2023年廣東省深圳市南山外國語學(xué)校中考二模 數(shù)學(xué) 試卷（學(xué)生版+解析版）

2023年廣東省深圳市南山外國語學(xué)校（集團）中考二模數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列各數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是（）

A.0B.--C.nD.5

3

3.2023深圳鹽田半程馬拉松于2023年3月26日在深圳市鹽田區(qū)舉行，以鹽田區(qū)行政文化中心廣場為起

點，以大梅沙海濱公園為終點，全程大約21000米，請用科學(xué)記數(shù)法表示21000為（）

A.21X103B.2.1X104C.0.21xlO5D.21OX1O2

4.九（1）班一合作學(xué)習(xí)小組有7人，初三上期數(shù)學(xué)期中考試成績數(shù)據(jù)分別為98、86、95、77、82、85、

93.則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.86B.95C.77D.93

5.下列運算中，正確的是（）

A.2/+/=3。5B.MLC.（2/y=6/D.

6.將一副直角三角板（NA=30。，Z￡=45°）按如圖所示的位置擺放，使則NOOC的度數(shù)是

（）

B

E

C

A.70°B.75°C.80°D.85°

7.下列命題是真命題的是()

A.三角形的內(nèi)心到三角形三個頂點的距離相等

B.若關(guān)于x的方程依2+21一i=o有實數(shù)根，則上的取值范圍是女2—1且攵

x-a<0

C.若關(guān)于x的一元一次不等式組《無解，則”的范圍是

2x-l>5

D.若點C是線段A3的黃金分割點，則生=避二1

BC2

8.在一個可以改變體積的密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)改變?nèi)萜鞯捏w積時，氣體的密度也會隨之改

變，密度夕(kg/n?)是體積1(n?)的反比例函數(shù)，它的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知，下列說法正確的

是()

A/?(kg/m3)

A.密度「(kg/n?)隨體積V(n?)的增大而增大

B.密度「(kg/n?)和體積^(nT，關(guān)系式為P=.

C.密度「N2kg/n?時，體積V的范圍為0<丫=4m3

D.體積VNZkg/n?時，密度「范圍為040W4kg/m，

9.如圖，在‘ABC中，AB=AC,分別以點A、B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于E,F,

作直線EE。為BC的中點，M為直線EF上任意一點.若BC=4,面積為10,則長度的

最小值為()

C

B.3C.4D.5

10.如圖，在正方形A3CO中，AD=4,￡為CO中點，尸為5c上的一點，且NE4F=45。,

ZABG=NDAE,連接￡/，延長BG交A石于點M,交AD于點N,則以下結(jié)論；

Q]6

①?！?即=石尸②BNJ.AE③8尸④S^GF=y中正確的是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

11.因式分解：4a-ah2—.

12.若（4x+y—4『與|2x-y+l|互為相反數(shù)，則正的值是.

13.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,O是,ABC的外接圓，點A,B,。在網(wǎng)格

線的交點上，則tanNACB的值是.

14.如圖，某學(xué)校數(shù)學(xué)探究小組利用無人機在操場上開展測量教學(xué)樓高度的活動，此時無人機在高地面30

米的點。處，操控者站在點A處，無人機測得點A的俯角為30°.測得教學(xué)樓樓頂點C處的俯角為45°,

操控者和教學(xué)樓BC的距離為60米，則教學(xué)樓BC的高度是米.

D

30^7''^45°'"

z、

/□

AB

15.如圖，在一次數(shù)學(xué)實踐課中，某同學(xué)將一塊直角三角形紙片（/ABC=90°,/ACB=60°）的三個

頂點放置在反比例函數(shù)y=2的圖象上且AC過。點，點。是BC邊上的中點，則SAAOO=.

X

三、解答題（本題共7小題，共55分）

16計算；|近—1+sin30?！?一、我

17.先化簡，再求值；」,6,+9/1--其中a=5

a"-2a〈a-2）

18.隨著時代發(fā)展，人們乘坐公交車支付車票的方式更加多樣、便捷.某校數(shù)學(xué)實踐小組設(shè)計了一份公交

車票支付方式調(diào)查問卷，要求每位被調(diào)查人選且只選一種最喜歡的支付方式.現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果進行統(tǒng)計并繪

制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

根據(jù)所給的信息解答下列問題;

（1）這次活動共調(diào)查了人；在扇形統(tǒng)計圖中表示“微信”支付的扇形圓心角的度數(shù)為

（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）小明和小亮都沒有公交卡，在乘車中，想從“微信”“支付寶”“現(xiàn)金”“云閃付”四種支付方式

中選一種方式進行支付，請用畫樹狀圖或列表格的方法，求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率.

19.清明是二十四節(jié)氣之一，也是我國的傳統(tǒng)節(jié)日，清明節(jié)吃青團是很多地方的習(xí)俗.清明節(jié)前市場上肉

松蛋黃青團比芝麻青團的進價每盒便宜10元，某商家用800元購進的芝麻青團和用600元購進的肉松蛋黃

青團盒數(shù)相同.在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)芝麻青團每盒售價50元時，每天可售出100盒，當(dāng)每盒售價提高1

元時，每天少售出2盒.

（1）求芝麻青團和肉松蛋黃青團的進價；

（2）已知芝麻青團每盒的售價不高于65元，卬表示該商家每天銷售芝麻青團的利潤（單位；元），芝麻

青團每盒售價為多少元時，一天獲得利潤最大？最大利潤是多少元？

20.如圖，點C在以A3為直徑的。上，點。是8C的中點，連接。。并延長交。。于點E,作

/EBP=NEBC,BP交OE的延長線于點P.

（1）求證：PB是。的切線；

（2）若AC=2,PD=6,求。的半徑.

21.請閱讀下列解題過程；解一元二次不等式；爐一2%—3<（）.

解；設(shè)X2一2%一3=0，解得；X|=-I,x2=3.

則拋物線y=/-2%-3與x軸的交點坐標(biāo)為（一1，0）和（3,0）.

畫出二次函數(shù)y=f-2x-3的大致圖象（如圖所示）.

由圖象可知；當(dāng)一1<%<3時函數(shù)圖象位于x軸下方，

此時y<0,即2x—3<0.

所以一元二次不等式*2一2%—3<0的解集為；一l<x<3.

通過對上述解題過程的學(xué)習(xí)，按其解題的思路和方法解答下列問題;

（1）用類似的方法解一元二次不等式；—%2+4工一3〉（）.

（2）某“數(shù)學(xué)興趣小組”根據(jù)以上的經(jīng)驗，對函數(shù)丁=一（》一1乂國一3）的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究

過程如下;

①列表；x與y的幾組對應(yīng)值如表，其中機=

X-4-3-2-101234

y50-3m-3010-3

②如圖，在直角坐標(biāo)系中畫出了函數(shù)y=—（x—。（兇一3）的部分圖象，用描點法將這個圖象補畫完整.

③結(jié)合函數(shù)圖象，解決下列問題；不等式T4一（x—D（W—3）W0的解集為；.

22.已知矩形A8CC,點E為直線上的一個動點（點E不與點B重合），連接AE,以AE為一邊構(gòu)造矩

形AEFG（A,E,F,G按逆時針方向排列），連接。G.

(1)如圖1,當(dāng)——=署=1時，請直接寫出線段BE與線段OG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系;

ABAE

當(dāng)四=嬰=2時，請猜想線段BE與線段。G的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由;

(2)如圖2,

ABAE

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接5G,EG,分別取線段BG,EG的中點M,N,連接MN,MD,

ND,若AB=小,N4EB=45。，請直接寫出△MND的面積.

2023年廣東省深圳市南山外國語學(xué)校（集團）中考二模數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列各數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是（）

A.0B.--C.nD.5

3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類，進行判斷即可.

【詳解】解：A、。既不正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，本選項不符合題意；

B、-g是負(fù)數(shù)，本選項符合題意；

C、兀是正數(shù)，本選項不符合題意：

D、5是正數(shù)，本選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查有理數(shù)的分類.熟練掌握有理數(shù)的分類，是解題的關(guān)鍵.

2.如圖是《九章算術(shù)》中“塹堵”的立體圖形，它的左視圖為（）

【答案】D

【解析】

【分析】找到從幾何體的左面看到的平面圖形即可.

【詳解】解：這個“塹堵”的左視圖如下：

故選：D.

【點睛】本題考查了簡單幾何體的三視圖，注意主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看

到的平面圖形.

3.2023深圳鹽山半程馬拉松于2023年3月26日在深圳市鹽田區(qū)舉行，以鹽田區(qū)行政文化中心廣場為起

點，以大梅沙海濱公園為終點，全程大約21000米，請用科學(xué)記數(shù)法表示21000為（）

A.21X103B.2.1X104C.0.21xlO5D.210xl02

【答案】B

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)

變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

【詳解】解：用科學(xué)記數(shù)法表示學(xué)000為2.1x104.

故選：B.

【點睛】此題主要考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中

〃為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定“的值以及"的值.

4.九（1）班一合作學(xué)習(xí)小組有7人，初三上期數(shù)學(xué)期中考試成績數(shù)據(jù)分別為98、86、95、77、82、85、

93.則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.86B.95C.77D.93

【答案】A

【解析】

【分析】把這組數(shù)從小到大排列，找出中間的數(shù)即可.

【詳解】解：這組數(shù)從小到大排列：77、82、85、86、93、95、98,

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是86,

故選：A.

【點睛】本題考查了計算一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的知識，掌握找中位數(shù)的時候一定要先排好順序，然后再根據(jù)

奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所求.如果是偶數(shù)個則找中間兩位

數(shù)的平均數(shù)是關(guān)鍵.

5.下列運算中，正確的是（）

235236236

A.2a+a=3aB.a-a=aC.(2a)=6aD.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)合并同類項法則，同底數(shù)基相乘法則，積的乘方法則，負(fù)整數(shù)指數(shù)基及同底數(shù)基相除法則計

算判斷即可.

【詳解】解：A、2/與/不是同類項，不能合并，本選項不符合題意；

B、/./=爐工。6本選項不符合題意;

C、(2/丫=8a676a6本選項不符合題意；

D、/+4-2=。3?2)=。5本選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了合并同類項，同底數(shù)幕的乘除，積的乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，正確掌握以上知識是解題

的關(guān)鍵.

6.將一副直角三角板(ZA=30°,ZE=45°)按如圖所示的位置擺放，使A8〃EF,則NOOC的度數(shù)是

()

A.70°B.75°C.80°D.85°

【答案】B

【解析】

【分析】在R/.“戶中，由兩角互余得NF=45°,根據(jù)直線得NA=NAC「，再由三角形外角

的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：:“=90°,

ZE+ZF=90°,

又,:ZE=45°,

二NF=45°,

又?：AB"EF,

：.ZA=ZACF,

又???NA=30°,

NACE=30°,

/DOC=ZACF+NF=300+45°=75°.

故選:B.

【點睛】題目主要考查平行線及三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)、找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系是解題關(guān)

鍵.

7.下列命題是真命題的是()

A.三角形的內(nèi)心到三角形三個頂點的距離相等

B.若關(guān)于x的方程依2+21一i=o有實數(shù)根，則z的取值范圍是42―1且左。0

x-a<0

C.若關(guān)于X的一元一次不等式組《無解，則。的范圍是“W3

2x-l>5

D.若點C是線段AB的黃金分割點，則生=1二1

BC2

【答案】C

【解析】

【分析】利用三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，一元一次不等式組的解法，黃金分割的概

念進行判斷即可.

【詳解】解：A.三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，原命題是假命題，故此選項不符合題意；

B.當(dāng)攵=0時，方程為2x—1=0,方程有一個實數(shù)根；當(dāng)后。0時，關(guān)于％的方程行2+2x—l=0有實

數(shù)根，則△=22-4ZX(-1)20,解得：k>-l,綜上所述，上的取值范圍是攵2-1,原命題是假命

題，故此選項不符合題意；

x—a<0

C.若關(guān)于x的一元一次不等式組1日,「無解，則〃的范圍是aW3,原命題是真命題，故此選項符合

2x-l>5

題意；

D.若點C是線段A5的黃金分割點且ACV3C,則生=避二1,原命題是假命題，故此選項不符合題

BC2

尼T*T-、.?

故選：C.

【點睛】本題考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.掌握三角形的內(nèi)心的

性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，一元一次不等式組的解法，黃金分割的概念是解題的關(guān)鍵.

8.在一個可以改變體積的密閉容器內(nèi)裝有一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)改變?nèi)萜鞯捏w積時，氣體的密度也會隨之改

變，密度p(kg/n?)是體積V(n?)的反比例函數(shù)，它的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知，下列說法正確的

是()

八"(kg/n?)

5

4

3

2

1

O\12345K(m3)

A.密度「(kg/n?)隨體積V(n?)的增大而增大

B.密度「(kg/m3)和體積V(n?)的關(guān)系式為0=《

C.密度oNZkg/n?時，體積V的范圍為0<V44m3

D.體積V>2kg/m3時，密度夕的范圍為04夕<4kg/m3

【答案】C

【解析】

【分析】求得反比例函數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：觀察圖象，密度0(kg/m3)是體積的反比例函數(shù)，且經(jīng)過點(4,2),

設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式為2=",則左=4x2=8,

Q

.??函數(shù)關(guān)系式為2=彳，

A、密度「(kg/n?)隨體積v(n?)的增大而減少，原說法錯誤，本選項不符合題意；

B、密度「(kg/n?)和體積V(n?)的關(guān)系式為夕=[,原說法錯誤，本選項不符合題意；

C、密度0N2kg/n?時，體積丫的范圍為0<V44m3,正確，，本選項符合題意；

D、體積VN2kg/n?時，密度夕的范圍為0</?W4kg/m3,原說法錯誤，本選項不符合題意;

故選：C.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求得比例函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在，ABC中，AB^AC,分別以點A、B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于E,F,

作直線EF,。為BC的中點，M為直線E尸上任意一點.若8C=4,ABC面積為10,則8M+M。長度的

最小值為（）

2

【答案】D

【解析】

【分析】由基本作圖得到得EF垂直平分AB,則所以連接MA、DA,如

圖，利用兩點之間線段最短可判斷MA+M。的最小值為AO,再利用等腰三角形的性質(zhì)得到ACBC,然

后利用三角形面積公式計算出AD即可.

【詳解】解：由作法得E尸垂直平分AB,

：.BM+MD=MA+MD,

連接MA、DA,如圖，

?..MA+MZ）沙。（當(dāng)且僅當(dāng)M點上時取等號）,

：.MA+MD的最小值為AD,

?：AB=AC,。點為BC的中點，

：.ADLBC,

?：S.?

r2=10,

10x2

...AD5,

4

.?.BM+M。長度的最小值為5.

故選：D.

【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，利用軸對稱求線段和的最小值，三角形的面積，兩點之

間，線段最短，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在正方形A5co中，AD=4,E為CD中點，E為5C上的一點，且NE4尸=45。，

ZABG^ZDAE,連接Eb，延長BG交AE于點"，交AD于點N,則以下結(jié)論；

o16

①OE+BE=￡F②BNJ.AE③8尸工④SMGF=一中正確的是（）

315

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【分析】延長CO至H,使=證明.43/四一皿7,推出A"=AH，NBAF=ZDAH,

ZAFB=ZH，利用SAS證明ZXEA/治△E44，可判斷①；利用余角關(guān)系可判斷②；在Rt^CE/7中,

由勾股定理計算可判斷③；證明△3GFSZ^E4H,利用相似三角形的性質(zhì)可判斷④.

【詳解】解：延長CO至H,使=

.四邊形ABCD是正方形，

AAB=BC=CD=DA=4,ZABF=NC=ZADC=ZADH=90°,

/.,ABF^.ADH,

/.AF=AH，/BAF=4DAH，ZAFB=ZH，

'：ZE4F=45°,

ZBAF+ZDAEADAH+ZDAE^45°,即N￡AF=NE4/7=45°,

又z4E=4E,

AE4F^AE4//（SAS）,

:.EF=EH=ED+DH=ED+BF，①正確；

???ZABG=ZDAE,

：.ZABG+ZANB^ZDAE+ZANB=90°,

:.BNLAE,②正確；

設(shè)BF=DH=x,

,/E為C￡＞中點，

CE=DE=-CD=2,

2

AEF=EH=2+x,CF=4—x,

在Rt/XCE戶中，由勾股定理得（4—X）2+2?=（2+X）2,

44

解得x=一，即BP=—,③不正確；

33

VZABG=ZDAE,ZBAF+ZDAE=45°,

：.4BGF=ZBAF+ZABG=ZBAF+/DAE=45°=ZEAH,

又ZAFB=/H,

/\BGF^/\EAH,

410

???EH=ED+DH=ED+BF=2+-=—,

33

=X_X=-

***S^EAHT74；一，

Z53

（z?Y

.黑女」空Y=J

L=±

025

rj

?c_A2016

"ABGF_25XT-15④正確；

綜上，正確的有①②④，

故選：C.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

11.因式分解：4a—ab2=.

【答案】a（2+b）（2-b）

【解析】

【分析】先提取公因式“，再根據(jù)平方差公式分解因式即可求解.

【詳解】解：原式=a（4-廿）

=a（2+8）（2-6）,

故答案為：a（2+b）（2-b）.

【點睛】本題考查了綜合提公因式和公式法分解因式，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

12.若（4x+y-41與|2x-y+l|互為相反數(shù)，則/的值是.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】利用互為相反數(shù)兩數(shù)之和為0列出等式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程組，求出方程組的解即可

得到x與y的值.

【詳解】解：???（4x+y-4）2+|2x—y+l|=0,

（4冗+y-4=0

2x—y+l=0'

1

x=——

解得：\2,

」=2

=一,

??X=⑴-4

故答案為：一.

4

【點睛】此題考查了解二元一次方程組，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

13.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,。是的外接圓，點A,B,。在網(wǎng)格

線的交點上，則tanNACB的值是.

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)圓周角定理將NAC8轉(zhuǎn)換到直角三角形中，即可求得tanNAC8的值.

【詳解】解：如圖，設(shè)B點上方2個單位的格點為。，

連接4）、BD,根據(jù)圓周角定理可得？ACB2ADB,

?..每個小正方形的邊長都是1,點A、B、。均在網(wǎng)格交點上,

45=4,BD=2,

AQ4

/,tanZ.ACB==—=2,

BD2

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查圓周角定理，銳角三角函數(shù)等知識點，將NAC8根據(jù)圓周角定理轉(zhuǎn)換到直角三角

形中是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，某學(xué)校數(shù)學(xué)探究小組利用無人機在操場上開展測量教學(xué)樓高度的活動，此時無人機在高地面30

米的點。處，操控者站在點A處，無人機測得點A的俯角為30°.測得教學(xué)樓樓頂點C處的俯角為45°,

操控者和教學(xué)樓8C的距離為60米，則教學(xué)樓5c的高度是米.

D

30^7''^45°'"

z、、、

/□

AB

【答案】3073-30

【解析】

【分析】過點。作DEIAB于E，過點。作CVLOE于尸，根據(jù)正切的定義求出AE,根據(jù)題意求出

BE,根據(jù)等腰的性質(zhì)求出。尸，結(jié)合圖形計算，得到答案.

【詳解】解：如圖，過點。作。E1AB于E，過點。作CFJ_OE于尸，

由題意得AB=60，DE=30,ZDAB=30°,ZDCF^45°,

DE

在RtZ\ADE中，tanZDAE=tan30°=-----,

AE

DE30

AE=-f--=3073

??tan30°,3

3

：.BE=AB-AE=60-3Qy/3，

VCBA.BE,FEA.BE,CFLEF,

...四邊形BCEE為矩形，

CF=5￡=60-3073-

在RtADFC中，ZDCF=45°,

ZCDF=90°—/DCF=45°=NDCF,

；?DF=CF=60-30y/3>

BC=EF=DE-DF=30-（60-3073）=（30^-30）（米）.

教學(xué)樓BC的高度為（30百一30）米.

故答案為：30V3-30.

D

"36^^45°'

,,k\c

/：□

1ri口

AEB

【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性

質(zhì).掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在一次數(shù)學(xué)實踐課中，某同學(xué)將一塊直角三角形紙片(NABC=90°,ZACB=60°)的三個

2

頂點放置在反比例函數(shù)丫=一的圖象上且AC過。點，點。是BC邊上的中點，則.

【答案】6

【解析】

【分析】連接。B,易證明80c是等邊三角形,得到O6=OC=8C,根據(jù)點C在反比例函數(shù)圖象上設(shè)

出點C的坐標(biāo)，得到點B和點A的坐標(biāo)，根據(jù)OC=BC列出方程求出點A、B、C的坐標(biāo)，進而求出

的面積，即可求解.

【詳解】解：連接08,

：AC經(jīng)過原點0,

：.0A=0C,

?.,ZABC=90°,

:.OB=OC,

:ZACB=60°,

/\BOC是等邊三角形,

???OC=BC,

222

設(shè)C(m,—),貝II8(—,〃z),A(-m,--),

mtnm

222

Z?t2+(一)2=(m-----)2+(m------)2,

mmm

解得m=l+y/3，

「2

???C”，”,

22

1+G)，A(-1-石,

1+V31+73)

作BE_Lx軸于E,CFJ_x軸于F,

*.*SABOC-^SAOFC=S^OBE+S梯形BEFC，

而S^OFC—S^OBE—gx2=1,

?_I廠2L2L

??SAOBC=S梯形BEFC=5X(1+J3+]+G)G+G-R)=25

:?S&ABC=2S>OBC=4四,

*/S4AOD=gS^ACDJS^ACD=yS^ABC,

?1

??S^_AOD=—S^\ABC=<r3，

4

故答案為：

【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的系數(shù)上的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，等邊三角

形的判定和性質(zhì).求出點A、B、C的坐標(biāo)是解答關(guān)鍵.

三、解答題（本題共7小題，共55分）

16.計算；|0—1|+5淪30。-2-1+人

【答案】372-1

【解析】

【分析】分別利用絕對值的性質(zhì)、求特殊角的三角形函數(shù)值、二次根式的乘法法則及負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運算

法則進行化簡計算，再合并即可得出結(jié)果.

【詳解】解：|0T+sin3O?！?"+魂

=>/2-1+---+2^

22

=3>/2—1"

【點睛】本題考查了絕對值、特殊角的三角形函數(shù)值、二次根式的乘法及負(fù)整數(shù)指數(shù)基，掌握相關(guān)運算法

則是解題的關(guān)鍵.

17先化簡’再求值；,其中a=5

【答案］以ci—?32

a5

【解析】

【分析】先根據(jù)分式的加減計算括號內(nèi)的，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，最后將字母

的值代入求解.

I詳解】解：金十J士

(fl~3)2.(--2__

-2)(a-2u-2)

_a—2

a^a-2)a-3

a-3

=----,

a

,……5-32

當(dāng)a=5時，原式=§=?,

【點睛】本題考查了分式化簡求值，解題關(guān)鍵是熟練運用分式運算法則進行求解，注意：代入的數(shù)值要使

分式有意義.

18.隨著時代發(fā)展，人們乘坐公交車支付車票的方式更加多樣、便捷.某校數(shù)學(xué)實踐小組設(shè)計了一份公交

車票支付方式調(diào)查問卷，要求每位被調(diào)查人選且只選一種最喜歡的支付方式.現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果進行統(tǒng)計并繪

制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

（1）這次活動共調(diào)查了人；在扇形統(tǒng)計圖中表示“微信”支付的扇形圓心角的度數(shù)為;

（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）小明和小亮都沒有公交卡，在乘車中，想從“微信”“支付寶”“現(xiàn)金”“云閃付”四種支付方式

中選一種方式進行支付，請用畫樹狀圖或列表格的方法，求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率.

【答案】（1）200,90°

（2）見解析（3）兩人恰好選擇同一種支付方式的概率為

4

【解析】

【分析】（1）用微信支付的人數(shù)除以所占的百分比得到調(diào)查的總?cè)藬?shù)，然后用360°乘以喜歡用微信的人

數(shù)的百分比得到“微信”支付的扇形圓心角的度數(shù)；

（2）先計算出用公交卡和現(xiàn)金支付的人數(shù)，然后補全條形統(tǒng)計圖：

（3）畫樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果數(shù)，找出兩人恰好選擇同一種支付方式的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概

率公式求解.

【小問1詳解】

解：50+25%=200（人），

所以這次活動共調(diào)查了200人；

在扇形統(tǒng)計圖中，表示“微信”支付的扇形圓心角的度數(shù)=36（）°x25%=9（）°；

故答案為:200,90°；

【小問2詳解】

解：用公交卡支付的人數(shù)為200x30%=60（人），

用現(xiàn)金支付的人數(shù)為200—6（）-45—5（）—15=30（人），

條形統(tǒng)計圖補充為：

解：小明和小亮用甲和乙表示，“微信支付寶"'‘現(xiàn)金"''云閃付"四種支付方式分別用4,B,C,D

表示，畫樹狀圖如下：

開始

ABCD

八/7K

ABCDABCDABCDABCD

由樹狀圖可知，共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中小明和小亮兩人恰好選擇同一種支付方式的有4種結(jié)果，

41

所以兩人恰好選擇同一種支付方式的概率為一=--

164

【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果〃，再從中選出符

合事件A或B的結(jié)果數(shù)目〃?，然后利用概率公式計算事件4或事件B的概率.也考查了條形統(tǒng)計圖和扇形

統(tǒng)計圖.

19.清明是二十四節(jié)氣之一，也是我國的傳統(tǒng)節(jié)日，清明節(jié)吃青團是很多地方的習(xí)俗.清明節(jié)前市場上肉

松蛋黃青團比芝麻青團的進價每盒便宜10元，某商家用800元購進的芝麻青團和用600元購進的肉松蛋黃

青團盒數(shù)相同.在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)芝麻青團每盒售價50元時，每天可售出100盒，當(dāng)每盒售價提高1

元時，每天少售出2盒.

（1）求芝麻青團和肉松蛋黃青團的進價；

（2）已知芝麻青團每盒的售價不高于65元，W表示該商家每天銷售芝麻青團的利潤（單位；元），芝麻

青團每盒售價為多少元時，一天獲得利潤最大？最大利潤是多少元？

【答案】（1）芝麻青團進價為每盒40元，則肉松蛋黃青團的進價為每盒30元；

（2）芝麻青團每盒售價為65元時，一天獲得利潤最大，最大利潤是1750元.

【解析】

【分析】（1）設(shè)芝麻青團的進價為每盒。元，則肉松蛋黃青團的進價為每盒（。一1。）元，根據(jù)商家用8000

元購進的五仁月餅和用6000元購進的豆沙月餅盒數(shù)相同列出分式方程，解方程即可;

(2)由題意得，當(dāng)x=5()時，每天可售出100盒，設(shè)芝麻青團每盒售價x元，則每天可售[100-2(%-50)]

盒，列出每天銷售芝麻青團的利潤W與芝麻青團每盒售價元的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及x的取

值范圍求利潤的最大值.

【小問1詳解】

解：設(shè)芝麻青團的進價為每盒“元，則肉松蛋黃青團的進價為每盒(a-10)元，

解得。=40,

經(jīng)檢驗，a=4()是原方程的根，

此時a—10=40—10=30,

答：芝麻青團的進價為每盒40元，則肉松蛋黃青團的進價為每盒30元;

【小問2詳解】

解：設(shè)芝麻青團每盒售價x元，

根據(jù)題意得：W=(x-40)[100-2(x-50)]

=(x-4())(-2x+2(X))

=-2/+280%-8000

=-2(》-70『+1800,

?；—2<0>

...當(dāng)x<70時，W隨x的增大而增大，

50<x?65>

...當(dāng)尤=65時,W有最大值，最大值為1750,

芝麻青團每盒售價為65元時，一天獲得利潤最大，最大利潤是1750元.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及分式方程的解法，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出每天銷售芝麻青團的利潤

W與芝麻青團每盒售價x的函數(shù)關(guān)系式.

20.如圖，點C在以A3為直徑的：。上，點。是8C的中點，連接。。并延長交(。于點E,作

NEBP=NEBC,BP交OE的延長線于點P.

A

(1)求證：P8是：。的切線；

(2)若4c=2,PD=6,求。的半徑.

【答案】(1)見解析；(2)、萬.

【解析】

【分析】(1)由AB為直徑，可得/ACB=90。，又。為BC中點，。為A8中點，可得0￡>〃AC,從而/

ODB=90°.由OB=OE得NOEB=/OBE,又NOEB=/P+NEBP,ZOBE=ZOBD+ZEBC,所以/P+N

EBP=NOBD+NEBC,又NEBP=NEBC,得.又NBOO+NO8D=90。，從而可得NBOD+N

P=90°,即NOBP=90。.則可證PB為。。切線；

BpDP

(2)由(1)可得。￡)=1,從而。0=7,可證明△BOP?△08P,從而得比例——=—,解得BP二

OPBP

斯，最后由勾股定理可求半徑。8

【詳解】(1)證明：???AB為直徑，

???ZACB=90°,

又。為3C中點，。為中點，

故OZ>gAC，OD//AC,

：.ZODB=ZACB=90°.

?.?OB=OE,

：./OEB=/OBE,

又,：4OEB=/P+/EBP,ZOBE=ZOBD+ZEBC,

：./P+NEBP=NOBD+NEBC,

又NEBP=/EBC,

:?/P=/OBD.

,：ZBOD+ZOBD=9Q°,

：.N8OQ+NP=90。，

???ZOBP=90°.

又08為半徑,

故尸8是。。的切線.

（2）解：'：AC=2,

由（1）得OD=gAC=l,

又PD=6,

：.PO=PD+OD=6+\=1.

?：NP=4P,NBDP=NOBP=90。,

:.△BDP?△OBP.

.BPDP

??—?，

OPBP

即BP2=OP?DP=7x6=42,

?*-BP=742?

；?0B=’OP?”產(chǎn)="—4a=幣.

故。。的半徑為J7.

【點睛】本題屬于圓的綜合問題，考查了圓周角定理，三角形中位線性質(zhì)定理，等腰三角形性質(zhì)，切線的

判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理等知識點，熟練掌握相關(guān)知識點并靈活運用所學(xué)知識是

解題的關(guān)鍵.

21.請閱讀下列解題過程；解一元二次不等式；%2-2%-3<0.

解；設(shè)X2一2%一3=0，解得；X|=-I,x2=3.

則拋物線y=/-2%-3與x軸的交點坐標(biāo)為（-L0）和（3,0）.

畫出二次函數(shù)y=f-2x-3的大致圖象（如圖所示）.

由圖象可知；當(dāng)一1<%<3時函數(shù)圖象位于x軸下方，

此時y<0,即2x—3<0.

所以一元二次不等式2%—3<0的解集為；一l<x<3.

通過對上述解題過程的學(xué)習(xí)，按其解題的思路和方法解答下列問題;

（1）用類似的方法解一元二次不等式；—%2+4工一3〉（）.

（2）某“數(shù)學(xué)興趣小組”根據(jù)以上的經(jīng)驗，對函數(shù)丁=一（》一1乂國一3）的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究

過程如下;

①列表；x與y的幾組對應(yīng)值如表，其中機=

X-4-3-2-101234

y50-3m-3010-3

②如圖，在直角坐標(biāo)系中畫出了函數(shù)y=—（x—。（兇―3）的部分圖象，用描點法將這個圖象補畫完整.

③結(jié)合函數(shù)圖象，解決下列問題；不等式T4一（％一1乂兇一3）W0的解集為；

（2）①-4；②見解析；③—或3WxW4.3

【解析】

【分析】（1）依照例題，先求得+4x_3=0的解，再畫出、=一爐+4%-3的草圖，觀察圖象即可求解;

（2）①當(dāng)x=-l時，代入數(shù)據(jù)求解即可;

②描點，連線，即可畫出函數(shù)圖象；

③觀察圖象即可求解.

【小問1詳解】

解：設(shè)—了2+4x—3=0,解得；玉=1,々=3,

則拋物線y=-/+4x-3與x軸的交點坐標(biāo)為(1,0)和(3,0),

畫出二次函數(shù)y=——+4x-3的大致圖象(如圖所示)，

由圖象可知；當(dāng)l<x<3時函數(shù)圖象位于x軸上方，

此時y>0,即—幺+4%—3>0，

所以一元二次不等式—d+4x—3>0的解集為：1<%<3；

【小問2詳解】

解：①當(dāng)兀=一1時，y=-(x-l)(|x|-3)=-(-1-1)(|-1|-3)=-4,即加=14

列表；

X-4-3-2-101234

y50-3-4-3010-3

故答案為：—4；

②描點，連線，函數(shù)y=-(x-D(|x|—3)圖象如圖:

③由圖象可知；由圖象可知：當(dāng)一