利用三棱錐的表面積公式計(jì)

算即可.

【解答】解：由三視圖可知，幾何體的直觀圖是正方體的一個(gè)角，如圖:

PA=AB=AC=2,PA、AB、AC兩兩垂直，

故PB=BC=PC=壺，

兒何體的表面積為：3乂」x2x2+退（2媒=6+V，

24

10.（5分）設(shè)a=log2,b=log3,c=2,則（）

353

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.

【解答】解：a=log2=log48<log6=最，

3333

b=log3=log^27>log^25'=—,

5553

2

c——，

3

:a<c<b.

故選：A.

11.（5分）在AABC中，cosC=2,AC=4,BC=3,則tanB=（）

3

A.『5B.石5。.aD.8^5

【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanC的值，利用余弦定理可求AB的值，

可得A=C,利用三角形的內(nèi)角和定理可求8=幾一2(：,利用誘導(dǎo)公式，二倍角的正切函數(shù)

公式即可求解tanB的值.

2

【解答】解：cosC=—?AC=4,BC=3,

:AB=/C2+BC2—2ACBCGOSC=&-2x4x3x—3f可得A=C,

:B二幾一2C,

2病

-2x----

則tanB=tan（幾一2C）=-tan2C=tan-2

1—tan2c〔_亙

4

故選：C.

12.(5分)已知函數(shù)f(x)=sinx+—L貝!J()

sinx

A.f(x)的最小值為2

B.f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

C.f(x)的圖象關(guān)于直線*=幾對(duì)稱

D.f(x)的圖象關(guān)于直線*=匹對(duì)稱

2

【分析】設(shè)sinx=t,則y=f(x)=t-"1,t=[_1,1],由雙勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得，92

t

或長_2,故可判斷A；根據(jù)奇偶性定義可以判斷B正誤；根據(jù)對(duì)稱性的定義可以判斷C,

D的正誤.

【解答】解：由sinx豐0可得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x豐k爪，k=Z},故定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

設(shè)sinx=t，則y=f(x)=t4-1,t=[_1,1],由雙勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)得，少2或太_2,

t

故A錯(cuò)誤；

又有f(_x)=sin(_x)+—3—=_(sinx-L—L)=_f(x),故f(x)是奇函數(shù)，且定義域關(guān)于原

sin(_x)sinx

點(diǎn)對(duì)稱，故圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱；故B錯(cuò)誤；

f(/IX+x)=sin(JR+x)-+—-=_sinx_—；

sm(J|k+x)sinx

f(爪_x)=sin(爪_x)+--------=sinx+」—，故f(爪+x)豐f(爪_x),f(x)的圖象不關(guān)于

sin(爪_x)sinx

直線x二爪對(duì)稱，C錯(cuò)誤；

又f(爪Tx)=sin(-+X)H--r-----COSX-I""—;

22的(瓜+x)cosx

f(-_x)=sin(__x)+---1匚cosx+——,故f(小+x)=f(小x),定義域?yàn)?/p>

22sin(^_x)cosx22

{x|x豐加，k=Z},f(x)的圖象關(guān)于直線x=?對(duì)稱；D正確;

故選：D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

(|X+疹0,

13.(5分)若x,y滿足約束條件(2x-，0,則z=3x+2y的最大值.

161,

【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=3x+2y表示直線在y軸

上的截距的一半，只需求出可行域內(nèi)直線在y軸上的截距最大值即可.

(X=1

【解答】解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，由〈解得A(1,2),

I2x_y=0

如圖，當(dāng)直線z=3x+2y過點(diǎn)A(1,2)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)在y軸上的截距取得最大值時(shí)，止匕時(shí)z取

得最大值，

即當(dāng)x=1,y=2時(shí)，z=3〉1+2〉2=7.

max

故答案為：7.

14.(5分)設(shè)雙曲線C:Xl_y2^=-1(a>0,b>0)的一條漸近線為y=&,貝UC的離心率為

【分析】由雙曲線的方程求出漸近線的方程，再由題意求出a,b的關(guān)系，再由離心率的公

式及a,b,c之間的關(guān)系求出雙曲線的離心率.

【解答】解：由雙曲線的方程可得漸近線的方程為：y=±2x,

a

由題意可得2=所以離心率e=-=J+色=木,

aaias

故答案為：，后.

15.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)=&，若f,⑴=e一則a=1.

x+a4

【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)f(1)=+求得a的值.

4

【解答】解：v函數(shù)f(x)=ex,:f(x)=(x+afex,

x+a(x+a)2

若(1)=一?一=，：—?——=1—,則a=1,

(a+1)24(a+1)24

故答案為：1.

16.(5分)己知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為

2幾一

【分析】由條件易知該圓錐內(nèi)半徑最大的球?yàn)樵搱A錐的內(nèi)接球，作圖，數(shù)形結(jié)合即可.

【解答】解：當(dāng)球?yàn)樵搱A錐內(nèi)切球時(shí)，半徑最大,

如圖：BS=3.BC=1,則圓錐高SC-BS2-BC2=詆,

設(shè)內(nèi)切球與圓錐相切于點(diǎn)D,半徑為r,則ASODSASBC,

故有空=_2￡，即,沖-「=-,解得r=立，

BSBC312

所以該球的表面積為4nr2=2n.

故答案為：2JI.

三解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.（12分）設(shè)等比數(shù)列｛a｝滿足a+a=4,a-a=8.

n1231

（1）求｛a｝的通項(xiàng)公式；

n

（2）記S為數(shù)列｛loga｝的前n項(xiàng)和.若S+S==S，求m.

n3nmm+1m+3

（a+aq=4

【分析】（1）設(shè)其公比為q,則由已知可得〈，解得a=1,q=3,可求其通項(xiàng)

[a^-a=8，

公式.

（2）由（1）可得loga=n-1,是一個(gè)以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，可求S=n（n"）,

3nn2

由已知可得-----+組21二（陰+3）（用+2）,進(jìn)而解得m的值.

222

（a+aq=4

【解答】解：（1）設(shè)公比為q,則由〈/1。，

la^-a=8

可得a=1,q=3,

所以a=3n-i.

（2）由（1）有l(wèi)oga=n一1,是一個(gè)以。為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

3n

所以S二吧二°,

n2

所以叫0+如加二處土細(xì)14,m2-5m-6=0,

222

解得m=6,或m=-1（舍去），

所以m=6.

18.（12分）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園

鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：

鍛煉人次[0,200](200,400](400,600]

空氣質(zhì)量等級(jí)

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率;

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為

代表）;

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”：若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為

3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)

表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

人次&00人次〉400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K^k)

k

【分析】(1)用頻率估計(jì)概率，從而得到估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概

(2)采用頻率分布直方圖估計(jì)樣本平均值的方法可得到答案;

________4(〃一乩)2________

(3)由公式K2計(jì)算k的值，從而查表即可,

(。+b)(c++c)(b+4)

【解答】解：(1)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1的概率為：2+16+2^_43.

100100

5+10+1227

該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為2的概率為:

ioo--lob

該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3的概率為:6+7+8.21.

-ioo~-W0：

7+2+09

該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為4的概率為:

ioo--7od:

(2)由題意可得：一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為:

x=100x0.20+300x0.35+500x0.45=350；

(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得下面的2x2列聯(lián)表,

人次e00人次〉400總計(jì)

空氣質(zhì)量好333770

空氣質(zhì)量不好22830

總計(jì)5545100

由表中數(shù)據(jù)可得：K2=n(ad—bc)2100X(33X8—37x22)以5.820>3.841,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)70x30x55x45

所以有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).

19.(12分)如圖，在長方體ABCD—ABCD中，點(diǎn)E,F分別在棱DD,BB上，且

111111

2DE=ED,BF=2FB.證明：

11

(1)當(dāng)AB=BC時(shí)，EFJAC；

(2)點(diǎn)C在平面AEF內(nèi).

【分析】(1)因?yàn)锳BCD-ABCD是長方體,且AB=BC，可得ACJ平面BBDD,因?yàn)?/p>

111111

EFC：平面BBDD,所以EFjAC.

11

(2)取AA上靠近A的三等分點(diǎn)M,連接DM,CF,MF.根據(jù)已知條件可得四邊形

111

AEDM為平行四邊形，得DM//AE,再推得四邊形CDMF為平行四邊形，所以

1111

DM//CF,根據(jù)直線平行的性質(zhì)可得AE//CF,所以A,E,F,C四點(diǎn)共面，即點(diǎn)C

11111

在平面AEF內(nèi).

【解答】解：(1)因?yàn)锳BCD-ABCD是長方體，所以BBJ平面ABCD,而AC仁平面

11111

ABCD,所以AC]BB,

1

因?yàn)锳BCD-ABCD是長方體，且AB=BC,所以ABCD是正方形，所以AC」BD,又

1111

BDQBB〔=B.

所以AC」平面BBDD,又因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別在棱DD,BB上，所以EF仁平面BBDD,

111111

所以EFJAC.

(2)取AA上靠近A的三等分點(diǎn)M,連接DM,CF,MF.

1111

因?yàn)辄c(diǎn)E在DD,且2DE=ED,所以ED//AM,且ED=AM,

11

所以四邊形AEDM為平行四邊形，所以DM//AE,且DM=AE,

111

又因?yàn)镕在BB上，且BF=2FB,所以AM//FB,且AM=FB,

111111

所以ABFM為平行四邊形,

11

所以FM//AB,FM=AB,即FM//CD,FM=CD,

11111111

所以CDMF為平行四邊形，

11

所以DM//CF,

11

所以AE//CF,所以A,E,F,C四點(diǎn)共面.

11

所以點(diǎn)C在平面AEF內(nèi).

1

20.(12分)己知函數(shù)f(x)=xa-kx+k2.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，求k的取值范圍.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，得到關(guān)于k的不等式組，解出即可.

【解答】解：(1)f(x)=X3-kx+k2.f*(x)=3x2-k,

k④時(shí)，f，(x)N，f(x)在R遞增,

+oo)遞增,

綜上，/0時(shí)，f(x)在R遞增,

k>0時(shí),+w)遞增;

2)由⑴得：k>。，

若f(x)有三個(gè)零點(diǎn),

k>0

只需〈4p)vO,解得：0<k<d,

in-G>°

4

故k=(匚).

27

21.12分)已知橢圓C:絲+匕=1(0<m<5)的離心率為03,A,B分別為C的左、右

25m24

頂點(diǎn).

1)求C的方程;

2)若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x=6上，且|BP|=|BQ|,BPjBQ,求編APQ的面積.

【分析】1)根據(jù)e=Jaz=25,b2=m2,代入計(jì)算m2的值，求出C的方程即可；

a

2)法一：設(shè)出P,Q的坐標(biāo)，得到關(guān)于s,t,n的方程組，求出AP(8,1),AQ(11,2),

從而求出編APQ的面積.法二：畫出橢圓的圖象，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象求出編APQ的面

積即可.

【解答】解：1)由e=上得e2=1-匕即11=1-%,:m2=紀(jì)，

aa2162516

故C的方程是：盤+嚶=1；

2525

2)代數(shù)方法：

由⑴A(-5,0),設(shè)P(s,t)，點(diǎn)Q(6,n),

根據(jù)對(duì)稱性，只需考慮n>0的情況，

,5

此時(shí)-5<s<5,0<t<-,

|BP|=|BQ|,:有（s-5）2+t2=m+1①,

又BPJBQ,:s-5+nt=0②,

又套緊③，

.=3(|S=-3

聯(lián)跡@酬(t=i或Ji,

，=|Lt=st

ds=3

當(dāng)(r=l時(shí),則P(3,1),Q(6,2),而A(-5,0),

IIn=2

則(法一)AP^(8,1),AQ>=(11,2),

:S=1J\P2AQ2-(APAQ)2=118根2-11根11=

編APQ2、22

(s=-3

同理可得當(dāng)lt=1時(shí),5

S=一,