四川省遂寧市射洪中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

射洪中學(xué)高2022級(jí)高二（上）期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、考號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫在本試卷上無效.3.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上.寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第I卷（選擇題）一、單選題1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】按照復(fù)數(shù)的定義展開即可.【詳解】，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限故選：B.2.空間四邊形中，=（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算即可求解.【詳解】,故選：C3.中國是世界上最古老的文明中心之一，中國古代對(duì)世界上最重要的貢獻(xiàn)之一就是發(fā)明了瓷器，中國陶瓷是世界上獨(dú)一無二的.它的發(fā)展過程蘊(yùn)藏著十分豐富的科學(xué)和藝術(shù)，陶瓷形狀各式各樣，從不同角度詮釋了數(shù)學(xué)中幾何的形式之美.現(xiàn)有一橢圓形明代瓷盤，經(jīng)測量得到圖中數(shù)據(jù)，則該橢圓瓷盤的焦距為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用橢圓的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】設(shè)該磁盤所在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意易知該橢圓的長軸長為，短軸長為，故焦距為.故選：B4.為了豐富學(xué)生的假期生活，某學(xué)校為學(xué)生推薦了《西游記》《紅樓夢》《水滸傳》和《三國演義》部名著．甲同學(xué)準(zhǔn)備從中任意選擇部進(jìn)行閱讀，那么《紅樓夢》被選中的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出從4部名著中任選2部的選法，再求出《紅樓夢》被選中的選法，進(jìn)而可得得出結(jié)果.【詳解】從4部名著中任選2部共有種選法，其中《紅樓夢》被選中的選法有種，所以《紅樓夢》被選中的概率為.故選：C5.若點(diǎn)在圓：的外部，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可知點(diǎn)與圓心的距離大于圓的半徑，由此可以列出與有關(guān)的不等式，從而解不等式即可求解.【詳解】一方面：將圓：化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，首先有圓心，其次圓的半徑滿足，解得，另一方面：又因?yàn)辄c(diǎn)在圓：的外部，所以，即，解得；綜上所述：的取值范圍為.故選：A.6.已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，且直線與直線平行，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓關(guān)于直線對(duì)稱，所以圓心在直線上，又由直線與直線平行，從而求解.【詳解】由圓關(guān)于直線對(duì)稱，所以圓心在直線上，又因?yàn)橹本€與直線平行，所以：設(shè)直線方程：，將圓心代入得：，得直線方程：，故B項(xiàng)正確.故選：B.7.已知直線和圓相交于兩點(diǎn)．若，則的值為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用點(diǎn)線距離公式及幾何法求圓的弦長公式列方程求半徑即可.【詳解】由圓心為原點(diǎn)，則圓心到直線距離，又，所以.故選：C8.已知橢圓：的離心率為，，分別為的左、右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若的面積等于4，且，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用橢圓離心率，可設(shè)，，在中結(jié)合余弦定理，面積公式可以求出，進(jìn)而求出橢圓方程.【詳解】因?yàn)闄E圓離心率為，故可設(shè)，，則橢圓的方程為.由橢圓的定義可知，，在中，，由余弦定理可知，所以，即，所以，又因?yàn)?，，所以，所以，解得，所以橢圓的方程為.故選：C二、多選題9.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋瑒t，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D錯(cuò)誤；故選：AC10.下列說法中，正確的有（）A.直線在軸上的截距為1B.直線的傾斜角C.直線必過定點(diǎn)D.點(diǎn)到直線的距離為1【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)直線的相關(guān)概念和定義逐個(gè)判定即可.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)解得，所以直線在軸上的截距為1，A正確；對(duì)于B：直線的斜率，所以，又，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：直線滿足當(dāng)時(shí)無論參數(shù)取什么值時(shí)，恒成立，所以過定點(diǎn)，C正確；對(duì)于D：點(diǎn)到直線的距離為，D正確，故選：ACD11.已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，，設(shè)直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A. B.橢圓C的離心率為C.直線l的方程為 D.的周長為【答案】AC【解析】【分析】先由題意求出即可判斷A；再根據(jù)離心率公式即可判斷B；由點(diǎn)差法可以求出直線l的斜率，由直線的點(diǎn)斜式化簡即可判斷C；由焦點(diǎn)三角形的周長公式即可判斷D.【詳解】如圖所示：根據(jù)題意，因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以，則，故選項(xiàng)A正確；橢圓C的離心率為，故選項(xiàng)B不正確；不妨設(shè)，則，，兩式相減得，變形得，又注意到點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)橹本€l過，所以的周長為，故選項(xiàng)D不正確.故選：AC．12.在平面直角坐標(biāo)系中，圓，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為B.已知點(diǎn)，圓上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為C.過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為可以為D.過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則直線恒過定點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，轉(zhuǎn)化為與直線距離為的兩條直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可；對(duì)B，由點(diǎn)與圓在直線的同側(cè)，利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化為異側(cè)，則當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)取最小值，且最小值為；對(duì)C，求出最大值為，即最大為；對(duì)D，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，求出切點(diǎn)弦方程，不論如何變化，直線恒過定點(diǎn).【詳解】選項(xiàng)A，由題意知，圓心到直線的距離為，圓的半徑為，由，如圖可知與直線平行且與直線距離為的其中一條直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)，另一條直線與圓相離，即圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故A正確；選項(xiàng)B，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，解得，即，則，即的最小值為，故B正確；選項(xiàng)C，由切點(diǎn)為，則在中，，當(dāng)最小時(shí)，取最大值，最大，過點(diǎn)作，垂足為，此時(shí)最小，最小值為，即最大值為，最大為，不可能為，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，設(shè)點(diǎn)，切點(diǎn)，可得切線方程為，由點(diǎn)在切線上，得，同理可得，故點(diǎn)都直線上，即直線的方程為，又由點(diǎn)在直線上，則，代入直線方程整理得，由解得，即直線恒過定點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.第II卷（非選擇題）三、填空題13.已知兩直線與之間的距離為___________.【答案】【解析】【分析】利用兩平行線之間的距離公式直接求解.【詳解】直線，與之間的距離為故答案為：.14.已知橢圓的方程為，則該橢圓的長軸長為______．【答案】4【解析】【分析】橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后可得長半軸長，從而得長軸長．【詳解】由題意橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，所以，長軸長為．故答案為：4.15.已知F為橢圓的右焦點(diǎn)，P為C上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式及點(diǎn)在橢圓上，即求.【詳解】由題意，，設(shè)，則，解得，即.故答案為：.16.已知直線：與直線：相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，在圓：上，且，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，所過定點(diǎn)以及二者垂直確定點(diǎn)P的軌跡方程，再根據(jù)動(dòng)點(diǎn)，在圓：上，且，確定AB的中點(diǎn)E的軌跡方程，結(jié)合，以及兩圓上兩點(diǎn)間的距離范圍，即可求得答案.【詳解】由直線：與直線：，知，所以直線與直線垂直，直線：即，故過定點(diǎn)，：即，故過定點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，該圓圓心為，半徑為，即點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑的圓，所以點(diǎn)的軌跡方程是，因?yàn)閳A的方程為，所以圓心，半徑，取的中點(diǎn)，連接，則，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑的圓，所以，而，且，即圓與點(diǎn)的軌跡外離；則，即，所以的取值范圍是，故答案為：四、解答題17.已知直線，直線，設(shè)直線與的交點(diǎn)為A，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.（1）經(jīng)過點(diǎn)P且與直線垂直的直線方程；（2）求以為直徑圓的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】第一問運(yùn)用直線垂直的定義得到斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式方程求解即可，第二問通過聯(lián)立直線得到關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，求出圓的半徑和圓心后用標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可.【小問1詳解】易知的斜率為，故所求直線斜率是直線過點(diǎn)，故直線方程為方程為【小問2詳解】聯(lián)立方程組解得故，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得中點(diǎn)坐標(biāo)為由兩點(diǎn)間距離公式得，故所求圓方程為18.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量判定線面平行；（2）利用空間向量研究平面夾角即可.【小問1詳解】易知，又底面底面，，故可以為中心，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則．取，則．所以是平面的一個(gè)法向量．因?yàn)?，且平面，所以平面．小?詳解】由（1）可知，又因?yàn)槠矫妫云矫妫允瞧矫娴囊粋€(gè)法向量．設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.19.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，.（1）求橢圓的方程；（2）若直線交橢圓于，兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓經(jīng)過的兩點(diǎn)可求，即可得橢圓方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可求面積.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，得，解得.所以橢圓的方程為.【小問2詳解】聯(lián)立方程組消去，得.解得或不妨設(shè)，，則.20.為了增強(qiáng)學(xué)生愛黨愛國主義情懷，某中學(xué)舉行二十大黨知識(shí)比賽活動(dòng)，甲、乙、丙三名同學(xué)同時(shí)回答一道有關(guān)黨的知識(shí)問題.已知甲同學(xué)回答正確這道題的概率是，甲、丙兩名同學(xué)都回答錯(cuò)誤的概率是，乙、丙兩名同學(xué)都回答正確的概率是.若各同學(xué)回答是否正確互不影響.（1）求乙、丙兩名同學(xué)各自回答正確這道題的概率；（2）求甲、乙、丙三名同學(xué)中不少于2名同學(xué)回答正確這道題的概率.【答案】（1）和（2）【解析】【分析】（1）記“甲同學(xué)回答正確這道題”，“乙同學(xué)回答正確這道題”，“丙同學(xué)回答正確這道題”分別為事件A，B，C，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，列出方程組，即可求解；（2）根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式，分別求得0名同學(xué)回答正確和1名同學(xué)回答正確的概率，結(jié)合對(duì)立事件的概率公式，即可求解.【小問1詳解】記“甲同學(xué)回答正確這道題”，“乙同學(xué)回答正確這道題”，“丙同學(xué)回答正確這道題”分別為事件A，B，C，則，，，即，所以，，所以乙、丙兩名同學(xué)各自回答正確這道題的概率為和.【小問2詳解】有0名同學(xué)回答正確的概率，有1名同學(xué)回答正確的概率，所以不少于2名同學(xué)回答正確這道題的概率.21.如圖，四面體中，，，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）設(shè)，，點(diǎn)在上；①點(diǎn)為中點(diǎn)，求與所成的角的余弦值；②當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）①；②【解析】【分析】（1）證明線面垂直，再由線面垂直求證即可得證；（2）①根據(jù)異面直線所成的角定義作出角，再解三角形即可得解,②作出與平面所成的角，解三角形得解.【小問1詳解】因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以，在和中，所以，所以，又E為的中點(diǎn)，所以，又平面，，所以平面.又因?yàn)槠矫妫?；【小?詳解】①取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，如圖，則，，所以（或其補(bǔ)角）為與所成的角，由且，所以是等邊三角形，則，由且，E為的中點(diǎn)，所以，在等腰直角中，，在中，，由知為直角三角形，所以，在中，由余弦定理得，，所以，在中，，由余弦定理得，在中，，，所以，故，中，，，故，所以與所成的角的大小.②連接，如圖，由（1）知，平面，平面，所以，則，當(dāng)時(shí)最小，即的面積最小.因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，作于（或交延長線），因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面，所以（或其補(bǔ)角）為與平面所成的角，由知，所以，在直角中，，在直角中，，所以，在等腰中，，所以，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.22.已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)，連線的斜率之積為.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，直線，與直線分別交于，兩點(diǎn).求證：以為直徑的圓恒過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)列式求解，同時(shí)注意定義域即可；(2)聯(lián)立與橢圓的方程，設(shè)，，得出韋達(dá)定理，進(jìn)而求得的坐標(biāo)表達(dá)式，進(jìn)而求得的長及的中點(diǎn)，寫出以為直徑的圓的方程，即可分