金融應(yīng)用模型課件

經(jīng)濟數(shù)學模型第三章 金融應(yīng)用模型經(jīng)濟數(shù)學模型第一節(jié) 利率模型資金是有時間價值的，無論進行了什么樣的經(jīng)濟活動，都必須認真考慮資金時間價值，千方百計縮短資金使用周期，加速資金周轉(zhuǎn)，節(jié)省資金占用數(shù)量和時間，提高資金的經(jīng)濟效益。經(jīng)濟數(shù)學模型一、單利模型設(shè)年利率為r,初始資金量為S0,n年后資金量為Sn若年利率和本金都是常數(shù)，n年后的本利和為經(jīng)濟數(shù)學模型二、復利模型（利滾利）1、離散型復利模型每年結(jié)算一次，n年后的本利和為冠每年結(jié)算m次，n年后的本利和為經(jīng)濟數(shù)學模型2、連續(xù)型復利模型連續(xù)結(jié)算（瞬時結(jié)算），n年后的本利和為三、現(xiàn)值模型已知初始資金S0，用單利或復利計算n年后資金Sn的計算式稱為終值模型；反之，已知n年后的終值Sn，求按年利率r折算到現(xiàn)在時間段的資金S0的模型稱為現(xiàn)值模型。在現(xiàn)值模型中，將年利率r也稱為折現(xiàn)率經(jīng)濟數(shù)學模型1、單利現(xiàn)值模型若n年后的終值是Sn,則初期的現(xiàn)值為2、復利現(xiàn)值模型每年折現(xiàn)一次，若n年后的終值是Sn,則初期的現(xiàn)值為經(jīng)濟數(shù)學模型每年折現(xiàn)m次，若n年后的終值是Sn,則初期的現(xiàn)值為連續(xù)折現(xiàn),若n年后的終值是Sn,則初期的現(xiàn)值為經(jīng)濟數(shù)學模型流出系統(tǒng)的資金稱現(xiàn)金流出，流入系統(tǒng)的資金稱現(xiàn)金流入，現(xiàn)金流入與現(xiàn)金流出之差稱凈現(xiàn)金流量。在財務(wù)分析中，把研究的項目視為一個系統(tǒng)，投入的資金、花費的成本、獲得的收益，可以看成是以資金形式體現(xiàn)的該系統(tǒng)的資金流出或流入。在項目整個壽命期內(nèi)各時點上實際發(fā)生的資金流出或流入稱為現(xiàn)金流量。四、資金流的現(xiàn)值與終值模型現(xiàn)金流量圖經(jīng)濟數(shù)學模型若在相同時間段資金量不是固定值，而是隨時間段變化，用Ai表示第i階段末的資金量(i=1,2,…n),r表示階段的利率，則n個階段全部資金量的終值S為An-1A2

A3資金終值公式現(xiàn)金流量圖A1Ans經(jīng)濟數(shù)學模型則n個階段全部資金量的現(xiàn)值S為若考慮現(xiàn)值，第i階段資金的現(xiàn)值為

Ai(1+r)-iA1A2

A3An-1AnS0資金現(xiàn)值公式現(xiàn)金流量圖若Ai表示凈現(xiàn)金流,稱S0為凈現(xiàn)值，記為NPV經(jīng)濟數(shù)學模型若每個相同時間段資金數(shù)額相同都為A，即Ai=A，稱A為年金。根據(jù)資金產(chǎn)生時間分為普通年金：從第一期開始每期期末收款、付款的年金。Ａ

Ａ

Ａ

Ａ０

１

２

３

４先付年金：從第一期開始每期期初收款、付款的年金。Ａ

Ａ

Ａ

Ａ０

１

２

３

４五、年金經(jīng)濟數(shù)學模型Ａ

Ａ

Ａ

Ａ

……A０

１

２

３

４

……

∞遞延年金：在若干期以后收付的年金。永續(xù)年金：無限期的普通年金。Ａ

Ａ Ａ

Ａ

A０

１

２

３

４

5

6

7經(jīng)濟數(shù)學模型普通年金現(xiàn)值為普通年金終值（復利）為經(jīng)濟數(shù)學模型例

假設(shè)以8%的利率借款500萬元，投資于某個壽命期為12年的新技術(shù)，每年至少要收回多少現(xiàn)金才是有利的？解得A為A=5000000×0.1327=663500（元）因此，每年至少要收回663500元，才能還清貸款本利。設(shè)每年回收A元，據(jù)普通年金現(xiàn)值計算公式經(jīng)濟數(shù)學模型先付年金終值（復利）為先付年金的現(xiàn)值為永續(xù)年金無終值（∞），其現(xiàn)值為經(jīng)濟數(shù)學模型3.2

連續(xù)資金流的終值與現(xiàn)值若各階段資金量是時間t的連續(xù)函數(shù)f(t)，也稱為連續(xù)資金流，若f(t)在（0，T)連續(xù)，則在時間段（t,t+△t)內(nèi)資金的近似值為f(t)△t,若按連續(xù)復利計算，這些資金在期末的終值為由定積分思想，總收入的終值為經(jīng)濟數(shù)學模型若求現(xiàn)值，設(shè)連續(xù)折現(xiàn),記其對應(yīng)的現(xiàn)值為S0,

T年資金流量的總現(xiàn)值S0是特別，當f(t)=A時，有經(jīng)濟數(shù)學模型例

某企業(yè)想購買某種設(shè)備，設(shè)備成本為5000元，t年后該設(shè)備的報廢價值為使用該設(shè)備在t年時可使企業(yè)收入850－40t元，若年利率為5%，計算連續(xù)復利，企業(yè)應(yīng)在什么時候報廢這臺設(shè)備？此時，總利潤的現(xiàn)值是多少？解

T年后增加收入的現(xiàn)值為T年后設(shè)備殘值的現(xiàn)值為經(jīng)濟數(shù)學模型T年后總利潤的現(xiàn)值為為求最大值，對T求導得令得T=10當T=10時，總利潤的現(xiàn)值最大，故應(yīng)在使用10年后報廢這臺機器，此時，企業(yè)所得利潤的現(xiàn)值為T=10為唯一極大值點，就是最大值點。又經(jīng)濟數(shù)學模型3.3

簡單的投資決策模型投資決策分析對企業(yè)獲利能力、資金結(jié)構(gòu)、償債能力

及長遠發(fā)展都有重要影響，投資決策方法非常多，簡單

的技術(shù)方法可以分為非貼現(xiàn)法和貼現(xiàn)法兩類,它們的區(qū)別在于前者不考慮貨幣的時間價值，計算簡便；后者則考

慮貨幣的時間價值，更科學、合理。非貼現(xiàn)法主要有回

收期法和年平均報酬率法兩種。貼現(xiàn)法主要有凈現(xiàn)值法、內(nèi)部收益率法和獲利能力指數(shù)法三種。以貼現(xiàn)法為例分析。經(jīng)濟數(shù)學模型式中

PT——動態(tài)投資回收期；CI——第t年的現(xiàn)金流入量；

CO——第t年的現(xiàn)金流出量；

ic——基準收益率。一、投資回收期(動態(tài))動態(tài)投資回收期是指在給定的基準收益率ic下，用方案各年資金凈流量的現(xiàn)值來回收全部投資的現(xiàn)值所需的時間。公式：經(jīng)濟數(shù)學模型年01234項目A的現(xiàn)金流量-1000400400400400現(xiàn)值系數(shù)（10%）10.90910.82640.75130.6830折現(xiàn)的現(xiàn)金流量-1000363.64330.56300.52273.2累計折現(xiàn)現(xiàn)金流量-1000-636.36-305.8-5.28267.92例

項目A的現(xiàn)金流量為項目A的動態(tài)投資回收期=累計凈現(xiàn)金流量折現(xiàn)值開始出現(xiàn)正值的年份-1+=

4-1+5.28/273.2=3.02(年)年01234項目A的現(xiàn)金流量-1000400400400400折現(xiàn)現(xiàn)金流量為(折現(xiàn)率為10%)經(jīng)濟數(shù)學模型項目投資回收期在一定程度上顯示了資本的周轉(zhuǎn)速度。資本周轉(zhuǎn)速度愈快，回收期愈短，風險愈小，盈利愈多。不足的是，投資回收期沒有全面地考慮投資方案整個計算期內(nèi)的現(xiàn)金流量，即忽略在投資回收期以后發(fā)生的數(shù)據(jù),對總收入沒有做考慮。只考慮回收之前的效果，不能反映投資回收之后的情況，無法準確衡量方案在整個計算期內(nèi)的經(jīng)濟效果。投資回收期作為方案選擇和項目排隊的評價準則是不可靠的，它只能作為輔助評價指標。經(jīng)濟數(shù)學模型二、凈現(xiàn)值（NPV）凈現(xiàn)值是指方案在壽命期內(nèi)各年的凈現(xiàn)金流量按照設(shè)定的折現(xiàn)率折現(xiàn)到期初時的現(xiàn)值之和，反映了方案獲利能力。其表達式為：式中：

NPV——凈現(xiàn)值；CI——第t年的現(xiàn)金流入量；

CO——第t年的現(xiàn)金流出量；

n——該方案的計算期；

ic——設(shè)定的折現(xiàn)率。經(jīng)濟數(shù)學模型對單一方案而言，若NPV≥0，則認為項目可行，若NPV

<

0，則予以拒絕。對多方案比選時，凈現(xiàn)值越大，方案越優(yōu)。凈現(xiàn)值的大小既取決于資金流量，也取決于所用的貼現(xiàn)率。對于同一項投資方案來講，貼現(xiàn)率越小，凈現(xiàn)值越大；反之，凈現(xiàn)值越小。經(jīng)濟數(shù)學模型原理通俗易懂，適用于任何均勻的資金流量(年金的現(xiàn)值)或不規(guī)則的資金流量，充分考慮了投資方案發(fā)生資金流量的先后時間以及整個壽命期間內(nèi)的收益，體現(xiàn)了貨幣的時間價值。因而它是一種較為廣泛使用的長期投資決策方法。

主要缺點是在投資額不相等的若干方案之間進行比較時，單純看凈現(xiàn)值的絕對額并不能做出正確的評價。因為在這種情況下，不同方案的凈現(xiàn)值是不可比的。凈現(xiàn)值的優(yōu)缺點經(jīng)濟數(shù)學模型例年現(xiàn)金流量①現(xiàn)值系數(shù)（10%）②現(xiàn)值=①×②0-10001-100015000.9091454.5524000.8264330.5633000.7513225.3941000.683068.30NPV78.80項目的凈現(xiàn)值單位：萬元經(jīng)濟數(shù)學模型三、獲利能力指數(shù)獲利能力指數(shù)是項目投產(chǎn)后現(xiàn)金流量的現(xiàn)值之和與初始投資現(xiàn)值之和的比，表明項目單位投資的獲利能力，記為PI。表達式為：獲利能力指數(shù)顯然和凈現(xiàn)值很相似，但它反映了單位投資額的效益。與凈現(xiàn)值指標相比，更便于投資額不等的多個項目之間的比較和排序。PI=投產(chǎn)后現(xiàn)金流量的總現(xiàn)值/初始投資總現(xiàn)值經(jīng)濟數(shù)學模型如果投資方案獲利指數(shù)大于或等于1，為可行方案；如果獲利指數(shù)小于1，則方案不可行；如果幾個方案的獲利指數(shù)均大于1，那么獲利指數(shù)越大，投資方案越好。PI決策的標準是經(jīng)濟數(shù)學模型內(nèi)部收益率（IRR）指使項目的凈現(xiàn)值等于零時的折現(xiàn)率。（四）內(nèi)部收益率IRR的決策標準：1、將方案的內(nèi)部收益率與行業(yè)基準收益率對比，如果方案的IRR大于等于行業(yè)基準收益率，則方案可行，否則不可行；2、在可行的方案中，IRR最大的方案為最優(yōu)方案；經(jīng)濟數(shù)學模型直接反映投資項目的實際收益水平，可以直接與行業(yè)基準收益率比較。計算過程不受基準收益率高低的影響，比較客觀。IRR優(yōu)點：12345820例 某公司有一完整工業(yè)項目。各年的現(xiàn)金凈流量如圖所示，假設(shè)該項目的基準折現(xiàn)率為10%.-300-100828282822021211建設(shè)期用matlab計算得凈現(xiàn)值

NPV=71.97（萬元），獲利指數(shù)

PI=1.1881內(nèi)部收益率

IRR=12.9%經(jīng)濟數(shù)學模型馬科維茨投資組合模型美國經(jīng)濟學家馬科維茨是現(xiàn)代投資組合理論的創(chuàng)始

人。他于1952年3月在《金融雜志》上發(fā)表了題為《證券組合選擇》的論文，并于1959年出版了同名專

著，詳細論述了證券收益和風險的主要原理和分析

方法，建立了均值－方差證券組合模型的基本框架。馬柯維茨認為，投資組合的風險不僅與構(gòu)成組合的

各種證券的個別風險有關(guān)，而且受各證券之間的相

互關(guān)系的影響。馬柯維茨根據(jù)風險分散原理，應(yīng)用

二維規(guī)劃的數(shù)學方法，揭示了如何建立投資組合的

有效前沿，使有效前沿上的每一個組合在給定的風

險水平下獲得最大的收益，或者在收益一定的情況

下風險最小。經(jīng)濟數(shù)學模型設(shè)市場有n種風險資產(chǎn)，其收益率為隨機變量，用向量表示為其數(shù)學期望向量為經(jīng)濟數(shù)學模型n種資產(chǎn)組合權(quán)重向量為權(quán)重向量約束條件為寫成向量的形式為其中1 表示分量全為1的列向量。經(jīng)濟數(shù)學模型資產(chǎn)組合期望收益的向量表達式為資產(chǎn)組合方差的向量表達式為其中∑是n種資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣經(jīng)濟數(shù)學模型注：協(xié)方差矩陣是正定、非奇異矩陣。所以，對于任何非0的向量a，都有經(jīng)濟數(shù)學模型給定一個證券投資組合，它的預(yù)期收益率 和標準差 確定了一個點對：將其稱為組合線。組合線上的每一點，表示一個權(quán)數(shù)不同的證券組合。因此組合線告訴我們預(yù)期收益率與風險怎樣隨著證券組合權(quán)重的變化而變化。經(jīng)濟數(shù)學模型對于一個理智的投資者來說，如果給定預(yù)期收益率水平，他喜歡風險低的投資機會；如果給定風險水平，他喜歡預(yù)期收益率高的投資機會。用數(shù)學模型表達這兩個基本原則，則有下面兩個數(shù)學規(guī)劃模型在預(yù)期收益水平確定的情況下，求使組合風險達到最小,即經(jīng)濟數(shù)學模型在風險水平確定的情況下，求使組合收益最大，即實際上，兩個模型組成的可行集合和有效集是等價的。下面研究最小方差投資組合模型。經(jīng)濟數(shù)學模型用拉格朗日乘數(shù)法求解。令拉格朗日函數(shù)為則最優(yōu)解的條件為經(jīng)濟數(shù)學模型由于矩陣

∑ 可逆，解得變形為由約束條件可得再將變形為經(jīng)濟數(shù)學模型由約束條件可知，令可得方程組解得經(jīng)濟數(shù)學模型投資組合系數(shù)為投資組合預(yù)期收益的方差為經(jīng)濟數(shù)學模型整理得上式給出了投資組合預(yù)期收益率與方差的關(guān)系，若預(yù)期收益率為μ，則變形為兩邊開平方并移項，得經(jīng)濟數(shù)學模型表示了一條拋物線，該拋物線的頂點為，可以證明這條拋物線開口向右對移項并整理得經(jīng)濟數(shù)學模型在平面上，為雙曲線的標準型，中心在 ，對稱軸為和 ，雙曲線的圖形如圖所示。經(jīng)濟數(shù)學模型在圖中的g點是一個特殊的點，它是雙曲線在第一象限中圖形的頂點。由圖可知，所代表的組合是所有可行組合中方差最小的，將其稱為“全局最小方差組合”。全局最小方差投資組合為顯然g點以下的組合是所有可行組合中方差相同而期望收益較小的組合，任何一個理性的投資者都不會選擇這樣的組合。g點以上的邊緣是所有可行組合中方差相同而期望收益較大的組合，這些組合即為有效投資組合，也就是有效前沿。經(jīng)濟數(shù)學模型兩基金分離定理任意最小方差投資組合都可以表示為全局最小方差投資組合和可分散化資產(chǎn)組合 的線性（凸）組合。用數(shù)學式表示即為在代數(shù)意義下線性不相關(guān)。所