華師版八下數(shù)學平行四邊形(知識歸納)

華東師大版八年級下冊數(shù)學平行四邊形的性質(zhì)及判定平行四邊形的性質(zhì)【知識要點及基礎(chǔ)例題】定義：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形的中心對稱性及性質(zhì)定理1：平行四邊形的對邊相等。例1、如圖所示，已知四邊形ABDE是平行四邊形，C為邊BD延長線上一點，連結(jié)AC、CE，有AC=DE。求證：AD=CE練習：如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點，以AB、BD為鄰邊作平行四邊形ABDE，連結(jié)AD、EC。求證：△ADC≌△ECD平行四邊形性質(zhì)定理2：平行四邊形的對角相等。例2、如圖，在平行四邊形ABCD中，，求平行四邊形ABCD各個內(nèi)角的度數(shù)。平行四邊形性質(zhì)定理3：平行四邊形的對角線互相平分。例3、如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，AB=4，AC=6，并且AB⊥CA，求對角線BD的長。練習：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O。若AC=14，BD=8,AB=10，則△OAB的周長為（）平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是它的對稱中心。平行線間的距離①兩條直線平行，其中一條直線上的任一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離。②平行線的性質(zhì)：平行線之間的距離處處相等。例4、如圖，直線，點P在直線上，點A、B在直線上，設(shè)△PAB面積為S。當點P運動到位置時，△PAB與△的面積相等嗎？為什么？練習：如圖所示，直線和AB的夾角，且AB=50mm,求兩平行線之間的距離?！舅季S拓展】利用平行四邊形的性質(zhì)進行計算例1、若平行四邊形ABCD的對角線相交與O點，且AB≠BC，過O點作OE⊥AC，交BC于E。如果三角形ABE的周長為b。則平行四邊形ABCD的周長是（） （例1圖）例2、如圖，在平行四邊形ABCD中，點E為AD的中點，CE交BA的延長線于點F。若BC=2AB，求的度數(shù)。練習：1、如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE向上翻折，點A正好落在CD上的點F，若△FDE的周長為8，△FCB的周長為12，則FC的長為（）如圖，在平行四邊形ABCD中，，將平行四邊形ABCD折疊，使點D、C分別落在點F、E處（點F、E都在AB所在的直線上），折痕為MN，則等于（）利用平行四邊形的性質(zhì)進行證明例3、如圖甲所示，在平行四邊形ABCD中，AE、BF分別平分,并分別交CD于點E、F,AE、BF相交于點M。（1）求證：AE⊥BF；（2）判斷線段DF與CE的大小關(guān)系，并予以證明。（兩種解法）練習：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，O是對角線AC的中點，過點O的直線EF分別交AB、DC于點E、F，與CB、AD的延長線分別交于點G、H。除AB=CD，AD=BC，OA=OC這三對相等的線段外，圖中還有多對相等的線段，請選出其中一對加以證明．與平行四邊形面積有關(guān)的計算例4、如圖，點E是平行四邊形ABCD內(nèi)任意一點，平行四邊形ABCD的面積是6，連結(jié)點E與平行四邊形的四個頂點，求圖中陰影部分的面積。練習：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點E為AC上一點，AE=2EC，點F為AB上一點，BF=2AF，△BEF的面積為2平方厘米，求平行四邊形ABCD的面積。利用平行四邊形的性質(zhì)進行方案設(shè)計例5、如圖是一塊平行四邊形貼片ABCD，且AB=2AD?，F(xiàn)在想用這塊貼片截出一個直角三角形，并要求斜邊與AB重合，且面積最大，能否截出符合條件的三角形？如果能截出，畫出截線；如果不能截出，請說明理由。練習：張大伯承包了一個呈四邊形的池塘：如圖所示，它的四個角A，B，C，D處均有一棵核桃樹，張大伯今年養(yǎng)魚喜獲豐收，明年準備把池塘面積擴大一倍，但又不想毀掉這四棵大樹，并且擴建后的池塘呈平行四邊形形狀．張大伯這一設(shè)想是否能實現(xiàn)？請你幫助他解決一下，并畫出草圖． 平行四邊形的判定【知識要點及基礎(chǔ)例題】平行四邊形的判定方法1：定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。例1、如圖所示，已知四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，P、Q分別是AB、CD上的點，且AP=CQ，求證：四邊形PDQB為平行四邊形。 平行四邊形判定方法2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。例2、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M、N分別是CD、AB上的點，CM=AN，E、F是AC上的點，且AE=CF.求證：四邊形MENF是平行四邊形。平行四邊形判定3：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。例3、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點E是AD的中點，BE的延長線與CD的延長線交于點F?！鰽BE≌△DFE（2）試連結(jié)BD、AF，判斷四邊形ABDF的形狀。平行四邊形判定4：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。例4、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是對角線A、C的三等分點，求證：四邊形BFDE是平行四邊形。平行四邊形判定5：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。例5、如圖所示，AE、CF分別是平行四邊形ABCD的內(nèi)角的平分線。求證：四邊形AECF是平行四邊形?！铩锲叫兴倪呅闻卸ǚ椒ǖ倪x擇平行四邊形的五種判定方法：①定義法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。這五種判定方法分別是從四邊形的邊、角、對角線三個方面來判定，我們應(yīng)仔細觀察題目中所給出的條件，仔細選擇適合題目的判定方法進行解答。在這五種方法中，有一種與對角線有關(guān)，一種與對角有關(guān)，其他三種與邊有關(guān)，這五種判定方法還與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，注意區(qū)別與聯(lián)系?！锲叫兴倪呅闻卸ǚ椒ㄟx擇已知條件選擇的判定方法邊一組對邊相等方法2，方法3一組對邊平行定義（方法1），方法3角一組對角相等方法5對角線方法4例6、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點E、F在AC上且AF=CE,點G、H分別在AB、CD上且AG=CH,AC與GH相交于點O。（1）求證：EG∥FH（2）GH、EF互相平分。 【拓展提高】例1、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，以對角線AC為邊長在其兩側(cè)各作一個正△ACP和正△ACQ,求證：四邊形BPDQ是平行四邊形。例2、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點E、F在對角線AC上，且AF=CE.求證：四邊形BEDF是平行四邊形。（多種方法證明）例3、如圖所示，已知現(xiàn)有六邊形的鐵板ABCDEF,其中∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°，AB=10cm，BC=70cm，CD=20cm，DE=40cm，求AF和EF的長．（兩種思路）例4、加倍中線構(gòu)造平行四邊形解題如圖所示，已知AD為△ABC的中線，E為AC上一點，連結(jié)BE交AD于點F且AE=FE。求證：AC=BF例5、與平行四邊形相關(guān)的動點問題如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC=6cm,點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以1cm/s的速度由A向D運動，Q以2cm/s的速度由C出發(fā)向B運動，幾秒后，四邊形ABQP是平行四邊形？【規(guī)律總結(jié)】1、證明兩條線段相等的常用方法：①等角對等邊；②“三線合一”的性質(zhì)；③證明兩線段所在三角形全等；④平行四邊形對邊相等或?qū)蔷€互相平分。當題中有三角形中線時，常加倍中線構(gòu)造平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)推出線段相等、平行或角相等。例5、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AD、BC上的點，請你自行規(guī)定E、F在邊AD、BC上的位置，然后補充題設(shè)，提出結(jié)論并證明（要求至少編制兩個正確命題，且補充題設(shè)不能相同）例6、如圖所示，某城市部分街道示意圖，其中CD垂直平分AF，AB∥CD，BC∥DF。從B站乘車到E站只有兩條路線有直接到達的公交車，路線1是B?D?A?E，路線2是B?C?F?E，請比較兩條路線路程的長短，并給出證明．

【中考對接】（廈門)如圖所示，已知△ABC是等邊三角形，點D、F分別在線段BC、AB上，，∠EFB=60°，DC=EF．求證四邊形EFCD是平行四邊形。若BF=EF,求證：AE=AD

(2010江蘇）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點E、F是對角線AC上兩點，且AE=CF。求證：【強化練習】（天津）如圖所示，點D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，連結(jié)DE、EF、FD,則圖中平行四邊形的個數(shù)為()個如圖所示，D、E、F分別在△ABC的各邊上且DE∥AF,DE=AF,延長FD至G，使FG=2DF。求證：ED與AG互相平分。-