2022年高考全國乙卷文科數(shù)學真題試卷試題答案解析

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試全國乙卷文科數(shù)學

單選題(共12題，共12分)

1.

集合M={2,4,6,8,10},N{x|-l<x<6},則MCN=()

A.{2,4}

B.{2,4,6)

C.{2,4,6,8)

D.{2,4,6,8,10)

正確答案：A

2.

設(shè)(1+2i)a+b=2i,其中a,b為實數(shù),則()

A.a=l,b=-l

B.a=l,b=l

C.a=-l,b=1

D.a=-l,b=-l

正確答案：A

1

3.

已知向量a=(2,l),b=(-2,4),則|a-b|=()

A.2

B.3

C.4

D.5

正確答案：D

4.

分別統(tǒng)計了甲、乙兩位同學16周的各周課夕M本育運動時長（單位：h），得如下莖葉圖:

甲

6I5.

85306.3

75327.46

64218.I2256666

420238

則下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.甲同學周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為7.4

B.乙同學周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8

C.甲同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4

D.乙同學周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.6

2

正確答案：c

x+y...2,

若x,)，滿足約束條件，x+2j，”4,則二=2x-y的最大值是()

%0,

A.-2

B.4

C.8

D.12

正確答案：C

6.

設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點，點A在C上，點B(3,0),設(shè)AF|=|BF|,則|AB|=()

A.2

B.2V2

C.3

D.3V2

正確答案：B

3

7.

執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的門=()

A.3

B.4

C.5

D.6

正確答案：B

8.

右圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間卜3,3］的大致圖像，則該函數(shù)是()

4

2sinJ:

D.

jf2+1

A.A

B.B

C.C

D.D

正確答案：A

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別為AB,BC的中點,貝1|()

A.平面B1EF_L平面BDD1

B.平面B1EFJ_平面A1BD

C.平面B1EF〃平面A1AC

D.平面B1EF〃平面A1C1D

正確答案：A

10.

5

已知等比數(shù)列｛a“｝的前3項和為168,%-%=42,則％=()

A.14

B.12

C.6

D.3

正確答案：D

11.

,函數(shù)/a)=cosx+(x+l)smx+l在區(qū)叫0,2可的最小值、最大值分別為()

nn37tnnn3五冗一

A.——，一B.----，一C.——，一+2D.——,一+2

22222222

A.A

B.B

C.C

D.D

正確答案：D

已知球0的半徑為L四棱錐的頂點為。底面的四個頂點均在球0的球面上，則當該四棱錐

的體積最大時，其高為()

6

.?R1C6n應

A.-B.-C.--D.------

3232

A.A

B.B

C.C

D.D

正確答案：C

填空題(共4題，共4分)

13.

記S”為等差數(shù)列｛q｝的前〃項和.若2s3=3S/6,則公差d=.

正確答案：2

14.

從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為

正確答案：03或者3/10

15.

過四點(0,0),(4,0),(-L1),(42)中的三點的一個圓的方程為_

7

正確答案案:

l5(x-2j+(y-3)，=13或(x-2y+(y-l)2=5或('-§)+1T=彳或

16.

若/(x)=lna+f—+b是奇函數(shù)，則。=.b=

正確答案：-1/2;M2

問答題(共7題，共7分)

17.

記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)若4=28,求G

(2)證明：2a2=/+。2

正確答案：

8

5n

17.(1)8：

1

(2)由si*。sin-B)=sinBsin(C->t)可得

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA)再由F吆定理可得

accosB-hccosA=hccosJ-ahcosC,然后根據(jù)余弦定理可知，

-(<r+c2-62)--(b:+c2-a2)=^(f>2+c2-o2)--(a2+Z>:-c2)

2222,化簡得:

勿2=/+。2,故原等式成立.

如圖,四面體ABCD中,AD±CD,AD=CD,4ADB=NBDC,E為AC的中點.

(1)證明：平面8￡￡>_L平面4c。：

(2)設(shè)48=8。=2,/478=60°,點/在8￡>上，當尸C的面枳最小時，求三棱

錐E-45c的體積.

正確答案：

由于4D=CD,E是4c的中點，所以4c_L0￡.

AD=CD

■BD=BD

由于|4°5=NC°8,所以三CDB,

9

所以AB=CB,故/CJ.8O.

由干DEcBD=D.DE、BD］平面BED.

所以4CJ■平面BE。，

由于/Cu平面48,所以平面8EO_L平面4CO.

【小問2詳解】

依題意AB=BD=BC=2,405=60°,三角形4BC是等邊三角形，

所以?1C=2,4E=CE—I,BE=V3

由于"￡>=C￡>,4)_LC。，所以三角形/C0是等腰直角三角形，所以0E=1.

DE2^BE2=BD2,所以DE工BE,

由于ACcBE=E,力。,5￡<=平面力質(zhì)二所以O(shè)￡_L平面4BC.

由于八如夕三CDB,所以NFB4=NFBC,

BF=BF

-ZFBA=NFBC

由于|<B=C8,所以口下區(qū)1RqC,

所以力尸=",所以EFJ./C,

11t=—,AC?EF

由于,2，所以當.最短時，三角形.凡'的面積最小值.

過E作即_L8O,垂足為尸，

-BEDE=-BDEFEF=—

在中，22，解得2,

DF=1=L,BF=2-DF=±

2

所以YI2J21

BF_3

所以BD4

10

FH_BF_3

過尸作FHJ.8E,垂足為〃，則FHHDE,所以尸〃，平面45(7,且DE-BD4,

FH=-

所以4,

VF=L.S.^..FH=-x-x2xy/3x-=^-

所以33244.

19.

某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山。為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量,

隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位:m2）和材積量（單位:m3）,

得到如下數(shù)據(jù)：

11

樣本號i12345678910總和

根部橫截面枳X,0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量乂0250.400220.540.510.340360.460.420.403.9

并計算得?；=0038.Z?=L6158,^x,y,=0.2474.

f=1

(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量：

(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)：

(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面枳，并得到所有這種樹木的根部橫截面積

總和為186m二已知樹木的材枳量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林

區(qū)這種樹木的總材枳量的估計值.

EG-亍)(乂-力

附：相關(guān)系數(shù)/■=-7=餐-------------------S.896=1.377.

力6-才力6-力2

1=1，=1

正確答案:

19（I）0.06m2.0.39m3

（2）0.97

（3）1209mJ

20.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=ar-^?一(a+l)lnx.

x

(1)當。=0時，求/(x)的最大值：

(2)若/(x)恰有一個零點，求。的取值范圍.

正確答案：

20.(1)-1

⑵(0收)

12

21.

21.(12分)已知橢閱￡的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸,且過

40,-2),8停,一1)兩點.

(1)求￡■的方程：

(2)設(shè)過點尸(1,-2)的直線交￡于M,N兩點.過M且平行于x軸的直線與線段48交

于點兀點〃滿足桁=加，證明：直線月N過定點.

正確答案：

21.(1)43

(2)(。，-2)

【小問1詳解】

、4(0,-2),5佶一

解：設(shè)橢陰￡的方程為""+〃)’=1過

「4〃=1

-m+n=\m=-n=-

則.，解得3,4.

21

-y-+-x-=1

所以橢圓E的方程為：43.

【小問2詳解】

40,-2),83-1)血y+2=：x

2,所以3,

E+J1

8過點PU-2)的直線斜率不存在，直線x=l.代入34,

A/(l,—)^(1,--)y=-x-2

可得3,3.代入.48方程3,可得

7(#+3.當——H(2指+5,當

3,由A/r=7H得到3.求得助方程;

13

2瓜、,

廣（2中一過點（OT）

②若過點戶（L-2）的直線斜率存在，設(shè)h-J，TA+2）=O,A/（不乂）,\（七,必）

Ax-y-(4+2)=0

士+J1

得(3k2+4)x2-6k(2+幻

聯(lián)立34x+3A(A+4)=0

-8(2+A)

_6k(2+k)

XX22

'~3k+4

3)1(4+A)4(4+4A-2A?)

可得

-24A,*、

且演必+孫廣索有（）

y=yt

'273y.

y=，x-2T(V+3，M),H(3H+6_%，M).

聯(lián)立3可得2

HN:y-y2=---———----（x-x2）

可求得此時3M+6_演一七,

將（0,-2）,代入整理得2區(qū)+天）-6（乂+%）+玉必+電乂-3yMi2=0,

將（*）代入得24A+12公+96+484-24%-48-48%+24公-36公-48=0,

顯然成立，

綜上，可得直線HN過定點（°，-2）?

22.

在直角坐標系xOr中，曲線c的參數(shù)方程為［xnbcosZf’（,為參數(shù)）以坐標原點為

y=2sinr

極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系.已知直線/的極坐標方程

為psin（e+：）+/n=O.

（1）寫出/的直角坐標方程：

（2）若/與。有公共點.求，”的取值范圍.

14

正確答案：

22.(i)岳+y+2/w=0

—

(2)122

23.