專題22.4一元二次方程的解法：因式分解法-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典（解析版）【華師大版】

2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【華師大版】專題22.4一元二次方程的解法：因式分解法姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2020秋?兗州區(qū)期末）方程x（x+3）＝x的解是（）A．x1＝x2＝﹣3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0．x2＝﹣2【分析】方程移項(xiàng)后，提取公因式化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來求解．【解答】解：方程變形得：x（x+3）﹣x＝0，分解因式得：x（x+3﹣1）＝0，可得x＝0或x+2＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2．故選：D．2．（2020秋?玉田縣期末）方程5x2＝4x的解是（）A．x＝0 B．x=4C．x1＝0，x2=45 D．x1＝0或x【分析】利用提公因式法將方程化為x（5x﹣4）＝0，即可求解．【解答】解：5x2＝4x，5x2﹣4x＝0，x（5x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2=4故選：C．3．（2020秋?長垣市期末）方程x（x﹣2）＝2x的解是（）A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝4【分析】先移項(xiàng)，然后提取公因式x，對(duì)等式的左邊進(jìn)行因式分解．【解答】解：∵x（x﹣2）＝2x，∴x（x﹣2）﹣2x＝0，∴x（x﹣4）＝0，則x＝0或x﹣4＝0，解得x1＝0，x2＝4．故選：D．4．（2019秋?樂至縣期末）一元二次方程3x2﹣x＝0的解是（）A．x=13 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2=13 D【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：∵3x2﹣x＝0，∴x（3x﹣1）＝0，∴x＝0或3x﹣1＝0，∴x1＝0，x2=1故選：C．5．（2019秋?鄄城縣期末）解方程（5x﹣3）2＝2（5x﹣3），選擇最適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ牵ǎ〢．直接開平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法【分析】先移項(xiàng)得到（5x﹣3）2﹣2（5x﹣3）＝0，然后根據(jù)因式分解法解方程．【解答】解：（5x﹣3）2﹣2（5x﹣3）＝0，（5x﹣3）（5x﹣3﹣2）＝0，（5x﹣3）（5x﹣3﹣2）＝0解得：x1=35，x2＝故選：D．6．（2021?金鄉(xiāng)縣一模）已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程x2﹣3x＝4（x﹣3）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則該直角三角形斜邊上的中線長是（）A．3 B．4 C．6 D．2.5【分析】先利用因式分解法解方程得到直角三角形兩直角邊分別為3、4，再利用勾股定理計(jì)算出斜邊＝5，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求解．【解答】解：x（x﹣3）﹣4（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，x﹣3＝0或x﹣4＝0，所以x1＝3，x2＝4，則直角三角形兩直角邊分別為3、4，所以斜邊=32所以該直角三角形斜邊上的中線長=5故選：D．7．（2020春?麗水期中）已知三角形兩邊的長分別是8和6，第三邊的長是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則該三角形的面積是（）A．24或25 B．24 C．85 D．24【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝6，x2＝10，當(dāng)?shù)谌呴L為6時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可計(jì)算出底邊上的高＝25，則根據(jù)三角形面積公式可計(jì)算出此時(shí)三角形的面積；當(dāng)?shù)谌呴L為10時(shí)，利用勾股定理的逆定理可判斷三角形為直角三角形，然后根據(jù)三角形面積公式求解．【解答】解：x2﹣16x+60＝0，（x﹣6）（x﹣10）＝0，x﹣6＝0或x﹣10＝0，所以x1＝6，x2＝10，當(dāng)?shù)谌呴L為6時(shí)，三角形為等腰三角形，則底邊上的高=62-42=25，此時(shí)三角形的面積=當(dāng)?shù)谌呴L為10時(shí)，三角形為直角三角形，此時(shí)三角形的面積=12×8×6故選：D．8．（2019?晉江市一模）若x2﹣2px+3q＝0的兩根分別是﹣3與5，則多項(xiàng)式2x2﹣4px+6q可以分解為（）A．（x+3）（x﹣5） B．（x﹣3）（x+5） C．2（x+3）（x﹣5） D．2（x﹣3）（x+5）【分析】先提取公因式2，再根據(jù)已知分解即可．【解答】解：∵x2﹣2px+3q＝0的兩根分別是﹣3與5，∴2x2﹣4px+6q＝2（x2﹣2px+3p）＝2（x+3）（x﹣5），故選：C．9．（2020秋?茌平區(qū)期末）一個(gè)三角形兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x2﹣8x+12＝0的根，則該三角形的周長為（）A．9 B．11 C．13 D．9或13【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣8x+12＝0，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出第三邊的長，則該三角形的周長可求．【解答】解：∵x2﹣8x+12＝0，∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，∴x1＝2，x2＝6，∵三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x2﹣8x+12＝0的根，2+2＜5，2+5＞6，∴三角形的第三邊長是6，∴該三角形的周長為：2+5+6＝13．故選：C．10．（2020?豐澤區(qū)校級(jí)模擬）給出一種運(yùn)算：對(duì)于函數(shù)y＝xn，規(guī)定y'＝n×xn﹣1．若函數(shù)y＝x4，則有y'＝4×x3，已知函數(shù)y＝x3，則方程y'＝9x的解是（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝﹣3【分析】根據(jù)已知得出方程3x2＝9x，求出方程的解即可．【解答】解：∵函數(shù)y＝x3，方程y'＝9x，∴3x2＝9x，3x2﹣9x＝0，3x（x﹣3）＝0，3x＝0，x﹣3＝0，x1＝0，x2＝3，故選：C．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11．（2020秋?甘井子區(qū)校級(jí)期末）x2﹣5x＝0的根為x1＝0，x2＝5．【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：∵x2﹣5x＝0，∴x（x﹣5）＝0，則x＝0或x﹣5＝0，解得x1＝0，x2＝5，故答案為：x1＝0，x2＝5．12．（2020秋?犍為縣期末）一元二次方程x（x+1）﹣2（x+1）＝0的根是x＝﹣1或x＝2．【分析】利用因式分解法求解可得．【解答】解：∵x（x+1）﹣2（x+1）＝0，∴（x+1）（x﹣2）＝0，則x+1＝0或x﹣2＝0，解得x＝﹣1或x＝2，故答案為：x＝﹣1或x＝2．13．（2020秋?曲靖期末）一個(gè)等腰三角形的腰和底邊長分別是方程x2﹣8x+12＝0的兩根，則該等腰三角形的周長是14．【分析】用因式分解法求出方程的兩個(gè)根分別是2和6，有三角形的三邊關(guān)系，2為底，6為腰，可以求出三角形的周長．【解答】解：∵x2﹣8x+12＝0，∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，∴x1＝2，x2＝6．∵三角形是等腰三角形，必須滿足三角形三邊的關(guān)系，∴腰長是6，底邊是2，周長為：6+6+2＝14，故答案為：14．14．（2020?宜城市模擬）一個(gè)菱形的邊長是方程x2﹣7x+10＝0的一個(gè)根，其中一條對(duì)角線長為6，則該菱形的面積為24．【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝5，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得到菱形的邊長為5，利用勾股定理計(jì)算出菱形的另一條對(duì)角線長，然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算．【解答】解：x2﹣7x+10＝0，（x﹣2）（x﹣5）＝0，x﹣2＝0或x﹣5＝0，∴x1＝2，x2＝5，∵菱形一條對(duì)角線長為6，∴菱形的邊長為5，∵菱形的另一條對(duì)角線長＝252-∴菱形的面積=12×6×815．（2020秋?嶧城區(qū)期中）若菱形ABCD的一條對(duì)角線長為8，邊CD的長是方程x2﹣10x+24＝0的一個(gè)根，則該菱形ABCD的周長為24．【分析】解方程得出x＝4，或x＝6，分兩種情況：①當(dāng)AB＝AD＝4時(shí)，4+4＝8，不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)AB＝AD＝6時(shí)，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周長．【解答】解：如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵x2﹣10x+24＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，解得：x＝4或x＝6，分兩種情況：①當(dāng)AB＝AD＝4時(shí)，4+4＝8，不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)AB＝AD＝6時(shí)，6+6＞8，∴菱形ABCD的周長＝4AB＝24．故答案為：24．16．（2021春?西城區(qū)校級(jí)月考）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b、c、d，我們定義運(yùn)算abcd=ad﹣bc，例如：2135=2×5﹣1×3＝7，上述記號(hào)就叫做二階行列式．若xx-26【分析】根據(jù)題中的新定義化簡所求式子，計(jì)算即可求出x的值．【解答】解：根據(jù)題中的新定義得：xx-26x=x2﹣6（x﹣即x2﹣6x+8＝0，分解因式得：（x﹣4）（x﹣2）＝0，解得：x＝4或2．故答案為：2或4．17．（2020?呼和浩特一模）若a≠0，則關(guān)于x的方程a（x+1）＝a的解是x＝0；方程（x﹣1）（x+1）＝x﹣1的解是x＝0或x＝1．【分析】第一個(gè)方程兩邊都除以a可得；第二個(gè)方程利用因式分解法求解可得．【解答】解：∵a≠0，∴方程兩邊都除以a，得：x+1＝1，解得x＝0；∵（x﹣1）（x+1）＝x﹣1，∴（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣1）＝0，則（x﹣1）（x+1﹣1）＝0，即x（x﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，解得x＝0或x＝1，故答案為：x＝0，x＝0或x＝1．18．（2018秋?長沙期末）等腰△ABC的腰和底邊分別是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的兩個(gè)不相等的解，則此三角形的周長為7或8．【分析】首先求出方程的根，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系列出不等式，確定是否符合題意．【解答】解：解方程x2﹣5x+6＝0，得x1＝2，x2＝3，當(dāng)2為腰，3為底時(shí)，2﹣2＜3＜3+3，能構(gòu)成等腰三角形，周長為2+2+3＝7；當(dāng)3為腰，2為底時(shí)，3﹣2＜3＜3+2，亦能構(gòu)成等腰三角形，周長為3+3+2＝8．故周長為7或8，故答案為7或8．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2020秋?南京期末）解方程：（1）x2+2x﹣3＝0；（2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）．【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）∵x2+2x﹣3＝0，∴（x+3）（x﹣1）＝0，則x+3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1；（2）∵3x（x﹣1）＝2（1﹣x），∴3x（x﹣1）＝﹣2（x﹣1），∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，則（x﹣1）（3x+2）＝0，∴x﹣1＝0或3x+2＝0，解得x1＝1，x2=-220．（2018秋?定州市期中）根據(jù)要求解方程（1）x2+3x﹣4＝0（公式法）；（2）x2+4x﹣12＝0（配方法）；（3）（x+4）2＝7（x+4）（適當(dāng)?shù)姆椒ǎ痉治觥浚?）直接求出△＝b2﹣4ac＝25，進(jìn)而利用公式法解方程即可；（2）直接利用配方法解方程得出答案；（3）直接利用提取公因式法解方程得出答案．【解答】解：（1）∵△＝b2﹣4ac＝25＞0，∴x=-3±5解得：x1＝﹣4，x2＝1；（2）x2+4x﹣12＝0，x2+4x＝12，（x+2）2＝16，則x+2＝±4，解得：x1＝﹣6，x2＝2；（3）（x+4）2＝7（x+4）（x+4）[（x+4）﹣7]＝0，則x+4＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣4．21．（2020春?新昌縣期末）解方程：（1）x2﹣4＝0；（2）（x+3）2＝（2x﹣1）（x+3）．【分析】（1）利用直接開平方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣4＝0，∴x2＝4，則x1＝2，x2＝﹣2；（2）∵（x+3）2＝（2