第03講一次函數(shù)的應(yīng)用（重難點(diǎn)突破）原卷版

第03講一次函數(shù)的應(yīng)用（重難點(diǎn)）【知識(shí)點(diǎn)一、數(shù)學(xué)建模的一般思路】數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，從而得到解決問題的最佳方案、最佳策略.在建模的過程中，為了既合乎實(shí)際問題又能求解，這就要求在諸多因素中抓住主要因素進(jìn)行抽象化簡(jiǎn)，而這一過程恰是我們的分析、抽象、綜合、表達(dá)能力的體現(xiàn).函數(shù)建模最困難的環(huán)節(jié)是將實(shí)際情景通過數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為什么樣的函數(shù)模型.【知識(shí)點(diǎn)二、正確認(rèn)識(shí)實(shí)際問題的應(yīng)用】在實(shí)際生活問題中，如何應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解題，關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，即列出符合題意的函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)綜合方程（組）、不等式（組）及圖象求解.注意：要注意結(jié)合實(shí)際，確定自變量的取值范圍，這是應(yīng)用中的難點(diǎn)，也是中考的熱門考點(diǎn).【知識(shí)點(diǎn)三、選擇最簡(jiǎn)方案問題】分析問題的實(shí)際背景中包含的變量及對(duì)應(yīng)關(guān)系，結(jié)合一次函數(shù)的解析式及圖象，通過比較函數(shù)值的大小等，尋求解決問題的最佳方案，體會(huì)函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型在分析解決實(shí)際問題中的重要作用.(一)方案選擇問題例1．4月23日是“世界讀書日”，某書店在這一天舉行了購(gòu)書優(yōu)惠活動(dòng)，有兩種優(yōu)惠方案可以選擇：方案一：享受當(dāng)天購(gòu)書按標(biāo)價(jià)總額8折的普通優(yōu)惠；方案二：50元購(gòu)買一張“書香城市紀(jì)念卡”，當(dāng)天憑卡購(gòu)書，享受標(biāo)價(jià)總額在普通優(yōu)惠的基礎(chǔ)上再打折的優(yōu)惠．設(shè)小明當(dāng)天購(gòu)書標(biāo)價(jià)總額為x元，方案一應(yīng)付元，方案二應(yīng)付元．(1)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)通過計(jì)算說明選擇哪種購(gòu)書方案更劃算；(2)直接寫出與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)小明如何選擇購(gòu)書方案才更劃算？【變式訓(xùn)練11】、暑期將至，某健身俱樂部面向?qū)W生推出暑期優(yōu)惠活動(dòng)，活動(dòng)方案如下．方案一：購(gòu)買一張學(xué)生暑期專享卡，每次健身費(fèi)用按六折優(yōu)惠；方案二：不購(gòu)買學(xué)生暑期專享卡，每次健身費(fèi)用按八折優(yōu)惠．設(shè)某學(xué)生暑期健身x（次），按照方案一所需費(fèi)用為（元），且；按照方案二所需費(fèi)用為（元），且．其函數(shù)圖象如圖所示．(1)求k1和b的值，并說明它們的實(shí)際意義；(2)求打折前的每次健身費(fèi)用和的值；(3)八年級(jí)學(xué)生小華計(jì)劃暑期前往該俱樂部健身7次，應(yīng)選擇哪種方案所需費(fèi)用更少？請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練12】、書法是中華民族的文化瑰寶，是人類文明的寶貴財(cái)富，是我國(guó)基礎(chǔ)教育的重要內(nèi)容．某校準(zhǔn)備在某超市為書法課購(gòu)買一批毛筆和宣紙，已知毛筆的單價(jià)為5元，宣紙的單價(jià)為0.36元．該校準(zhǔn)備購(gòu)買毛筆50支，宣紙張（），該超市給出以下兩種優(yōu)惠方案．方案：購(gòu)買一支毛筆，贈(zèng)送一張宣紙；方案：購(gòu)買的宣紙超出200張的部分打七五折，毛筆不打折．設(shè)方案的總費(fèi)用為元，方案的總費(fèi)用為元．(1)請(qǐng)分別求出，與之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)若該校準(zhǔn)備購(gòu)買的宣紙超過200張，則選擇哪種方案更合算？請(qǐng)說明理由．(二)分配方案問題例2．2022年河南省全民健身（線上）運(yùn)動(dòng)會(huì)最終各獎(jiǎng)項(xiàng)于12月20日公布，此次盛會(huì)充分展示疫情防控常態(tài)化下我省全民健身開展情況，某健身房于此推出“云健身”服務(wù)，針對(duì)特殊人群開展活動(dòng)．活動(dòng)方案如下：方案一：不購(gòu)買“云”，每次收費(fèi)10元；方案二：購(gòu)買“云”，每次另行額外收費(fèi)．設(shè)王先生“云健身”次數(shù)為（次，按照方案一所需費(fèi)用為（元，且；按照方案二所需費(fèi)用為（元，且．其函數(shù)圖象如圖所示．(1)；購(gòu)買“云”需元；(2)兩種方案的函數(shù)圖象交于點(diǎn)，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)并解釋點(diǎn)的實(shí)際意義；(3)若王先生準(zhǔn)備“云健身”25次，選擇方案（選填“一”或“二”所需費(fèi)用較少；若王先生準(zhǔn)備180元進(jìn)行“云健身”，選擇方案（選填“一”或“二”可以獲得更多的次數(shù)．【變式訓(xùn)練21】、水果成熟愁煞人，政府幫忙銷四方．某市果農(nóng)種植的甲、乙兩種水果，成熟后受季節(jié)氣溫影響急于銷售，為了解決果農(nóng)之憂，王老板決定每次都從該市果農(nóng)處購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷售．為了感謝王老板，對(duì)乙種水果按40元/千克的價(jià)格批發(fā)出售．設(shè)王老板購(gòu)進(jìn)甲種水果x千克，付款y元，與之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：(1)求出當(dāng)0≤x≤60和x＞60時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若王老板計(jì)劃一次性購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種水果共120千克，且甲種水果不少于乙種水果的，乙種水果不少于35千克，才能使王老板付款總金額W（元）最少？(3)若甲、乙兩種水果的銷售價(jià)格分別為54元/千克和52元/千克，王老板將甲、乙兩種水果按（6﹣m）：（1+m）的比例購(gòu)進(jìn)兩種水果共210千克，求m的最大值．【變式訓(xùn)練22】、隨著個(gè)人用戶對(duì)打印機(jī)需求量的增加，某文具店用6000元購(gòu)進(jìn)了若干臺(tái)A型打印機(jī)，用10000元購(gòu)進(jìn)了相同數(shù)量的B型打印機(jī)．已知B型打印機(jī)比A型打印機(jī)的單價(jià)貴200元．(1)B型打印機(jī)的單價(jià)是多少元？(2)為了促銷，批發(fā)商針對(duì)B型打印機(jī)推出以下團(tuán)購(gòu)優(yōu)惠方案：一次性購(gòu)買不超過20臺(tái)，則每臺(tái)B型打印機(jī)享九折優(yōu)惠；若一次性購(gòu)買超過20臺(tái)，則前20臺(tái)享九折優(yōu)惠，超過的部分享八折優(yōu)惠．設(shè)購(gòu)買B型打印機(jī)x臺(tái)，所需費(fèi)用為y元，請(qǐng)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．(3)在（2）的優(yōu)惠方案下，若購(gòu)買A型、B型打印機(jī)共35臺(tái)，且購(gòu)買A型打印機(jī)的數(shù)量不超過B型打印機(jī)數(shù)量的，如何購(gòu)買才能使花費(fèi)最少？最少花費(fèi)為多少元？(三)最大利潤(rùn)問題例3．開封刺繡歷史悠久，早在北宋時(shí)期就已聞名，民間多把開封刺繡稱為“汴繡”，2008年入選中國(guó)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，某網(wǎng)店老板小杰在開封某汴繡專營(yíng)店選中A，B兩款高端汴繡，決定從該店進(jìn)貨并銷售，已知兩款汴繡的進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：類別價(jià)格A款汴繡B款汴繡進(jìn)貨價(jià)（元/件）8001400銷售價(jià)（元/件）9801680(1)第一次小杰用24400元購(gòu)進(jìn)了A，B兩款汴繡共20件，求兩款汴繡名購(gòu)進(jìn)多少件；(2)第二次小杰進(jìn)貨時(shí)，計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A款汴繡數(shù)量不少于B款汴繡數(shù)量的，且小杰計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩款汴繡共30件，應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？(3)受疫情影響，社會(huì)消費(fèi)需求收縮，小杰為快速實(shí)現(xiàn)資金回流，計(jì)劃對(duì)A款汴繡打8折出售并贈(zèng)送成本為26元的某景區(qū)門票一張，對(duì)B款汴繡打n折出售，若以（2）中可獲得最大利潤(rùn)的進(jìn)貨方案為基礎(chǔ)，請(qǐng)計(jì)算B款汴繡打幾折出售時(shí)，A，B兩款沐繡的銷售總額恰好實(shí)現(xiàn)盈虧平衡？【變式訓(xùn)練31】、草莓是一種極具營(yíng)養(yǎng)價(jià)值的水果，某水果店以元購(gòu)進(jìn)兩種不同品種的盒裝草莓，若按標(biāo)價(jià)出售可獲毛利潤(rùn)元毛利潤(rùn)售價(jià)進(jìn)價(jià)，這兩種盒裝草莓的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)如下表所示：價(jià)格品種品種品種進(jìn)價(jià)（元盒）

標(biāo)價(jià)（元盒）

(1)求這兩個(gè)品種的草莓各購(gòu)進(jìn)多少盒；(2)該店計(jì)劃下周購(gòu)進(jìn)這兩種品種的草莓共盒每種品種至少進(jìn)盒，并在兩天內(nèi)將所進(jìn)草莓全部銷售完畢（損耗忽略不計(jì)）．因品種草莓的銷售情況較好，水果店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)品種的盒數(shù)不低于品種盒數(shù)的倍，且品種不少于盒．如何安排進(jìn)貨，才能使毛利潤(rùn)最大，最大毛利潤(rùn)是多少？(3)該店第二次進(jìn)貨時(shí)采用了中的設(shè)計(jì)方案，并且兩次購(gòu)進(jìn)的草莓全部售出，請(qǐng)從利潤(rùn)率的角度分析，對(duì)于該店來說哪一次更合算？注：利潤(rùn)率．【變式訓(xùn)練32】、某公司有型產(chǎn)品40件，型產(chǎn)品60件，分配給甲、乙兩個(gè)商店銷售，其中70件給甲店，30件給乙店，且全部售出，兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)如表所示：型產(chǎn)品利潤(rùn)型產(chǎn)品利潤(rùn)甲店200元/件170元/件乙店160元/件150元/件(1)設(shè)分配給甲店型產(chǎn)品件，這家公司賣出這100件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為（元），求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出的取值范圍．(2)為了促銷，公司決定僅對(duì)甲店型產(chǎn)品讓利銷售，每件讓利元，但讓利后型產(chǎn)品每件的利潤(rùn)仍高于甲店型產(chǎn)品每件的利潤(rùn)，其它利潤(rùn)不變，問該公司如何設(shè)計(jì)分配方案，可使得總利潤(rùn)最大？(四)行程問題例4．在河道，兩個(gè)碼頭之間有客輪和貨輪通行．一天，客輪從碼頭勻速行駛到碼頭，同時(shí)貨輪從碼頭出發(fā)，運(yùn)送一批物資勻速行駛到碼頭，兩船距碼頭的距離與行駛時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)根據(jù)圖象解決下列問題：(1)，兩個(gè)碼頭之間的距離是________；(2)求客輪距碼頭的距離與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)請(qǐng)問兩船出發(fā)多久相遇？并求出當(dāng)兩船相遇時(shí)距離碼頭的距離．【變式訓(xùn)練41】、快、慢兩車分別從相距的甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，勻速行駛，先相向而行，途中慢車因故停留了小時(shí)，然后繼續(xù)以原速駛向甲地，到達(dá)甲地后即停止行駛；快車到達(dá)乙地后，立即按原路原速返回甲地（調(diào)頭時(shí)間忽略不計(jì)），如圖是快、慢兩車距乙地路程與所用時(shí)間之間的圖象，結(jié)合圖象解答下列問題：(1)慢車的行駛速度為____，的值為____，快車的行駛速度為____；(2)快車與慢車第一次相遇時(shí)，距離甲地的路程是_____千米；(3)兩車出發(fā)后______小時(shí)相距的路程為千米．【變式訓(xùn)練42】、甲、乙兩地相距千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)開往乙地．如圖，線段表示貨車離甲地距離千米與時(shí)間小時(shí)之間的函數(shù)關(guān)系；折線表示轎車離甲地距離千米與小時(shí)之間的函數(shù)關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)圖象解答下列問題：(1)求線段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．(2)貨車從甲地出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間被轎車追上？此時(shí)離甲地的距離是多少千米？(3)轎車到達(dá)乙地后，貨車距乙地多少千米．(五)幾何問題例5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4．(1)求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若動(dòng)點(diǎn)在線段和射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練51】、如圖，已知直線與軸交于點(diǎn)、與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求的面積；(3)在直線上是否存在點(diǎn)，使的面積是的面積的？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【變式訓(xùn)練52】、如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)，的面積也發(fā)生變化．(1)寫出的面積y與的長(zhǎng)之間的關(guān)系式；(2)當(dāng)時(shí)，求y的值．(六)水費(fèi)問題例6．某市自來水公司為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，采用按月用水量分段收費(fèi)的方法，如圖，是居民用戶應(yīng)交水費(fèi)y（元）與用水量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系．(1)分別寫出和時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．(2)若某用戶該月用水量為21噸，則應(yīng)交水費(fèi)多少元？【變式訓(xùn)練61】、某市自來水公司收費(fèi)是階段性收費(fèi)，每個(gè)月用水不超過時(shí)收費(fèi)