空間向量的正交分解及其坐標表示、坐標運算課件

空間向量的正交分解及其坐標表示、坐標運算共線向量定理:復習：共面向量定理:平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐標表示xyo問題：我們知道，平面內的任意一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示（平面向量基本定理）.對于空間任意一個向量，有沒有類似的結論呢？xyzOQP一、空間向量的坐標分解給定一個空間坐標系和向量且設為空間兩兩垂直的向量，設點Q為點P在所確定平面上的正投影由平面向量基本定理有一、空間向量的坐標分解xyzQPO

由此可知,如果是空間兩兩垂直的向量,那么,對空間任一向量,存在一個有序實數(shù)組{x,y,z}使得我們稱為向量在上的分向量.空間向量基本定理：都叫做基向量注:

如果三個向量不共面,那么對空間任一向量,存在有序實數(shù)組{x,y,z}使探究：在空間中,如果用任意三個不共面向量代替兩兩垂直的向量,你能得出類似的結論嗎？（1）任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底.特別提示：對于基底{a,b,c},除了應知道a,b,c不共面，還應明確：（2）由于可視為與任意一個非零向量共線,與任意兩個非零向量共面,所以三個向量不共面,就隱含著它們都不是.（3）一個基底是指一個向量組,一個基向量是指基底中的某一個向量,二者是相關連的不同概念.

二、空間直角坐標系

單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底,常用e1,e2,e3表示

空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底e1,e2,e3,以點O為原點，分別以e1,e2,e3的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，建立一個空間直角坐標系O--xyzxyze1e2e3O

在空間直角坐標系O--xyz中，對空間任一向量,平移使其起點與原點o重合,得到向量OP=p由空間向量基本定理可知,存在有序實數(shù)組{x,y,z}使p=xe1+ye2+ze3xyzOP(x,y,z)e1e2e3此時向量P的坐標恰是點P在直角坐標系oxyz中的坐標(x,y,z)，其中x叫做點P的橫坐標，y叫做點P的縱坐標，z叫做點P的豎坐標.在空間直角坐標系O–x

y

z中，對空間任一點P,對應一個向量,于是存在唯一的有序實數(shù)組x,y,z,使(如圖).

顯然,向量的坐標，就是點P在此空間直角坐標系中的坐標(x,y,z).xyzOP(x,y,z)

也就是說,以O為起點的有向線段(向量)的坐標可以和終點的坐標建立起一一對應的關系,從而互相轉化.

我們說,點P的坐標為(x,y,z),記作P(x,y,z)，其中x叫做點P的橫坐標,y叫做點P的縱坐標,z叫做點P的豎坐標.e1e2e3

一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.

空間向量坐標運算法則，關鍵是注意空間幾何關系與向量坐標關系的轉化，為此在利用向量的坐標運算判斷空間幾何關系時，首先要選定單位正交基，進而確定各向量的坐標。AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).思考：設A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB的坐標表示是什么？練習1如圖在邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，取D點為原點建立空間直角坐標系，O、M、P、Q分別是AC、DD1、CC1、A1B1的中點，寫出下列向量的坐標.zxyABCDA1B1C1D1OMPQ三、向量的直角坐標運算YXZABCDEF例2在正方體ABCD—A1B1C1D1中E、F分別是BB1、CD的中點，求證：D1F平面ADE例1已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,8a,ab四、距離與夾角1.距離公式（1）向量的長度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。在空間直角坐標系中，已知、，則（2）空間兩點間的距離公式（2）、兩個向量夾角公式注意：（1）當時，同向；（2）當時，