新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點突破課件 第1部分 專題突破 專題4　第2講　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（含解析）

第2講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系專題四

立體幾何考情分析高考對此部分的考查，一是空間線面關(guān)系的命題的真假判斷，以選擇題、填空題的形式考查，屬于基礎(chǔ)題；二是空間線線、線面、面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，一般以選擇題、填空題或解答題的第(1)問的形式考查，屬中檔題.考點一空間直線、平面位置關(guān)系的判定考點二空間平行、垂直關(guān)系考點三翻折問題專題強(qiáng)化練內(nèi)容索引空間直線、平面位置關(guān)系的判定考點一判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項判斷，解決問題.(2)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線、面的位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行判斷.核心提煉

(1)(多選)已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是A.若α∥β，m?α，n?β，則m∥nB.若m⊥α，m∥n，n⊥β，則α∥βC.若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nD.若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β√例1√A選項，兩個平行平面內(nèi)的兩條直線，可能平行，或者異面，A選項錯誤；B選項，若m⊥α，n⊥β，則直線m，n對應(yīng)的方向向量m，n可看作α，β的法向量，由于m∥n，又α，β是兩個不同的平面，則α∥β，故B選項正確；C選項，若兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于兩個平面交線的直線才垂直于另一個平面，從選項中無法判斷m，n和交線的位置關(guān)系，因此m，n可能相交但不垂直，平行，異面但不垂直，C選項錯誤；D選項，若m?β，又m⊥α，根據(jù)面面垂直的判定定理，即有α⊥β，若m?β，由于m∥n，n∥β，則m∥β，過m任作一個平面，使其和β相交于直線c，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，m∥c，又m⊥α，則c⊥α，結(jié)合c?β，即α⊥β，故D選項正確.(2)(多選)(2022·金麗衢十二校聯(lián)考)每個面均為正三角形的八面體稱為正八面體，如圖.若點G，H，M，N分別是正八面體ABCDEF的棱DE，BC，AD，BF的中點，則下列結(jié)論正確的是A.四邊形AECF是平行四邊形B.GH與MN是異面直線C.GH∥平面EABD.GH⊥BC√√連接AC，EF，BD，MH，EH，EM，則AC與EF相交且相互平分，故四邊形AECF為平行四邊形，故A正確；所以AE∥CF.又G，H，M，N分別是正八面體ABCDEF的棱DE，BC，AD，BF的中點，所以GM∥AE，NH∥CF，所以GM∥NH，且GM＝NH，所以四邊形MNHG是平行四邊形，故B錯誤；易證平面MNHG∥平面EAB，又GH?平面MNGH，所以GH∥平面EAB，故C正確；因為EH⊥BC，MH⊥BC，EH∩MH＝H，所以BC⊥平面EMH，而GH?平面EMH，GH∩EH＝H，所以GH與BC不垂直，故D錯誤.對于線面關(guān)系的存在性問題，一般先假設(shè)存在，然后再在該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足，則假設(shè)成立；若得出矛盾，則假設(shè)不成立.規(guī)律方法(1)(多選)(2022·湖南師大附中模擬)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，直線A1C與平面AB1D1的交點為M，O為線段B1D1的中點，則下列結(jié)論正確的是A.A，M，O三點共線

B.M，O，A1，A四點共面C.B，B1，O，M四點共面

D.A，O，C，M四點共面跟蹤演練1√√√如圖，因為AA1∥CC1，則A，A1，C1，C四點共面.因為M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，則點M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理，O，A也在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，所以A，M，O三點共線，從而M，O，A1，A四點共面，A，O，C，M四點共面.由長方體性質(zhì)知，OM，BB1是異面直線，即B，B1，O，M四點不共面.(2)設(shè)點E為正方形ABCD的中心，M為平面ABCD外一點，△MAB為等腰直角三角形，且∠MAB＝90°，若F是線段MB的中點，則A.ME≠DF，且直線ME，DF是相交直線B.ME＝DF，且直線ME，DF是相交直線C.ME≠DF，且直線ME，DF是異面直線D.ME＝DF，且直線ME，DF是異面直線√連接EF，如圖所示，由題意知AB⊥AD，AB⊥AM，AM＝AD，AB＝AB，則Rt△BAM≌Rt△BAD，所以BM＝BD，因為E，F(xiàn)分別為BD，BM的中點，則EF∥DM，故四邊形FMDE是等腰梯形，所以ME＝DF，且直線ME，DF是相交直線.空間平行、垂直關(guān)系考點二平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化核心提煉

如圖，四邊形AA1C1C為矩形，四邊形CC1B1B為菱形，且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，D，E分別為邊A1B1，C1C的中點.(1)求證：BC1⊥平面AB1C；例2∵四邊形AA1C1C為矩形，∴AC⊥C1C，

又平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，平面CC1B1B∩平面AA1C1C＝CC1，∴AC⊥平面CC1B1B，∵C1B?平面CC1B1B，∴AC⊥C1B，又四邊形CC1B1B為菱形，∴B1C⊥BC1，∵B1C∩AC＝C，AC?平面AB1C，B1C?平面AB1C，∴BC1⊥平面AB1C.(2)求證：DE∥平面AB1C.如圖，取AA1的中點F，連接DF，EF，∵四邊形AA1C1C為矩形，E，F(xiàn)分別為C1C，AA1的中點，∴EF∥AC，又EF?平面AB1C，AC?平面AB1C，∴EF∥平面AB1C，同理可得DF∥平面AB1C，∵EF∩DF＝F，EF?平面DEF，DF?平面DEF，

∴平面DEF∥平面AB1C，∵DE?平面DEF，∴DE∥平面AB1C.(1)證明線線平行的常用方法①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質(zhì)定理；④面面平行的性質(zhì)定理.(2)證明線線垂直的常用方法①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質(zhì)證線線垂直.規(guī)律方法

(2022·西安模擬)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別是線段A1B，AC1的中點.(1)求證：MN⊥AA1；跟蹤演練2連接A1C，如圖，因為在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C為平行四邊形，故A1C和AC1相交，且交點為它們的中點N，又因為M為A1B的中點，所以MN為△A1BC的中位線，所以MN∥BC.因為AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以AA1⊥BC，所以AA1⊥MN，即MN⊥AA1.(2)在線段BC1上是否存在一點P，使得平面MNP∥平面ABC？若存在，指出點P的具體位置；若不存在，請說明理由.存在，當(dāng)P為BC1的中點時，平面MNP∥平面ABC.連接PN，PM，如圖，因為N為AC1的中點，P為BC1的中點，所以PN∥AB，又PN?平面ABC，AB?平面ABC，所以PN∥平面ABC，又由(1)知MN∥BC，BC?平面ABC，MN?平面ABC，故MN∥平面ABC，又MN∩PN＝N，MN，PN?平面PMN，所以平面MNP∥平面ABC.翻折問題考點三翻折問題，關(guān)鍵是分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變，一般地，位于“折痕”同側(cè)的點、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點、線、面之間的位置關(guān)系會發(fā)生變化；對于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決.核心提煉(1)(2022·南寧模擬)已知正方形ABCD中E為AB中點，H為AD中點，F(xiàn)，G分別為BC，CD上的點，CF＝2FB，CG＝2GD，將△ABD沿著BD翻折得到空間四邊形A1BCD，則在翻折過程中，以下說法正確的是A.EF∥GH

B.EF與GH相交C.EF與GH異面

D.EH與FG異面√例3如圖，由CF＝2FB，CG＝2GD，由E為AB中點，H為AD中點，所以EH∥FG，且EH≠FG，所以四邊形EFGH為梯形.梯形EFGH的兩腰EF，HG延長必交于一點，所以EF與GH相交，EH與FG平行，故選項A，C，D不正確，選項B正確.(2)(多選)(2022·山東名校大聯(lián)考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點，則在△ADE翻折的過程中，下面四個命題中正確的是A.BM的長是定值B.點M的運動軌跡在某個圓周上C.存在某個位置，使DE⊥A1CD.A1不在底面BCD上時，MB∥平面A1DE√√√如圖所示，取CD的中點F，連接MF，BF，AC，易得MF∥A1D，BF∥DE，∵M(jìn)F?平面A1DE，A1D?平面A1DE，∴MF∥平面A1DE，同理可得BF∥平面A1DE，又MF∩BF＝F，MF，BF?平面BMF，∴平面BMF∥平面A1DE，∵BM?平面BMF，∴BM∥平面A1DE，D選項正確；又∠BFM＝∠A1DE，由余弦定理知，MB2＝MF2＋BF2－2MF·BF·cos∠MFB，∴BM為定值，A選項正確；∴點M的運動軌跡在以點B為圓心，BM為半徑的圓周上，B選項正確；∵A1C在平面ABCD中的射影在直線AC上，且AC與DE不垂直，∴不存在某個位置，使DE⊥A1C，C選項錯誤.注意圖形翻折前后變與不變的量以及位置關(guān)系.對照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系.易錯提醒

(多選)如圖，在矩形ABCD中，BC＝1，AB＝x，BD和AC交于點O，將△BAD沿直線BD翻折，則下列說法中正確的是A.存在x，在翻折過程中存在某個位置，

使得AB⊥OCB.存在x，在翻折過程中存在某個位置，

使得AC⊥BDC.存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AB⊥平面ACDD.存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AC⊥平面ABD跟蹤演練3√√√當(dāng)AB＝x＝1時，此時矩形ABCD為正方形，則AC⊥BD，將△BAD沿直線BD翻折，當(dāng)平面ABD⊥平面BCD時，因為OC⊥BD，OC?平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以O(shè)C⊥平面ABD，又AB?平面ABD，所以AB⊥OC，故A正確；又OC⊥BD，OA⊥BD，且OA∩OC＝O，OA，OC?平面OAC，所以BD⊥平面OAC，又AC?平面OAC，所以AC⊥BD，故B正確；即AB⊥AC，且AC∩AD＝A，AC，AD?平面ACD，則此時滿足AB⊥平面ACD，故C正確；若AC⊥平面ABD，又AO?平面ABD，則AC⊥AO，所以在△AOC中，OC為斜邊，這與OC＝OA相矛盾，故D不正確.所以將△BAD沿直線BD翻折時，總有AB⊥AD，專題強(qiáng)化練一、單項選擇題1.(2022·龍巖質(zhì)檢)已知三條直線a，b，c，若a和b是異面直線，b和c是異面直線，那么直線a和c的位置關(guān)系是A.平行

B.相交C.異面

D.平行、相交或異面√1234567891011121314畫圖分析可知空間直線的三種位置關(guān)系均有可能，故D正確.2.(2022·湖北八市聯(lián)考)設(shè)α，β為兩個不同的平面，則α∥β的一個充要條件可以是A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行

B.α，β垂直于同一個平面C.α，β平行于同一條直線

D.α，β垂直于同一條直線√1234567891011121314對于A，α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行不能得出α∥β，α內(nèi)的所有直線與β平行才能得出，故A錯誤；對于B，C，α，β垂直于同一平面或α，β平行于同一條直線，不能確定α，β的位置關(guān)系，故B，C錯誤；對于D，α，β垂直于同一條直線可以得出α∥β，反之，當(dāng)α∥β時，若α垂直于某條直線，則β也垂直于該條直線.123456789101112131412345678910111213143.正方體上的點M，N，P，Q是其所在棱的中點，則下列各圖中直線MN與直線PQ是異面直線的圖形是√1234567891011121314對于A，易證MQ∥NP，所以A不符合題意；對于B，如圖，因為平面ABCD∥平面A1B1C1D1，MN?平面A1B1C1D1，PQ?平面ABCD，所以MN與PQ無公共點，因為MN與PQ不平行，所以MN與PQ是異面直線，所以B符合題意；對于C，易證PM∥NQ，所以C不符合題意；對于D，易證MN∥PQ，所以D不符合題意.4.(2022·華中師大附中模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是A1D的中點，則下列說法正確的是A.直線PB與直線D1C平行，直線PB⊥平面A1C1DB.直線PB與直線AC異面，直線PB⊥平面ADC1B1C.直線PB與直線B1D1相交，直線PB?平面ABC1D.直線PB與直線A1D垂直，直線PB∥平面B1D1C√12345678910111213141234567891011121314如圖，連接DB，A1B，D1B1，D1C，B1C，PB，AC，DC1，AB1，由正方體的性質(zhì)知，A1B∥D1C，又A1B與PB相交，所以PB與D1C不平行，故A錯誤；顯然，直線PB與直線AC異面，直線A1B⊥平面ADC1B1，而直線PB與A1B不平行，所以直線PB不與平面ADC1B1垂直，故B錯誤；直線PB與直線B1D1異面，不相交，故C錯誤；1234567891011121314因為BA1＝BD，P是A1D的中點，所以直線PB與直線A1D垂直，又DB∥D1B1，A1B∥D1C，DB?平面B1D1C，A1B?平面B1D1C，A1B∩DB＝B，A1B，DB?平面BDA1，D1C，D1B1?平面B1D1C，所以平面BDA1∥平面B1D1C，又PB?平面BDA1，所以直線PB∥平面B1D1C，故D正確.5.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A－BCD，則在三棱錐A－BCD中，下列結(jié)論正確的是A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC√12345678910111213141234567891011121314如圖所示，因為AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝AB，所以四邊形ABCD為直角梯形.且∠ABD＝∠ADB＝∠DBC＝45°.又因為∠BCD＝45°，所以∠CDB＝90°，即CD⊥BD.又因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD，CD⊥BD，所以CD⊥平面ABD，1234567891011121314若平面ABC⊥平面ABD，那么CD?平面ABC，顯然不成立，故A錯誤；因為CD⊥平面ABD，AB?平面ABD，所以CD⊥AB.又AB⊥AD，AD∩CD＝D，AD，CD?平面ADC，所以AB⊥平面ADC.又因為AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故D正確；1234567891011121314因為平面ABD⊥平面BCD，過點A作平面BCD的垂線AE，垂足E落在BD上，顯然垂線不在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC與平面BDC不垂直，故C錯誤，同理B也錯誤.6.(2022·中山模擬)如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，過A1B且與AC1平行的平面交B1C1于點P，則PC1等于√1234567891011121314連接AB1，交A1B于點Q，連接PA1，PB，PQ，如圖所示.因為AC1∥平面A1BP，AC1?平面AB1C1，且平面AB1C1∩平面A1BP＝PQ，所以AC1∥PQ，又點Q是AB1的中點，所以P是B1C1的中點，所以PC1＝1.12345678910111213141234567891011121314二、多項選擇題7.(2022·邵陽模擬)如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，則A.BD∥平面EGHFB.FH∥平面ABCC.AC∥平面EGHFD.直線GE，HF，AC交于一點√√因為BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD.又E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，1234567891011121314易知BD∥平面EGHF，F(xiàn)H與AC為相交直線，即A正確，B，C錯誤；因為EFHG為梯形，所以EG與FH必相交，設(shè)交點為M，因為EG?平面ABC，F(xiàn)H?平面ACD，則M是平面ABC與平面ACD的一個交點，所以M∈AC，即直線GE，HF，AC交于一點，所以D正確.8.如圖1，已知E為正方形ABCD的邊AB的中點，將△DAE沿邊DE翻折到△PDE，連接PC，PB，EC，設(shè)F為PC的中點，連接BF，如圖2，則在翻折的過程中，下列命題正確的是A.存在某一翻折位置，使得DE∥平面PBCB.在翻折的過程中(點P不在平面BCDE內(nèi))，

都有BF∥平面PDEC.存在某一翻折位置，使得PE⊥CDD.若PD＝CD＝PC＝4，則三棱錐P－CDE的外接球的表面積為1234567891011121314√√√對于A選項，取DC的中點G，連接BG，因為BE∥GD，BE＝GD，所以四邊形DEBG為平行四邊形，所以DE∥GB，而BG與平面PBC相交，所以DE與平面PBC相交，故A錯誤；對于B選項，連接FG，則FG∥PD，由DE∥GB，易證平面BFG∥平面EPD，而BF?平面BFG，所以BF∥平面PDE，故B選項正確；對于C選項，因為PE⊥PD，要使得PE⊥CD，則PE⊥平面PCD，則PE⊥PC，而EC＝ED，此時，只需要PC＝PD即可，故C選項正確；1234567891011121314對于D選項，由PD＝CD＝PC＝4可知，PE⊥平面PCD，PE＝2，1234567891011121314設(shè)三棱錐P－CDE的外接球半徑為R，三、填空題9.已知l是平面α，β外的直線，給出下列三個論斷：①l∥α；②α⊥β；③l⊥β.以其中兩個論斷為條件，余下的論斷為結(jié)論，寫出一個正確命題：__________________________________________.(用序號表示)1234567891011121314若①③，則②或若②③，則①(填寫一個即可)因為當(dāng)l∥α，α⊥β時，l與β可能平行或者相交，所以①②作為條件，不能得出③；因為l∥α，所以α內(nèi)存在一條直線m與l平行，又l⊥β，所以m⊥β，所以可得α⊥β，即①③作為條件，可以得出②；因為α⊥β，l⊥β，所以l∥α或者l?α，因為l是平面α外的直線，所以l∥α，即②③作為條件，可以得出①.123456789101112131410.三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝1，過線段BC的中點E作平面EFGH與直線AB，CD都平行，且分別交BD，AD，AC于F，G，H，則四邊形EFGH的周長為____.123456789101112131421234567891011121314因為AB∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH＝EH，AB?平面ABC，所以AB∥EH，又點E為BC中點，所以四邊形EFGH的周長為2.123456789101112131411.已知三棱臺ABC－A1B1C1的上、下底面均為正三角形，AB＝1，A1B1＝2，側(cè)棱長AA1＝BB1＝CC1，若AA1⊥BB1，則此棱臺的高為____.1234567891011121314由已知可得該三棱臺為正三棱臺，還原成棱錐如圖所示，由于下底邊長是上底邊長的兩倍，∴大棱錐的高為棱臺的高的兩倍，取BC的中點D，B1C1的中點D1，連接PD，DD1，AD，A1D1，O，O1分別是上、下底面的中心，連接PO，OO1.易知P，D，D1三點共線，P，O，O1三點共線.OO1即為該棱臺的高.由正棱臺性質(zhì)可得BC⊥PD1，BC⊥PO，PO∩PD1＝P，PO，PD1?平面PD1A1，∴BC⊥平面PD1A1，PA1?平面PD1A1，∴BC⊥PA1，又∵AA1⊥BB1，BB1∩BC＝B，BB1，BC?平面PB1C1，故AA1⊥平面PB1C1，∴A1P⊥PD1.又AB＝1，A1B1＝2，123456789101112131412.如圖，把邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折起，使A，C的距離為a，則異面直線AC與BD的距離為____.1234567891011121314如圖，分別取AC，BD的中點S，E，連接AE，CE，SB，SD，SE.則AE⊥BD，CE⊥BD，又AE∩CE＝E，AE，CE?平面ACE，則BD⊥平面ACE，則SE⊥BD，AC⊥SD，AC⊥SB，又SD∩SB＝S，SD，SB?平面SBD，則AC⊥平面SBD，則SE⊥AC，則SE是異面直線AC與BD的公垂線段，123456789101112131412345678910111213141234567891011121314四、解答題13.(2022·全國乙卷)如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E為AC的中點.(1)證明：平面BED⊥平面ACD；因為AD＝CD，E為AC的中點，所以AC⊥DE.在△ADB和△CDB中，因為AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，DB＝DB，所以△ADB≌△CDB，所以BA＝BC，又E為AC的中點，所以AC⊥BE.因為BE∩DE＝E，且BE，DE?平面BED，所以AC⊥平面BED，又AC?平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.12345678910111213141234567891011121314(2)設(shè)AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，點F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時，求三棱錐F－ABC的體積.123