單位根的性質(zhì)的應(yīng)用

文檔來(lái)源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯歡迎下載支持.單位根的性質(zhì)的應(yīng)用把1的每一個(gè)n(n∈N)次方根叫做n次單位根，簡(jiǎn)稱(chēng)單位根．1的n個(gè)單位根表示數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以大大地簡(jiǎn)化解證題過(guò)程．下面僅把下文中用到的單位根的性質(zhì)列舉如下：性質(zhì)12n1n1L0,進(jìn)而可推廣為若z1且z≠，則z的任意連續(xù)n個(gè)整數(shù)次冪的和為0，本結(jié)論可表示為：mmmn110zzLzmZmnkkmkZ性質(zhì)2,下面簡(jiǎn)要說(shuō)明單位根性質(zhì)的應(yīng)用．一、在復(fù)數(shù)計(jì)算中的應(yīng)用．計(jì)算：2199912iL2000i(答案：－1000(1＋i))二、在復(fù)數(shù)證明中的應(yīng)用n例2求證：二項(xiàng)方程xzzC,z0,nN,n1的n個(gè)根的和為零．注：本題如應(yīng)用韋達(dá)定理證，也較為簡(jiǎn)單)三、在求三角函數(shù)式的值方面的應(yīng)用練習(xí)題：四、在恒等式證明中的應(yīng)用證明：∵ε是1的七次方根，則71．∴原式得證．練習(xí)題：x^n=1的根k=cos(2kπ/n)+i*sin(2kπ/n)，k=0,1,...,n-1,稱(chēng)為n次單位根性質(zhì)一：n次單位根的模為1，即|k|=11文檔來(lái)源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯歡迎下載支持.性質(zhì)二：兩個(gè)n次單位根j與k的乘積還是一個(gè)n次單位根，且jkj+k推論1：εj-1=-j推論2：εkm=mk推論3：若k除以n的余數(shù)為r，則k=r注：它說(shuō)明k等價(jià)于r=0推論4：任何一個(gè)單位根都可以寫(xiě)成1的冪，即k=說(shuō)明：除了1，還有沒(méi)有另一個(gè)單位根k使任何一個(gè)單位根都是k的冪，回答是肯定的，并稱(chēng)這樣的根為n次本原根，n次原根。從而所有n次單位根還可以寫(xiě)作,1,?,1n(0=1)‘推論5：一個(gè)n次單位根的共軛也是一個(gè)n次單位根，即k‘k=|k|2，εk‘=1/k=-k=n-k(由推論3)因?yàn)閗=n-k()注：由上證明看到1/k=k‘，說(shuō)明所有虛的n次單位根都成對(duì)共軛推論6：對(duì)任意整數(shù)k,h，有kh=hk性質(zhì)三：A=1+1m+2m+?+n-1m當(dāng)n|m時(shí)，A=n，否則A=0證明：由性質(zhì)二推論4有A=1+1m+(12)m+?+(1n-1)m=1+1m+(1m)2+?+(1m)n-1=[1-(1m)n]/(1-1m)=[1-(1n)m]/(1-1m)=(1-1)/(1-m)=0推論1：∑(i從0到n-1)i=0推論2：設(shè)k≠1，則∑(i從0到n-1)k=0證明：由k≠1，故n不整除k，由性質(zhì)二推論4和性質(zhì)三，∑(i從0到n-1)ki=∑(i從0到n-1)ik=0性質(zhì)四：全部單位根將復(fù)平面上單位圓n等分。練習(xí)：求1+Cn3+Cn6+Cn9+?+Cn3h-3+Cn3h其中3h是不大于n的最大的3的倍數(shù)。（[2+2cos(nπ/3)]/3）法則一：設(shè)f(x)和p(x)是兩個(gè)已知的多項(xiàng)式，并設(shè)存在第三個(gè)多項(xiàng)式q(x)使f(x)=p(x)q(x)那么(1)若f(x)和p(x)的系數(shù)都是復(fù)數(shù)，則在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)f(x)被p(x)整除(2)若f(x)和p(x)的系數(shù)都是實(shí)數(shù)，則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)f(x)被p(x)整除(3)若f(x)和p(x)的系數(shù)都是有理數(shù)，則在有理數(shù)范圍內(nèi)f(x)被p(x)整除(4)若f(x)和p(x)的系數(shù)都是整數(shù)，且p(x)的首項(xiàng)系數(shù)是1f(x)被p(x)整除余數(shù)定理：多項(xiàng)式f(x)被x-a除余數(shù)為f(a)法則二：x-a|f(x)等價(jià)于f(a)=0法則三：f(a)=f(b)=0,a≠b,則x2-(a+b)x+ab|f(x)推論1：若實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)滿足等式f(α+iβ)=0,αβ∈R且β≠0，則X2-2αx+(α2+β2)|f(x)推論2：若整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)滿足f(ω)=0,ω=-1/2+i√3/2,則X2+x+1|f(x)法則四：若多項(xiàng)式f(x)有f(a1)=f(a1)=f(a2)=?=f(an)=0,且ai≠aj,i≠j,則(x-a)(x-a2)?(x-an)|f(x)2文檔來(lái)源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯歡迎下載支持.推論：k為n次單位根，若整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)滿足一組等式f(k)=0,其中k取1,2,?,n/2,n為偶數(shù)或取1,2,?,(n-1)/2,n為奇數(shù)，則xn-1+xn-2+?+x+1|f(x)練習(xí)：f(x)=x+x3n+2+1,m,n是整數(shù)，證x2+x+1|f(x)：n是自然數(shù)，且f(x)=xn+2+(x+1),則對(duì)任意整數(shù)k，k+k+1|f(k)：求x1001-1被x+x+2x+x+1除得的余式？（-x3+x2）：設(shè)Q(x),P(x)和R(x),S(x)都是多項(xiàng)式，滿足P(x)+xQ(x5)+xR(x5)=(x4+x+2x2+x+1)S(x)證明：x-1|P(x)(1976年美國(guó)第五屆中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)：設(shè)Q(x),P(x)和R(x),S(x),T(x)都是多項(xiàng)式，滿足P(x)+xQ(x5)+xR(x5)+xT(x)=(x4+x+2x2+x+1)S(x)證明：x-1|P(x)練習(xí)1：x8+x6+x4+x2+1注意各項(xiàng)系數(shù)相等，且x的指數(shù)8，6，4，2，0被5除后所得余數(shù)為3，1，4，2，02：x12+x9+x6+x3+1：x+x4+1(分成3個(gè)因式積)：x+x+1(分成2個(gè)因式積)4：1+2a+3a2+4a3+5a4+6a5+5a6+4a+3a8+2a9+a105：a+(a+1)+(a+a)2利用單位根，可以很容易地導(dǎo)出三次方程的求根公式設(shè)ω是三次虛單位根，則ω+ω2=-1，ω3=1容易驗(yàn)證(x+ωy+ω2z)(x+ω2y+ωz)=x2+y2+z2-xy-yz-zx從而(x+y+z)(x+ωy+ω2z)(x+ω2y+ωz)=x3+y3+z3-3xyz由此可見(jiàn)，關(guān)于x的三次方程x3-3yzx+(y3+z3)=0,具有x1=-(y+z)，x=-(ωy+ω2z)，x3=-(ω2y+ωz)?????..(1)因此，如果已知一個(gè)三次方程3+px+q=0??????..(2)為了解它，只須令-3yz=p?????????????????.(3)3+z3=q?????????????????.(4)從(3)式得到y(tǒng)3z3=-p3/27???????????????(5)從(4)和(5)式知道，y3和z3是下述一元二次方程的兩個(gè)根：X2-qX-p3/27=0其根是X=q/2±√(q2/4+p/27)???????????.(6)由于(1)式中y和z是對(duì)稱(chēng)的，所以(6)式中可取任一個(gè)為y3，令一個(gè)為z3。因此，可取y=[q/2+√(q/4+p/27)]1/3?????????(7)z=[q/2-√(q/4+p3/27)]1/3?????????.(8)這里y，z可以各取三次方根中的一個(gè)，只須保證yz=-p/3即可。將(7)和(8)代入(1)，就得到三次方程(2)的求根公式，即卡丹公式。練習(xí)：求一個(gè)有理系數(shù)方程，使它的根等于a4+a+a7+a9其中a是x13-1=0的根（(y-4)(y3+y2-4y+1)=0）3文檔來(lái)源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯歡迎下載支持.設(shè)P(a)表示有復(fù)數(shù)a確定的點(diǎn)P法則一：設(shè)a,b為不相等的復(fù)數(shù)，λ∈R且p=(a+λb)/(1+λ)或(p-a)/(b-p)=λ則P(p)在直線A(a)B(b)上，當(dāng)λ>0時(shí)，AP與PB同向且AP/PB=λλ<0時(shí)，AP與PB反向向且AP/PB=|λ|特別AB的中點(diǎn)M(m)由下式?jīng)Q定m=(a+b)/2法則二：若A(a),B(b),C(c)滿足(a-c)/(c-b)=r(cosθ+i*sinθ)則CA/BC=r,∠BCA=π-θ法則三：若A(a),B(b),C(c)滿足ωb+ωc=0,則三角形ABC為正三角形，并且沿三角形周界逆時(shí)針，反之，三角形ABC是正三角行，且沿周界逆時(shí)針，則上關(guān)系也成立。練習(xí)1：在三角形ABC的三邊上向外作正三角形BCACABABC設(shè)A0，B，C0分別是線段AABBCCAB0C、B0CA、C0A0B都是正三角形練習(xí)2：在三角形ABC的三邊上向外作正三角形BCA，CAB1，ABC1設(shè)A0，B，C0分別是這三個(gè)正三角形的中心，又設(shè)AA，BB，CC0的中點(diǎn)分別為A,B,C角形A0B0C、ABC練習(xí)：已知圓外內(nèi)接六邊形ABCDEF的邊滿足AB=CD=EF=r(r為圓半徑)又G，H，K分別是邊BC，DE，F(xiàn)A的中點(diǎn)，求證三角形GHK是正三角形法則四：設(shè)A(a)，B(b)，C(c)，D(d)是復(fù)平面上單位圓zz=1()上的4點(diǎn)，直線AB與CD交于S(s)則s=(a+b-c-d)/(ab-cd)n次單位根對(duì)乘法滿足封閉性結(jié)合律有單位元任何n次單位根有逆元?jiǎng)t全體n次單位根對(duì)復(fù)數(shù)中乘法構(gòu)成一個(gè)群，稱(chēng)n次單位根群同時(shí)這個(gè)群中元素滿足5.交換律，從而n次單位根群是個(gè)交換群又注意到n次單位根群中存在n次原根，從而n次單位根群是循環(huán)群性質(zhì)：設(shè)k是一個(gè)n次單位根(k∈Z),則k是n次單位原根等價(jià)于(k,n)=1，即k與n互素證明：若(k,n)=1，則下列n個(gè)數(shù)k，2k，?，nk被n除后必定互不相同。這是因?yàn)槿绻骽，l使得1≤h<l≤n，且hk與lk被n除后余數(shù)相同，則lk-hk是n的倍數(shù)，但lk-hk=(l-h)k中k與n互素，0<l-h<n，當(dāng)然不能被n整除，從而(l-h)k不可能是n的倍數(shù)，與原假設(shè)矛盾。據(jù)性質(zhì)二的推論，k，ε2k，ε3k，。。。，nk互不相同，即恰恰構(gòu)成了全部n次單位根，但這n個(gè)數(shù)有可以寫(xiě)成k，εk2，εk3，。。。，kn所以這時(shí)k確為n次單位原根4文檔來(lái)源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯歡迎下載支持