數(shù)學(xué)分析(華東師大版)上第八章8-3

§3

有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分本節(jié)給出了求有理函數(shù)等有關(guān)類型的不定積分的方法與步驟.一、有理函數(shù)的部分分式分解二、有理真分式的遞推公式三、三角函數(shù)有理式的不定積分四、某些無理函數(shù)的不定積分前頁后頁返回一、有理函數(shù)的部分分式分解m

>

n

時稱為真分式,

m

≤

n

時稱為假分式.假分式可化為一個多項式和一個真分式之和.有理函數(shù)是由兩個多項式函數(shù)的商所表示的函數(shù),其一般形式為:前頁后頁返回2.根據(jù)分母各個因式分別寫出與之相應(yīng)的部分分前頁后頁返回分解步驟稱為部分分式分解.具體步驟簡述如下:1.對分母Q(x)在實(shí)數(shù)系內(nèi)作標(biāo)準(zhǔn)分解:真分式又可化為與之和,其式.

對應(yīng)于的部分分式是對應(yīng)于前頁后頁返回的部分分式是把所有部分分式加起來,使之等于Q(x),由此確定上述部分分式中的待定系數(shù)Ai

,Bi

,Ci

.3.確定待定系數(shù)的方法前頁后頁返回分式分解.把所有分式通分相加,所得分式的分子與原分子P(x)

應(yīng)該相等.

根據(jù)兩個多項式相等時同次項系數(shù)必定相等的原則,

得到待定系數(shù)所滿足的線性方程組,由此解出待定系數(shù).例1作部分前頁后頁返回比較同次項系數(shù),得到線性方程組解得于是完成了R(x)的部分分式分解:前頁后頁返回二、有理真分式的遞推公式下面解這兩類積分.前頁后頁返回任何有理真分式的不定積分都可化為如下兩種形式的不定積分之和：前頁后頁返回前頁后頁返回解得前頁后頁返回例2解

由例1,前頁后頁返回其中于是前頁后頁返回例3解

由于而前頁后頁返回由遞推公式前頁后頁返回于是前頁后頁返回有理函數(shù)的不定積分.

把三、三角函數(shù)有理式的不定積分sin

x,cos

x

及常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算得到的函數(shù)R

(sin

x,cos

x)稱為三角函數(shù)有理式.前頁后頁返回代入原積分式，得到前頁后頁返回例4解前頁后頁返回對三角函數(shù)有理式的不定積分,在某些條件下還可選用如下三種變換,使不定積分簡化.前頁后頁返回前頁后頁返回前頁后頁返回前頁后頁返回例5解前頁后頁返回前頁后頁返回例6解前頁后頁返回四、某些無理函數(shù)的不定積分例7解

由于前頁后頁返回前頁后頁返回例8解前頁后頁返回前頁后頁返回型不定積分可用多種方法化為三角函數(shù)有理式的不定積分,有時也可直接化為有理函數(shù)的不定積分.前頁后頁返回把它們轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)有理式的不定積分.方法2(歐拉變換)前頁后頁返回例9解

用方法

1:前頁后頁返回前頁后頁返回前頁后頁返回因此前頁后頁返回注1

對于本題來說,方法

2

顯然比方法

1

簡捷.注2

由以上兩種方法所得的結(jié)果,

形式雖不相同但實(shí)質(zhì)上只相差某一常數(shù)而已.例10解前頁后頁返回從而有前頁后頁返回注

雖然初等函數(shù)都是連續(xù)函數(shù),從而它們都存