系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

根軌跡的基本條件、幅值方程、相角方程，常規(guī)根軌跡繪制的基本規(guī)則，廣義根軌跡的繪制、根軌跡圖分析系統(tǒng)的動態(tài)、靜態(tài)特性。知識要點第一頁第二頁，共79頁。4.1根軌跡的基本概念4.1.1根軌跡

設控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)開環(huán)極點有兩個系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為其特征根為第二頁第三頁，共79頁。時，系統(tǒng)特征根(閉環(huán)極點)變化情況如下：當系統(tǒng)的閉環(huán)極點為開環(huán)極點；時，閉環(huán)極點為兩個互不相等的負實根時，閉環(huán)極點為兩個相等的負實根時，閉環(huán)極點為實部為負的共軛復根。2.當3.當4.當?shù)谌摰谒捻?，?9頁。系統(tǒng)的根軌跡圖

由根軌跡圖可以直觀地分析參數(shù)K變化時系統(tǒng)的各項性能。第四頁第五頁，共79頁。當從0變化到時，根軌跡均在s平面的左半平面，時，閉環(huán)極點為負實根，系統(tǒng)為過阻尼時，閉環(huán)極點為重根，系統(tǒng)為臨界阻尼狀態(tài)，閉環(huán)極點為實部為負的共軛復根，因此，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。狀態(tài)，系統(tǒng)的階躍響應為單調變化。系統(tǒng)的階躍響應為單調變化。系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)的階躍響應為衰減振蕩，且系統(tǒng)的超調量隨值增大而增大，但是調節(jié)時間不變。第五頁第六頁，共79頁。4.1.2根軌跡的基本條件

對于典型的負反饋控制系統(tǒng)，如圖4-3所示，圖4-3反饋控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為第六頁第七頁，共79頁。系統(tǒng)的特征方程為：

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（4-2）第七頁第八頁，共79頁。滿足式（4-2）的點，必定是根軌跡上的點，式（4-2）稱作根軌跡的基本方程（或根軌跡的基本條件）。因為s是復變量，所以式（4-2）可以寫成式（4-3）幅值(模值)條件和式（4-4）相角條件。（4-3）（4-4）第八頁第九頁，共79頁。當系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為零、極點表示形式，即式（4-5）：

（4-5）為系統(tǒng)的開環(huán)零點；

為系統(tǒng)的開環(huán)極點；

為系統(tǒng)的根軌跡增益。第九頁第十頁，共79頁。根軌跡的幅值條件和相角條件又可表示為：

假設研究系統(tǒng)的根軌跡增益閉環(huán)系統(tǒng)的特征根的軌跡，根軌跡。

則稱為典型根軌跡或常規(guī)根軌跡或從零變化到無窮遠時，第十頁第十一頁，共79頁。4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則規(guī)則1根軌跡的起點與終點根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。當時，為根軌跡的起點，求得根軌跡的起點為，即系統(tǒng)的開環(huán)極點。時，由根軌跡方程知根軌跡的終點為，即系統(tǒng)的開環(huán)零點。第十一頁第十二頁，共79頁。但是，當時，條根軌跡趨向于開環(huán)零點（稱為有限零點），還有條根軌跡將趨于無窮遠處（稱為無限零點）。

如果出現(xiàn)的情況，必有條根軌跡的起點在無窮遠處。

第十二頁第十三頁，共79頁。規(guī)則2根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性根軌跡的分支數(shù)等于，根軌跡對稱于實軸并且連續(xù)變化。由根軌跡的對稱性和連續(xù)性，根軌跡只需作出上半部分，對稱畫出另一部分，且根軌跡連續(xù)變化。第十三頁第十四頁，共79頁。規(guī)則3根軌跡的漸近線

當開環(huán)極點數(shù)大于開環(huán)零點數(shù)時，有n-m條根軌跡趨于無窮遠處，無窮遠處的漸近線與實軸的交點為，漸近線與實軸正方向的夾角(傾角)為第十四頁第十五頁，共79頁。例4-1單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有三個極點：開環(huán)無零點，即系統(tǒng)有三條根軌跡，分別起始于三個開環(huán)極點三條根軌跡趨向于無窮遠處，其漸近線與實軸交點坐標為第十五頁第十六頁，共79頁。漸近線與實軸正方向的夾角為第十六頁第十七頁，共79頁。三條漸近線如圖4-4所示。圖4-4根軌跡的漸近線第十七頁第十八頁，共79頁。規(guī)則4:實軸上的根軌跡段實軸上的根軌跡區(qū)段位于其右邊開環(huán)零、極點數(shù)目總和為奇數(shù)的區(qū)域。第十八頁第十九頁，共79頁。規(guī)則5根軌跡的分離點和會合點

幾條根軌跡在s平面上相遇后又分開（或分開后又相遇）的點，稱為根軌跡的分離點（或會合點）。1.重根法根軌跡的分離點（或會合點）是系統(tǒng)特征方程的重根，可以采用求重根的方法確定其位置。設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為（4-15）第十九頁第二十頁，共79頁。特征方程有重根的條件（4-16）分離點（或會合點）為重根，必然同時滿足方程式（4-15）和式（4-16），聯(lián)立求解得分離點（或會合點）的d所對應的值為

第二十頁第二十一頁，共79頁。2．極值法由系統(tǒng)的特征方程式（4-15）求極值得即可確定分離點（或會合點）的值。

3．零、極點法第二十一頁第二十二頁，共79頁。必須說明，采用上式確定的是特征方程的重根點，對分離點（或會合點）來說，它只是必要條件而非充分條件，也就是說它的解不一定是分離點（或會合點），是否是分離點（或會合點）還要看其它規(guī)則。第二十二頁第二十三頁，共79頁。例4-2已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為分離點（或會合點）的確定

解得：，對應的對應的所以在根軌跡段上是分離點；而不在根軌跡段上，則舍棄。第二十三頁第二十四頁，共79頁。系統(tǒng)的根軌跡圖第二十四頁第二十五頁，共79頁。1）實軸上兩個相鄰的開環(huán)極點之間為根軌跡段則一定有分離點；2）實軸上兩個相鄰的開環(huán)零點之間為根軌跡段則一定有會合點；3）實軸上一個開環(huán)零點和一個開環(huán)極點之間為根軌跡段則或一定既有分離點又有會合點，或既沒有分離點又沒有會合點。

當然，分離點（會合點）可以是實數(shù)，也可以是復數(shù)，兩個相鄰的開環(huán)復極點（或零點）之間可能有分離點（或會合點）。第二十五頁第二十六頁，共79頁。規(guī)則6根軌跡的起始角和終止角

根軌跡從開環(huán)極點出發(fā)時的切線與正實軸的夾角，稱為根軌跡的起始角；根軌跡進入開環(huán)零點時切線與正實軸的夾角，稱為根軌跡的終止角。第二十六頁第二十七頁，共79頁。規(guī)則7根軌跡上分離點（會合點）的分離角（會合角）在分離點處（會合點）根軌跡離開（進入）實軸的相角為規(guī)則8根軌跡與虛軸的交點為趨向或離開實軸的根軌跡的分支數(shù)。方法一：令

代入特征方程得聯(lián)立求解得到臨界增益及虛軸交點

第二十七頁第二十八頁，共79頁。方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)的臨界穩(wěn)定狀態(tài)求取。例4-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為

方法一第二十八頁第二十九頁，共79頁。方法二：列勞斯表為系統(tǒng)穩(wěn)定條件為

系統(tǒng)臨界增益K=6由輔助方程

所以根軌跡與虛軸的交點為

第二十九頁第三十頁，共79頁。規(guī)則9根之和當系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分母和分子的次數(shù)滿足時，則系統(tǒng)開環(huán)極點之和總是等于系統(tǒng)閉環(huán)特征根規(guī)則10根之積根據(jù)特征方程根和系數(shù)的關系，得第三十頁第三十一頁，共79頁。例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)極點為漸近線于實軸的交點為漸近線的傾角為與虛軸的交點為第三十一頁第三十二頁，共79頁。根軌跡的分會點：第三十二頁第三十三頁，共79頁。第三十三頁第三十四頁，共79頁。第三十四頁第三十五頁，共79頁。第三十五頁第三十六頁，共79頁。例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)極點為漸近線于實軸的交點為漸近線的傾角為與虛軸的交點為第三十六頁第三十七頁，共79頁。根軌跡的分會點：第三十七頁第三十八頁，共79頁。第三十八頁第三十九頁，共79頁。第三十九頁第四十頁，共79頁。4.4廣義根軌跡常規(guī)根軌跡的繪制規(guī)則是以負反饋系統(tǒng)的根軌跡增益為可變參數(shù)給出的。但是，實際系統(tǒng)中可能研究其它參數(shù)變化（如開環(huán)零點、開環(huán)極點、時間常數(shù)等）對系統(tǒng)特征根的影響，或研究正反饋系統(tǒng)參數(shù)變化的根軌跡等，上面這些根軌跡統(tǒng)稱為廣義根軌跡。第四十頁第四十一頁，共79頁。4.4.1參數(shù)根軌跡以非K為可變參數(shù)的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡，可以研究系統(tǒng)的開環(huán)零點、極點、時間常數(shù)等對系統(tǒng)性能的影響。對于參數(shù)根軌跡的繪制可采用等效傳遞函數(shù)的原則，即由系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，求出所研究參數(shù)類似K位置的等效開環(huán)傳遞函數(shù)，則常規(guī)根軌跡繪制的所有規(guī)則均適用于參數(shù)根軌跡的繪制。第四十一頁第四十二頁，共79頁。例4-7已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制極點

時系統(tǒng)的根軌跡。等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為第四十二頁第四十三頁，共79頁。第四十三頁第四十四頁，共79頁。4.4.2多參數(shù)根軌跡族有時需要研究多個參數(shù)同時變化時對系統(tǒng)性能的影響，構成了多參數(shù)的根軌跡族。以兩個參數(shù)為例：第一步：選取一個參數(shù)為零，繪制另一個參數(shù)變化的根軌跡。第二步：令

，繪制另一個參數(shù)變化的根軌跡。由系統(tǒng)的特征方程得系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為第四十四頁第四十五頁，共79頁。第四十五頁第四十六頁，共79頁。4.4.3正反饋系統(tǒng)的根軌跡（零度根軌跡）在有些系統(tǒng)中，內環(huán)是一個正反饋回路，其正反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為第四十六頁第四十七頁，共79頁。繪制系統(tǒng)根軌跡的幅值條件和相角條件可寫為：

這種根軌跡為零度根軌跡。對于零度根軌跡繪制的規(guī)則，可由常規(guī)根軌跡繪制規(guī)則和相角有關的適當調整得到，修改的規(guī)則有：第四十七頁第四十八頁，共79頁。規(guī)則3根軌跡的漸近線

當開環(huán)極點數(shù)大于開環(huán)零點數(shù)時，有n-m條根軌跡趨于無窮遠處，漸近線與實軸正方向的夾角為規(guī)則4實軸上的根軌跡

實軸上的根軌跡區(qū)段位于其右邊開環(huán)零、極點數(shù)目總和為偶數(shù)的區(qū)域。規(guī)則6根軌跡的起始角和終止角

開環(huán)極點出發(fā)的起始角第四十八頁第四十九頁，共79頁。根軌跡終止于開環(huán)零點的終止角

例4-9已知負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為將開環(huán)傳遞函數(shù)化成標準的零極點形式，即

第四十九頁第五十頁，共79頁。等效為正反饋的開環(huán)傳遞函數(shù)第五十頁第五十一頁，共79頁。4.5根軌跡分析系統(tǒng)的性能根軌跡分析系統(tǒng)首先由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)繪制出系統(tǒng)的根軌跡，然后再由根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性。4.5.1根軌跡確定系統(tǒng)的閉環(huán)極點根軌跡繪出的是系統(tǒng)根軌跡增益變化特征根的軌跡，對于某一增益下的閉環(huán)極點可由幅值條件試探來確定。例4-10設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為第五十一頁第五十二頁，共79頁。1.試采用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2.求系統(tǒng)的閉環(huán)極點；3.求取系統(tǒng)的單位階躍響應及超調量和過渡過程時間。解：根軌跡分析系統(tǒng)，為此，構造增益可變的系統(tǒng)為繪制的根軌跡，如圖4-13所示

第五十二頁第五十三頁，共79頁。圖4-13系統(tǒng)的根軌跡圖第五十三頁第五十四頁，共79頁。從根軌跡圖可知，系統(tǒng)的增益時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

時，特征值為負實根，系統(tǒng)的響應為單調衰減；

時，系統(tǒng)的主導極點為共軛復根，系統(tǒng)的響應為衰減振蕩。本例中

因此，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，系統(tǒng)的主導極點為共軛復根，

試探求得系統(tǒng)的主導極點為

第五十四頁第五十五頁，共79頁。根據(jù)根之和的關系得系統(tǒng)的另外一個閉環(huán)極點為

可近似為如下的二階系統(tǒng)第五十五頁第五十六頁，共79頁。系統(tǒng)的超調量和過渡過程時間為第五十六頁第五十七頁，共79頁。4.5.2根軌跡分析系統(tǒng)的動態(tài)特性閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)特性由閉環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點來決定，系統(tǒng)閉環(huán)極點可由根軌跡圖求得，而閉環(huán)零點為前向通道傳遞函數(shù)的零點和反饋通道傳遞函數(shù)的極點共同確定。1.穩(wěn)定性若閉環(huán)極點均在根平面的左半平面，則系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，即參數(shù)變化時的根軌跡均在s的左半平面。2.運動形式若閉環(huán)極點均為左半平面的實數(shù)極點，則系統(tǒng)的動態(tài)響應為單調變化，系統(tǒng)可近似為一階系統(tǒng)；若離虛軸最近的極點為復數(shù)極點，則系統(tǒng)的動態(tài)特性為衰減振蕩，系統(tǒng)可近似為二階系統(tǒng)。3.動態(tài)性能指標根軌跡分析系統(tǒng)的動態(tài)性能指標可采用主導極點來估算。第五十七頁第五十八頁，共79頁。例：已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為1）試畫出系統(tǒng)的根軌跡；2）求系統(tǒng)具有最小阻尼比時的閉環(huán)極點，對應的K值及性能指標；3）若要求系統(tǒng)的阻尼比為0.866時，求閉環(huán)極點；4）若求K=1時的閉環(huán)極點。第五十八頁第五十九頁，共79頁。d1=-1.17K1=0.34d2=-6.28K2=11.79β第五十九頁第六十頁，共79頁。過原點作圓的切線，得最小阻尼比線，等腰直角三角形，第六十頁第六十一頁，共79頁。根據(jù)阻尼比的要求，做出等阻尼比線交點對應的閉環(huán)極點求K=1時的閉環(huán)極點，可采用試探法。第六十一頁第六十二頁，共79頁。第六十二頁第六十三頁，共79頁。4.5.3開環(huán)零點對根軌跡的影響系統(tǒng)中增加開環(huán)零點，對系統(tǒng)的性能的影響，通過舉例來說明。解：（1）當

時，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

即表示零點不存在，系統(tǒng)的根軌跡如圖4-15(a)所示第六十三頁第六十四頁，共79頁。（2）當根軌跡如圖4-15(b)所示；（3）當根軌跡如圖4-15(c)所示；（4）當根軌跡如圖4-15(d)所示；（5）當根軌跡如圖4-15(e)所示；（6）當根軌跡如圖4-15(f)所示。第六十四頁第六十五頁，共79頁。圖4-15不同值下系統(tǒng)的根軌跡圖4-15不同值下系統(tǒng)的根軌跡第六十五頁第六十六頁，共79頁。

4.6MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡對于比較復雜的系統(tǒng)，人工繪制根軌跡十分復雜和困難，MATLAB繪制系統(tǒng)根軌跡是十分方便的。通常將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下形式分別為分子和分母多項式。

采用MATLAB命令：

pzmap(num,den)可以繪制系統(tǒng)的零、極點圖；

rlocus(num,den)可以繪制系統(tǒng)的根軌跡圖；

rlocfind(num,den)可以確定系統(tǒng)根軌跡上某些點的增益。第六十六頁第六十七頁，共79頁。例4-14已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為確定系統(tǒng)開環(huán)零、極點的位置。解：在MATLAB命令窗口輸入

num=[251];den=[14138];pzmap(num,den);title（‘Pole-zeroMap’）執(zhí)行后得到如圖4-17所示的零、極點圖。第六十七頁第六十八頁，共79頁。在MATLAB命令窗口輸入

num=[251];den=[14138];rlocus(num,den)執(zhí)行后得到如圖所示系統(tǒng)的根軌跡圖。第六十八頁第六十九頁，共79頁。例4-16已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試分別繪制解：在MATLAB命令窗口輸入不同值，時系統(tǒng)的根軌跡。num=[11];den=[1

00];rlocus(num,den)執(zhí)行后得到如圖4-19所示不同值下系統(tǒng)的根軌跡圖。第六十九頁第七十頁，共79頁。第七十頁第七十一頁，共79頁。例4-17已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的根軌跡圖，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍。解：在MATLAB命令窗口輸入

num=[11];den=conv(conv([10],[1-1]),[1416]);rlocus(num,den)執(zhí)行后得到如圖所示系統(tǒng)的根軌跡圖。第七十一頁第七十二頁，共79頁。圖4-20系統(tǒng)根軌跡圖第七十二頁第七十三頁，共79頁。圖4-21求取系統(tǒng)穩(wěn)定開環(huán)增益第七十三頁第七十四頁