專題06平面直角坐標(biāo)系中的位似問題

2024年人教版九年級數(shù)學(xué)下冊同步講練測學(xué)案（全國通用）第二十七章相似專題06平面直角坐標(biāo)系中的位似問題課標(biāo)要求課標(biāo)要求1.理解平面直角坐標(biāo)系中，位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)之間的聯(lián)系．2.會用圖形的坐標(biāo)的變化表示圖形的位似變換，掌握把一個圖形按一定比例放大或縮小后，點的坐標(biāo)變化的規(guī)律.3.了解四種圖形變換(平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)和位似)的異同，并能在復(fù)雜圖形中找出來這些變換.自學(xué)知識點自學(xué)知識點以填空的形式完成知識點的學(xué)習(xí)我們知道，在直角坐標(biāo)系中，可以利用變化前后兩個多邊形對應(yīng)頂點的坐標(biāo)之間的關(guān)系表示某些平移、軸對稱和旋轉(zhuǎn)(中心對稱).那么，位似是否也可以用兩個圖形坐標(biāo)之間的關(guān)系來表示呢？1.平面直角坐標(biāo)系中的位似變換（1）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為位似中心作一個圖形的位似圖形可以作兩個．（2）當(dāng)位似圖形在原點同側(cè)時，其對應(yīng)頂點的坐標(biāo)的比為k；當(dāng)位似圖形在原點兩側(cè)時，其對應(yīng)頂點的坐標(biāo)的比為－k．（3）當(dāng)k＞1時，圖形擴大為原來的k倍；當(dāng)0＜k＜1時，圖形縮小為原來的k倍．2.位似變換的坐標(biāo)特征關(guān)于原點成位似的兩個圖形，若位似比是k，則原圖形上的點(x，y)經(jīng)過位似變化得到的對應(yīng)點的坐標(biāo)是(kx，ky)或(－kx，－ky)．3．性質(zhì)：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為中心，位似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或–k；（2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．解題思維方法解題思維方法1.利用位似求點的坐標(biāo)方法總結(jié)關(guān)于原點成位似的兩個圖形，若位似比是k，則原圖形上的點(x，y)經(jīng)過位似變化得到的對應(yīng)點的坐標(biāo)是(kx，ky)或(－kx，－ky)．2.在坐標(biāo)系中畫位似圖形方法總結(jié)畫一個圖形的位似圖形時，位似中心的選擇是任意的，這個點可以在圖形的內(nèi)部或外部或在圖形上，對于具體問題要考慮畫圖方便且符合要求．3.在坐標(biāo)系中確定位似比方法總結(jié)以原點為位似中心的位似圖形的位似比是對應(yīng)點的對應(yīng)坐標(biāo)的比．4.確定圖形的面積方法總結(jié)位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對應(yīng)的面積比等于相似比的平方．5.位似變換與平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的綜合問題注意這類問題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)以及平移和位似變換、三角形面積求法等知識，得出對應(yīng)點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．考點考點例題講析【例題1】（2023黑龍江綏化）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與的相似比為，點是位似中心，已知點，點，．則點的坐標(biāo)為_______．（結(jié)果用含，的式子表示）【答案】【解析】過點分別作軸的垂線垂足分別為，根據(jù)題意得出，則，得出，即可求解．【詳解】如圖所示，過點分別作軸的垂線垂足分別為，∵與的相似比為，點是位似中心，∴∵，∴,∴，∴∴故答案為：．【點睛】本題考查了求位似圖形的坐標(biāo)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例題2】如圖，△ABC中，A、B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標(biāo)是（1，0），以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍，設(shè)點B的橫坐標(biāo)是a，則點B的對應(yīng)點B′的橫坐標(biāo)是（）A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2【答案】A【解析】設(shè)點B′的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)數(shù)軸表示出BC、B′C的橫坐標(biāo)的距離，再根據(jù)位似比列式計算即可．設(shè)點B′的橫坐標(biāo)為x，則B、C間的橫坐標(biāo)的長度為a﹣1，B′、C間的橫坐標(biāo)的長度為﹣x+1，∵△ABC放大到原來的2倍得到△A′B′C，∴2（a﹣1）＝﹣x+1，解得：x＝﹣2a+3【例題3】在13×13的網(wǎng)格圖中，已知△ABC和點M(1，2)．(1)以點M為位似中心，位似比為2，畫出△ABC的位似圖形△A′B′C′；(2)寫出△A′B′C′的各頂點坐標(biāo)．【答案】見解析【解析】(1)利用位似圖形的性質(zhì)及位似比為2，可得出各對應(yīng)點的位置；(2)利用所畫圖形得出對應(yīng)點坐標(biāo)即可．解：(1)如圖所示，△A′B′C′即為所求；(2)△A′B′C′的各頂點坐標(biāo)分別為A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)．方法總結(jié)：畫一個圖形的位似圖形時，位似中心的選擇是任意的，這個點可以在圖形的內(nèi)部或外部或在圖形上，對于具體問題要考慮畫圖方便且符合要求．考點精煉考點精煉1.如圖，在直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點為O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以點O為位似中心，在第三象限內(nèi)作與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD，則點C坐標(biāo)（）A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）【答案】B 【分析】根據(jù)關(guān)于以原點為位似中心的對應(yīng)點的坐標(biāo)的關(guān)系，把A點的橫縱坐標(biāo)都乘以﹣即可．解：∵以點O為位似中心，位似比為，而A（4，3），∴A點的對應(yīng)點C的坐標(biāo)為（﹣，﹣1）．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點坐標(biāo)分別是，，，以原點為位似中心，在原點的同側(cè)畫，使與成位似圖形，且相似比為2：1，則線段DF的長度為（）A． B．2 C．4 D．【答案】D【解析】把A、C的橫縱坐標(biāo)都乘以2得到D、F的坐標(biāo)，然后利用兩點間的距離公式計算線段DF的長．∵以原點為位似中心，在原點的同側(cè)畫△DEF，使△DEF與△ABC成位似圖形，且相似比為2：1，而A（1，2），C（3，1），∴D（2，4），F(xiàn)（6，2），∴DF＝=，故選：D．【點睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或?k．3.（2023遼寧本溪）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點坐標(biāo)分別是，若四邊形與四邊形關(guān)于原點位似，且四邊形的面積是四邊形面積的4倍，則第一象限內(nèi)點的坐標(biāo)為___________．【答案】【解析】根據(jù)位似圖形的概念得到四邊形和四邊形相似，根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方求出相似比，再根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算即可．【詳解】∵四邊形的面積是四邊形面積的4倍，∴四邊形和四邊形的相似比為，∵，∴第一象限內(nèi)點，即，故答案為：．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，掌握相似多邊形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．4.已知：如圖△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長是1個單位長度．（1）畫出△ABC向上平移6個單位得到的△A1B1C1；（2）以點C為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且△A2B2C2與△ABC的位似比為2：1，并直接寫出點A2的坐標(biāo)．【答案】