內(nèi)蒙古赤峰市紅山區(qū)赤峰第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考試數(shù)學(xué)試題

赤峰四中2023-2024學(xué)年第一學(xué)期月考試卷高二數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的）1.與直線平行且過點(diǎn)的直線方程是（）A. B. C. D.2.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.3.已知圓，圓，則與的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切 C.相離 D.無法判斷4.雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則雙曲線方程是（）A. B. C. D.5.橢圓與直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（）A. B. C. D.6.三棱錐，平面，，且，則三棱錐的外接球表面積是（）A. B. C. D.7.若橢圓上存在三點(diǎn)，使得這三點(diǎn)與橢圓中心恰好是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓離心率（）A. B. C. D.8.已知點(diǎn)，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線右支上，且滿足，，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.若直線與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值可能是（）A.0 B.1 C.2 D.310.方程，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓B.當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線C.當(dāng)時(shí)，方程表示圓D.當(dāng)或時(shí)，方程表示雙曲線11.已知正方體，且棱長(zhǎng)為1，下列結(jié)論中正確的是（）A.直線與直線所成角為90°B.直線垂直于平面C.點(diǎn)到平面的距離為D.為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為112.已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，的斜率分別為和，則下列敘述正確的是（）A.是定值 B.是定值C.是定值 D.是定值三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.兩直線，若的傾斜角是30°，則的斜率是___________.14.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，又知點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)，則_____________.15.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，且，則橢圓的方程為__________，若在第一象限且，則的面積為___________.16.已知橢圓過點(diǎn)，為其左頂點(diǎn)，且的斜率為，若為橢圓上任意一點(diǎn)，求的面積的最大值____________.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（10分）在中，（1）求角的大?。唬?）若，求周長(zhǎng)的最大值.18.（12分）已知點(diǎn)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的滿足.（1）若點(diǎn)的軌跡為曲線，求此曲線的方程；（2）過點(diǎn)向曲線做切線，求切線方程.19.（12分）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，，、、分別是、、的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求二面角的正弦值.20.（12分）已知雙曲線過點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若點(diǎn)在雙曲線上，，為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且，試判斷的形狀.21.（12分）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)..（1）證明：平面（2）求直線與平面所成角的正弦值.22.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，軸，且過，兩點(diǎn).（1）求的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，過且平行于軸的直線與線段交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足證明：直線過定點(diǎn).

赤峰四中2023-2024學(xué)年第一學(xué)期第二次月考答案一、單項(xiàng)選擇題：1.C2.D3.A4.B5.B6.A7.C8.D二、多項(xiàng)選擇題：9.ABCD10.BCD11.AB12.ABD三、填空題：13. 14.8 15. 16.18四、解答題：17.（1）120° （2）解析：（1）由正弦定理和已知條件得.①由余弦定理得.②由①②得.因?yàn)?，所?（2）由正弦定理及（1）得，從而，.故.又，所以當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)取得最大值.18.（1） （2）或19.解：（1）證明：如圖，連接，.因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，且.又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.由題設(shè)知，可得，故，因此四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）由已知可得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.設(shè)為平面的法向量，則，所以，可取.設(shè)為平面的法向量，則，所以，可取.于是，，所以二面角的正弦值為.20.解：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)在軸上，且，故設(shè)雙曲線的方程為（，），則有，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，則有，又，故解得，.又，因此在中，邊最長(zhǎng)，因?yàn)?所以為鈍角，故為鈍角三角形.21.解：（1）設(shè)，由題設(shè)可得，，，.因此，從而.又，故.又，，平面，所以平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題設(shè)可得，，，.所以，.設(shè)是平面的法向量，則，即可取.由（1）知是平面的一個(gè)法向量，直線與平面所成角的正弦值為.22.（1）過，所以可設(shè)橢圓的方程為，