專題1.4 根與系數(shù)的關(guān)系【十大題型】（舉一反三）（蘇科版）（解析版）

專題1.4根與系數(shù)的關(guān)系【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值】 1【題型2由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過代換求代數(shù)式的值】 3【題型3由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過降次求代數(shù)式的值】 5【題型4由方程兩根滿足關(guān)系求字母的值】 8【題型5不解方程由根與系數(shù)的關(guān)系判斷根的正負(fù)】 10【題型6由方程兩根的不等關(guān)系確定字母系數(shù)的取值范圍】 12【題型7構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值】 15【題型8已知方程根的情況判斷另一個(gè)方程】 17【題型9根與系數(shù)關(guān)系中的新定義問題】 20【題型10根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的綜合應(yīng)用】 24【知識(shí)點(diǎn)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的兩根為x1，x2，則x1+x2=-ba，x注意它的使用條件為，a≠0，Δ≥0.【題型1由根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值】【例1】（2023春·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的兩個(gè)根，則xA．-7 B．-1 C．1 D．7【答案】D【分析】利用兩根之和為x1+x【詳解】解：∵x1、x2是一元二次方程∴x1+x∴x1故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系的公式．【變式1-1】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知m，n是一元二次方程x2+3x-2=0的兩根，則2m-nA．-3 B．-2 C．-13 D【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出m+n=-3，然后將分式化簡，代入m+n=-3即可求解．【詳解】解：∵m，n是一元二次方程x2∴m+n=-3，∴2=====-1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分式的化簡求值，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）已知a，b是方程x2+6x+4=0的兩個(gè)根，則bb【答案】-14【分析】由根與系數(shù)關(guān)系知a+b=-6，ab=4，即知a＜0，b＜0，化簡原式bba故答案為：﹣14．【詳解】解：∵a，b是方程x2∴a+b=-6，ab=4，∴a＜0，b＜0，∴b∴原式=-故答案為：﹣14．【點(diǎn)睛】本題主要考查根與系數(shù)關(guān)系、完全平方公式變形及二次根式的運(yùn)算及化簡；能夠根據(jù)a,b的關(guān)系式確定其取值范圍，進(jìn)而準(zhǔn)確處理二次根式的運(yùn)算及化簡是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）已知x1、x2是方程x2-7x+8=0的兩根，且x1【答案】28+2【分析】由題意可得x1+x2【詳解】解：∵x1、x2是方程∴x1+x∵x1∴x2∴2x故答案為：28+217【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的求解、根與系數(shù)的關(guān)系以及二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握一元二次方程的相關(guān)知識(shí)、正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.【題型2由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過代換求代數(shù)式的值】【例2】（2023春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）設(shè)α、β是方程x2+x+2012=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α2A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013【答案】D【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到x2+x+2012=0，即α2+α=-2012，則α2+2α+β可化為α2+α+α+β=-2012+α+β，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=-1，再利用整體代入的方法計(jì)算即可．【詳解】∵α是方程x2+x+2012=0的根，∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，∵α，β是方程x2+x+2012=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴α+β=-1，∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．故選D．【點(diǎn)睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=-ba，x1x2=【變式2-1】（2023春·湖北恩施·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2+3x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a+22+bA．32 B．5 C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的根的定義可得a2+3a=1，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得【詳解】解：∵a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2∴a2+3a=1∴a+22+b故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出a2+3a=1，【變式2-2】（2023·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預(yù)測(cè)）若α、β是一元二次方程x2-3x-9=0的兩個(gè)根，則α2【答案】6【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得α+β=3，由根的定義可得α2【詳解】∵α2-3α=9，∴α2故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系及方程根的概念．【變式2-3】（2023春·安徽池州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知α和β是方程x2+2023x+1=0的兩個(gè)根，則α2A．-2021 B．2021 C．-2023 D．2023【答案】A【分析】由α和β是方程x2+2023x+1=0的兩個(gè)根，根據(jù)根于系數(shù)關(guān)系可得，α?β=1，【詳解】∵α和β是方程x2∴αβ2α?β=1，α+β=-2023，∴===α?β+α+β+1=1-2023+1=-2021故選A．【點(diǎn)睛】該題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，熟記一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系公式是解答該題的關(guān)鍵．【題型3由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過降次求代數(shù)式的值】【例3】（2023春·廣東廣州·九年級(jí)廣州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若p、q是方程x2-3x-1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式p3【答案】-2【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到p2-3p-1=0，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到【詳解】∵若p、q是方程x2∴p2-3p-1=0，∴p2∴p=p=-=-3p-1+p-2q+5=-2p-2q+4=-2=-2×3+4=-2，故答案為：-2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax【變式3-1】（2023春·山東日照·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a，b是方程x2-x-3=0的兩個(gè)根，則代數(shù)a2【答案】8【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及解的定義，得a+b=1，【詳解】解：由題意，得a+b=1，b2=b+3，原式=a+3+2b+6+a-3，=2(a+b)+6，=2×1+6，=8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，整式的化簡求值，本題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．【變式3-2】（2023春·浙江溫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知α、β是方程x2+x-1=0的兩根，則A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得出α+β=-1，αβ=-1，α2=1-α，【詳解】解：∵α、β是方程∴α+β=-1，αβ=-1，α2=1-α，∴α==-α=-α+=-α+1-α-β+1-β+5=-2=-2×=9，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系，若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的兩根為x1，x2【變式3-3】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知a，b是方程x2-x-1=0的兩根，則代數(shù)式2aA．19 B．20 C．14 D．15【答案】D【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得：a+b=1，再由a與b是方程的兩根可得a2=a+1，b2=b+1，把a(bǔ)3與b3采用降次的方法即可求得結(jié)果的值．【詳解】∵a與b是方程x2∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵a3=∴2=2(2a+1)+5a+3(2b+1)+3b+1=9a+9b+6=9(a+b)+6=9×1+6=15故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的概論、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值，靈活進(jìn)行整式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【題型4由方程兩根滿足關(guān)系求字母的值】【例4】（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程x2-8x+m=0兩根為x1、x2，且A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出x1【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2-8x+m=0兩根為∴x1∵x1∴x2∴m=x故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握此關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·上?！ぞ拍昙?jí)?？计谥校┮阎P(guān)于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0的兩根為x【答案】k=-2【分析】利用根的判別式求出k的取值范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2=1-2k，x1【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x2+∴Δ=解得：k≤5x1+x∵x∴x(x代入x1+x2(1-2k)2解得：k1∵k≤∴k=-2【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程求解，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.【變式4-2】（2023春·廣東佛山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）方程x2-k2-4【答案】-2【分析】設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x【詳解】解：設(shè)方程的兩根分別為x1∵方程x2∴x1+x當(dāng)k=2，方程變?yōu)椋簒2+3=0，Δ=-12＜當(dāng)k=-2，方程變?yōu)椋簒2-1=0，Δ∴k=-2．故答案為：-2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根分別為x1，x2，則x1+x2=-【變式4-3】（2023春·安徽馬鞍山·九年級(jí)安徽省馬鞍山市第七中學(xué)?？计谀┤鬽、n是關(guān)于x的方程x2+2k+3x+k2=0【答案】3【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=-2k-3，mn=k2，再根據(jù)1m【詳解】解：∵m、n是關(guān)于x的方程x2∴m+n=-2k-3，∵1m∴m+nmn=-1，即∴--2k-3∴k2解得k=3或k=-1，又∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ=∴k>-3∴k=3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【題型5不解方程由根與系數(shù)的關(guān)系判斷根的正負(fù)】【例5】（2023春·江蘇南京·九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的方程x-2x+1=p2（A．有兩個(gè)相異正根B．有兩個(gè)相異負(fù)根 C．有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根 D．無實(shí)數(shù)根【答案】C【分析】先對(duì)方程進(jìn)行化簡，然后再根據(jù)一元二次方程根的判別式可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：方程可化為x2∴Δ=∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)該方程的兩個(gè)根為x1,x∴該方程的兩個(gè)根為一正一負(fù)，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·安徽合肥·九年級(jí)統(tǒng)考期末）方程2x2-3x+1=0A．兩根一正一負(fù) B．兩根都是負(fù)數(shù) C．兩根都是正數(shù) D．無法確定【答案】C【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系分析求解．【詳解】解：2x2-3x+1=0的兩根分別為x1，x2∴方程的兩根同號(hào)，且兩根都是正數(shù)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩根x1，x【變式5-2】（2023春·江蘇南通·九年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a、b、c是△ABC的三條邊的長，那么方程cx2+A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】C【分析】首先根據(jù)根的判別式Δ=【詳解】解：在方程cx可得：Δ=∵a、b、c是△ABC的三條邊的長，∴a>0，b>0，c>0．a(chǎn)+b>c，即a+b2∴a+b2∴Δ>0∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，又∵兩根的和是-a+bc<0∴方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程根的判別式、三角形的三邊關(guān)系，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，判斷出方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根．【變式5-3】（2023·九年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）已知a<0，b>0，c<0，則方程ax2-bx-c=0的根的情況是（A．有兩個(gè)負(fù)根 B．兩根異號(hào)且正根絕對(duì)值較大C．有兩個(gè)正根 D．兩根異號(hào)且負(fù)根絕對(duì)值較大【答案】D【分析】先計(jì)算△=b2+4ac，由a＜0，b＞0，c＜0，得到△＞0，然后根據(jù)判別式的意義得到方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．設(shè)方程兩根為x1，x2．由x1x2【詳解】△=（﹣b）2﹣4?a?（﹣c）=b2+4ac．∵a＜0，b＞0，c＜0，∴b2＞0，ac＞0，∴△＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．設(shè)方程兩根為x1，x2．∵x1x2∵x1+x故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．【題型6由方程兩根的不等關(guān)系確定字母系數(shù)的取值范圍】【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+134﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜214，則【答案】﹣2＜m＜1或3＜m＜7【分析】由方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范圍，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得出關(guān)于m的不等式，解不等式可得出答案．【詳解】解：∵方程x2+（m﹣4）x+134﹣m＝0∴b2﹣4ac＝(m﹣4)2﹣4×13整理得：m2即(m-3)(m-1)>0，根據(jù)乘法法則得：m-3>0m-1>0或m-3<0解前一不等式組得：m＞3；解后一不等式組得：m＞1，∴原不等式的解集為：m＞3或m＜1；由題意得x1+x8＝-ba＝（4﹣m）＞﹣解得m＜7；∵x1x2＝ca解得m＞﹣2．綜上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式，根據(jù)題意得出關(guān)于m的不等式是解題的關(guān)鍵【變式6-1】（2023·山東日照·日照港中學(xué)統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0的實(shí)數(shù)根x1,x2，滿足【答案】4<m≤5【分析】根據(jù)根的判別式Δ≥0、根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于m的不等式組，通過解該不等式組，求得m的取值范圍．【詳解】解：由題意得：x1所以3x依題意得：(-4)2解得4＜m≤5．故答案是：4＜m≤5．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是得出關(guān)于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）①當(dāng)b2-4ac＞0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，②當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．【變式6-2】（2023春·江蘇南通·九年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程4x2-k+5x-k-9=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，且xA．-18<k<-10 B．0<k<8C．-9<k<-5 D．-18<k<-10且k≠-13【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍．根據(jù)x1x2=-k-94，x1【詳解】解：∵方程4x∴Δ=解得：k≠-13，∵x1x2∴x又∵0<x∴0<k+9解得：-9<k<-5，綜上，k的取值范圍為：-9<k<-5．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是得到x2【變式6-3】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）設(shè)關(guān)于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，且x【答案】0<a<【分析】由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根利用根的判別式Δ＞0，可得出a的取值范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=-a+2a，x1x【詳解】解：∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△=(a+2)解得：-2∵x1+x2∴x1+1<0∴(x∴x即9-a+2當(dāng)a<0時(shí)，解得a>當(dāng)a>0時(shí)，解得0<a<2又∵-2∴a的取值范圍為0<a<2故答案為：0<a<2【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合(x1+1)(【題型7構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值】【例7】（2023·陜西西安·?？级＃┮阎猰n≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，則mnA．﹣402 B．59 C．95 D【答案】C【詳解】將9n2+2010n+5=0方程兩邊同除以n2，變形得：5×（1n）2+2010×1n+9=0，又5m2+2010m∴m與1n為方程5x2+2010x+9=0的兩個(gè)解，則根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得m?1n=mn故選：C．【變式7-1】（2023春·廣東梅州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知a≥2,m2-2am+2=0,n2A．6 B．3 C．-3 D．0【答案】A【分析】由已知得m，n是關(guān)于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m＋n＝2a，mn＝2，再根據(jù)完全平方公式展開化簡，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．【詳解】解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，∴m，n是關(guān)于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的兩個(gè)根，∴m＋n＝2a，mn＝2，∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－12)2－3∵a≥2，∴當(dāng)a＝2時(shí)，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－12)2－3＝6故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的最值，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）已知互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足ca=-a-3，cb=-b-3，求【答案】﹣2【分析】將已知的兩等式去分母得到關(guān)系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a(bǔ)、b看成方程x2+3x+c=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子變形后，把a(bǔ)+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值．【詳解】由ca=﹣a﹣3得：a2+3a+c=0①由cb=﹣b﹣3得：b2+3b+c=0②∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的兩根，∴a+b=﹣3，ab=c；∴a2c+b2c﹣9c=a2+b2-9故答案為﹣2．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及分式的加減運(yùn)算，靈活變換已知等式是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）設(shè)x，y，s，t為互不相等的實(shí)數(shù)，且(xA．-1 B．1 C．0 D．0.5【答案】A【分析】把x2,y2【詳解】解：∵(x2-∴x2即x2,y故x2y故選A【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，整體代入是解題的關(guān)鍵．【題型8已知方程根的情況判斷另一個(gè)方程】【例8】（2023春·浙江·九年級(jí)期中）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0(a≠0)的一個(gè)根為m，則方程aA．m+1，-m-1B．m+1，-m+1 C．m+1，m+2 D．m-1，-m+1【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出方程ax2+2ax+c=0的另一個(gè)根，設(shè)x-1=t，根據(jù)方程【詳解】解：∵一元二次方程ax2+2ax+c=0(a≠0)的一個(gè)根為m∴n+m=-2a解得：n=-2-m，設(shè)x-1=t，方程a（x-1）由一元二次方程ax2+2ax+c=0t1=m，∴x-1=-2-m，x-1=m，∴x1=-m-1，故答案為：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及換元法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是用換元法變形方程代入求解．【變式8-1】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）有兩個(gè)一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；A．如果方程M有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么方程N(yùn)也有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．如果方程M有兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同C．如果5是方程M的一個(gè)根，那么15是方程N(yùn)D．如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必是x=1【答案】D【分析】求出方程M：ax2+bx+c=0的判別式【詳解】解：A、∵M(jìn)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△>0即b2∴此時(shí)N的判別式△=b∴N也有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；B、∵M(jìn)的兩根符號(hào)相同：即x1∴N的兩根之積ac也大于0∴N的兩個(gè)根也是同號(hào)的，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；C、如果5是M的一個(gè)根，則：25a+5b+c=0①，我們只需要考慮將15代入N方程看是否成立，代入得：125c+15b+a=0②，比較①與②，可知②式是由D、比較方程M與N可得：ax∴a-cx∵a-c≠0，∴x2∴x=±1，∴它們?nèi)绻懈嗤母赡苁?或-1，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解的意義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程，根的判別式△=b2-4ac，根與系數(shù)的關(guān)系x【變式8-2】（2023春·安徽合肥·九年級(jí)校考期末）關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，關(guān)于y的一元二次方程y2A．p是正數(shù)，q是負(fù)數(shù) B．(p-2)C．q是正數(shù)，p是負(fù)數(shù) D．(p-2)【答案】D【分析】設(shè)方程x2+px+q＝0的兩根為x1、x2，方程y2+qy+p＝0的兩根為y1、y2．根據(jù)方程解的情況，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1?x2＝q＞0，y1?y2＝p＞0，即可判斷A與C；②由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性質(zhì)以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判斷B與D．【詳解】解：設(shè)方程x2+px+q＝0的兩根為x1、x2，方程y2+qy+p＝0的兩根為y1、y2．∵關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，關(guān)于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，∴x1?x2＝q＞0，y1?y2＝p＞0，故選項(xiàng)A與C說法均錯(cuò)誤，不符合題意；∵關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，關(guān)于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同時(shí)為2，否則兩個(gè)方程均無實(shí)數(shù)根），故選項(xiàng)B說法錯(cuò)誤，不符合題意；選項(xiàng)D說法正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，逐一分析四個(gè)選項(xiàng)說法的正誤是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）一元二次方程M:ax2+bx+c=0；N:cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，給出以下四個(gè)結(jié)論：①若方程M有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則方程N(yùn)也有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②若方程M的兩根符號(hào)相同，則方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同；③若m是方程M的一個(gè)根，則1m是方程N(yùn)的一個(gè)根；④若方程MA．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】根據(jù)根的判別式，根的定義，計(jì)算判斷即可．【詳解】∵M(jìn):ax∴Δ=∵N:cx2+bx+a=0∴方程N(yùn)也有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故①正確；∵M(jìn):ax∴Δ=∴Δ=∴方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同，故②正確；∵m是方程M:ax∴am∵c∴1m是方程N(yùn)故③正確；設(shè)方程M和方程N(yùn)相同的根為x0根據(jù)題意，得ax∴a-cx∵ac≠0，a≠c，∴x0解得x0故這個(gè)根是x=±1，故④錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，公共根，方程根的定義即使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．【題型9根與系數(shù)關(guān)系中的新定義問題】【例9】（2023春·山東日照·九年級(jí)日照市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義：如果實(shí)數(shù)a、b、c滿足a2+b2=c2，那么我們稱一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)為“勾股”方程；二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)為“勾股”函數(shù)．(1)理解：下列方程是“勾股”方程的有．①x2-1=0；②x2-x+2=0；③1(2)探究：若m、n是“勾股”方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，試探究m、n之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①②④；(2)m2【分析】（1）運(yùn)用“勾股”方程的定義，即可得出答案；（2）利用根與系數(shù)關(guān)系可得：m+n=-ba，mn=ca，再結(jié)合a2+b2=c2【詳解】（1）根據(jù)“勾股”方程的定義，在方程x2-1=0中，a=1，b∵a2+∴a∴一元二次方程x2-1=0為“勾股在方程x2-x+2=0中，∵a2+∴a∴一元二次方程x2-x+2在方程13x2+14x∵a2+∴a∴一元二次方程13x2+1在方程4x2+3x=5中，a∵a2+∴a∴一元二次方程4x2+3x=5故答案為：①②④；（2）m2∵m、n是“勾股”方程a∴m+n又根據(jù)“勾股”方程的定義，a2∴(即m2另解：∵m、n是“勾股”方程a∴am2+bm由①、②得：b=-(m+又∵a∴a即m2【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義問題，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，理解并應(yīng)用新定義是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023春·河南安陽·九年級(jí)校聯(lián)考期中）定義運(yùn)算：a*b=a1-b．若a，b是方程x2-x+m=0A．0 B．1 C．2 D．與m有關(guān)【答案】A【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可找出a+b=1，根據(jù)新運(yùn)算找出b*b-a*a=b1-b-a1-a，將其中的1【詳解】解：∵a，b是方程x2∴a+b=1，∴b*b-a*a=b1-b故選A．【點(diǎn)睛】本題考查定義新運(yùn)算，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．理解并掌握新運(yùn)算的法則，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春·廣東揭陽·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）定義：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)滿足a+b+c=0，那么我們稱這個(gè)方程為“鳳凰”方程．已知x2+mx+n=0是“【答案】5【分析】①根據(jù)鳳凰方程的定義可知：x=1是方程的一個(gè)根，以及方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，Δ=0，求出m,n的值，再進(jìn)行計(jì)算即可；②【詳解】解：法一：根據(jù)題意得：1+m+n=0解得：m=-2n=1則m2法二：∵x2+mx+n=0是“鳳凰∴x2+mx+n=0的兩個(gè)根均為∴-m=1+1=2,n=1×1=1，∴m=-2,n=1，∴m2【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解和一元二次方程判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系．理解鳳凰方程的定義，得到x=1是方程的一個(gè)根，是解題的關(guān)鍵．本題也可以利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解題．【變式9-3】（2023春·遼寧鞍山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：α、β(α>β)是一元二次方程x2-x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)S1=α+β，根據(jù)根的定義，有α2-α-1=0、β2-β-1=0根據(jù)以上信息，解答下列問題．(1)求α、β的值，并利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，求出S2(2)猜想：當(dāng)n?3時(shí)，Sn、Sn-1、【答案】(1)3(2)當(dāng)n?3時(shí)，Sn【分析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=1，αβ=-1，接著根據(jù)完全平方公式得到S2（2）由于α+β=1，αβ=-1，則Sn=α【詳解】（1）解：∵α、β(α>β)是一元二次方程x2其中a=1，b=-1，c=-1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得α+β=-ba=1∴S（2）解：猜想當(dāng)n?3時(shí)，Sn理由如下：∵α+β=1，αβ=-1，∴S∵Sn-1=∴