2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 44 平面向量基礎(chǔ)知識(shí)及典型例題（解析版）

專題44平面向量基礎(chǔ)知識(shí)及典型例題（解析版）

1.向量的有關(guān)概念

名稱定義備注

既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向

向量平面向量是自由向量

量的長度（或稱模）

零向量長度為殳的向量；其方向是任意的記作0

單位向量長度等于1個(gè)單位的向量非零向量”的單位向量為嚙

平行向量方向相同或相反的非零向量

____________________——_________________o與任一向量平行或共線

共線向量方向相同或相反的非零向量乂叫做共線向量

兩向量只有相等或不等，不能

相等向量長度相等且方向相同的向量

比較大小

相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0

1.已知石都是單位向量，那么a=6一定成立嗎？為什么？

1.不一定成立，理由見解析

【分析】

根據(jù)單位向量的定義可判斷.

【詳解】

解：￡=后不一定成立.

?.?單位向量是指模為1的向量，當(dāng)否都是單位向量時(shí)，其方向不一定相同，

￡=萬不一定成立.

【點(diǎn)睛】

本題考查單位向量的概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知。，E,尸分別為△48C各邊A8,BC,C4的中點(diǎn)，以圖中字母為始點(diǎn)或

終點(diǎn)，分別寫出與向量瓦，EF，而相等的向量.

11

A

2.DE=AF=FC；EF=BD=DA；FD=CE=EB

【分析】

根據(jù)幾何性質(zhì)得到向量之間的關(guān)系.

【詳解】

解：：D,E,尸分別是aABC各邊的中點(diǎn)，

DF//BC.DF=-BC,EF//AB,EF^-AB.DF//AC,DF=-AC

222

,DE=AF=FC?EF-BD=DA；FD=CE=EB-

【點(diǎn)睛】

本題考查向量相等的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

3.如圖所示，。是正六邊形ABCOE尸的中心，以圖中字母為始點(diǎn)或終點(diǎn)，分別寫

出與向量函，0B，玩相等的向量.

3.OA=DO=EF=CB，OB=EO=FA=DC<OC=FO=ED=AB

【分析】

根據(jù)相等向量的定義：方向相同，大小相等進(jìn)行判斷；

【詳解】

22

解：因?yàn)閮蓚€(gè)向量相等，只要方向相同大小相等即可，因此

礪=加=麗=麗,

OB=EO=FA^DC

OC=FO=ED=AB

【點(diǎn)睛】

本題考查相等向量的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題.

4.指出圖中，哪些是單位向量.

【分析】

根據(jù)單位向量的概念：模（長度）為1的向量即為單位向量，解答.

【詳解】

uun

解：不難看出，：卜血,|司=2,同=1,W=i,而=i

AB=if

因此單位向量有：AB-CD'a-b-

【點(diǎn)睛】

本題考查單位向量的概念，屬于基礎(chǔ)題.

2.向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

33

力，(1)交換律：

求兩個(gè)向量和的運(yùn)aa+b=b+a.

加法三角形法則

算(2)結(jié)合律：

a(a+b)+c=a+S+c).

平行四邊形法則

求a與的相反向

減法量一方的和的運(yùn)算a—b=a+(—b)

a

叫做a與b的差三角形法則

(1)1加=|2||a|；

A(//a)=(A/z)a；

求實(shí)數(shù)2與向量a(2)當(dāng)2>0時(shí),為的方向與a的方

數(shù)乘

的積的運(yùn)算向相同;當(dāng)后0時(shí)，加的方向與

2(。+6)=7。+勸

a的方向相反;當(dāng)2=0時(shí)，〃=0

5.如圖，在下列各小題中，已知向量［、b，分別用兩種方法求作向量￡+況

5.見解析

【分析】

將B的起點(diǎn)移到￡的終點(diǎn)或?qū)蓚€(gè)向量的起點(diǎn)移到點(diǎn)A,利用三角形法則或平行四

邊形法則作出￡+九

【詳解】

將B的起點(diǎn)移到￡的終點(diǎn)，再首尾相接，可得Z+B；

將兩個(gè)向量的起點(diǎn)移到點(diǎn)A,利用平行四邊形法則，以川、W為鄰邊，作出平行

四邊形，則過點(diǎn)A的對角線為向量￡+九

____UUU11

如圖所不,AB=a+b-

44

(4)

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量加法的幾何意義,考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

6.如圖，在各小題中，已知￡出，分別求作￡-B

------------?■

bb

b------A

(1)(3)(4)

6.見解析

【分析】

將的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，再首尾相接，方向指向被減向量.

【詳解】

55

將。出的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，再首尾相接，方向指向被減向量,

如圖，BA=a-b^

(3)

【點(diǎn)睛】

本題考查向量減法的三角形法則，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

7.化簡下列各式：

⑴MB+AC+BM；

⑵AB+BC-AD^

⑶AB+MB+BO+OM^

(4)OA-OD+AD；

⑸AB-AD-DC^

(6)AB-AC+BD-CD-

7.(1)AC；(2)DC-(3)AB<⑷(j:(5)CB；(6)().

【分析】

根據(jù)向量的加減法法則計(jì)算.

66

【詳解】

(1)MB+AC+BM=(BM+MB)+AC=O+AC=AC.

(2)AB+BC-AD=AC-AD=DC^

(3)J&A=(AB+BO)+(OM+MB)=AO+OB=AB；

⑷OA-OD+Al5=OA+AD-Ob=OD-Ob=Q<

(5)AB-AD-DC=AB-(AD+DC)AB-AC=CB

(6)原式=(而一次)+麗—麗=(而+麗)一函=麗—麗=6.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的加減法法則，掌握向量的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

8.計(jì)算：

(1)(-3)x42；

(2)3(a+。)—2(a—/?)—a；

(3)(2￡+3萬一次)一(3￡—2萬+2).

8.(1)一12a；(2)5萬；(3)—。+5萬一2c.

【分析】

根據(jù)向量的加減運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算法則運(yùn)算即可.

【詳解】

(1)原式=(―3x4)。=一12。；

(2)原式=3石+3萬一2￡+*一一=5萬;

⑶原式=2a+35—c-3a+2B-C=-Q+5B-2C.

【點(diǎn)睛】

77

本題考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

9.如圖，解答下列各題:

(1)用々,2,e表示加；

(2)用瓦c表示瓦；

(3)用⑦瓦e表示配;

(4)用表示沅.

9.(1)DB-d+e+a-(2)DB=-b-c-(3)EC=e+a+b-(4)

EC=-c-d-

【分析】

根據(jù)圖形，利用向量的加法與減法法則，即可得到答案.

【詳解】

由題意知，麗=￡，BC=b'①=2，詼=2，麗=工，則

(1)DB=DE+EA+AB^d+e+a-

(2)DB=CB-CD=-BC-CD=-b-c-

⑶EC=EA+AB+~BC=e+a+b-

(4)EC=-CE=-(CD+DE)=-c-d.

88

【點(diǎn)睛】

本題考查向量加法與減法的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

10.化簡：

(1)2(a-b)+3(a+b);

1一1一

(2)-(a+b)+-(a-b).

22

10.⑴54+5(2)a

【分析】

根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算律計(jì)算.

【詳解】

(1)2(a-b)+3(a+h)=2a-2b+3a+3h-5a+h;

(2)-(a+b')+—(a-b)=—a+—b+—a-—b=a.

222222

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)乘運(yùn)算律.掌握向量數(shù)乘運(yùn)算律是解題關(guān)鍵.

3.共線向量定理

向量與力共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯---個(gè)實(shí)數(shù)2,使

11.如圖，OA，礪不共線，且麗=/麗QeR),用麗，礪表示麗.

11.OP=(i-t)OA+tOB

99

【分析】

根據(jù)向量的三角形法則可得S?=OA+AP.再根據(jù)AP=tAB(teR)得

加=35+f荏，把通用麗，麗表示出來即可。

【詳解】

解：因?yàn)镼=r而，

UUUULIUUU

所以O(shè)P=QA+AP

=OA+tAB

=OA+t(OB-OA)

=OA+tOB-tOA

=(l-t)OA+tOB.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量的三角形法則，屬于基礎(chǔ)題。

4.平面向量基本定理

如果右、&是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量?,直

且只有一對實(shí)數(shù),、22，使a=21ei+%2e2.

其中，不共線的向量4、e?叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

12.設(shè)兩個(gè)非零向量￡與行不共線.

Innnrr

UUU11UUUli1/x1\

⑴若A5=a+b，BC=2a+Sb>C0=3(a—。)，求證：A,B,°三點(diǎn)共線.

(2)試確定實(shí)數(shù)k,使Q+B和￡+Q反向共線.

12.(1)見解析(2)k=—l

【分析】

(1)運(yùn)用向量共線定理，證得通與麗共線，即可得證：

1010

(2)由題意可得存在實(shí)數(shù)4,使k7+區(qū)=%(￡+左與，展開后，運(yùn)用方程思想，

即可得到所求值.

【詳解】

UUU11UL1U11八/r，\

(1)證明：：A3=a+8，8C=2a+8〃，8=3(。一人)，

BD=BC+CD=2a+8B+3(a-B)=2a+8b+3a-3b=5^a+b^=5AB.

二通、3/5共線，

又：它們有公共點(diǎn)8,；.A、B、。三點(diǎn)共線

(2).?Z￡+B與Z+AB反向共線，，存在實(shí)數(shù)，(4<°)，使％￡+5=4(￡+左B)

即ka+b-Aa+Akh>

(Z:-Z)?=(2A：-1)Z?

B是不共線的兩個(gè)非零向量，

k—Z-A.k—1=0,

上2_「[=o,k=±1,

V2<0,...左=一1

【點(diǎn)睛】

本題考查向量共線定理的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.設(shè)兩個(gè)非零向量q,q不共線，A3=q+e2,BC=2e]+8e2,CD=3(^-e2).

(1)求證:4、B、。共線；

(2)試確定實(shí)數(shù)%,使丘1+02和共線.

13.(1)證明見解析；(2)A=±l

【分析】

1111

（1）求出而，只需證明通,而共線即可；

（2）根據(jù)共線向量的充要條件，建立人的方程關(guān)系，即可求解.

【詳解】

（1）\-BD=BC+CD=5e^+5e^=5AB:.AB//BD又有公共點(diǎn)3,

，A、B、D共線

（2）設(shè)存在實(shí)數(shù)4使輻+￡=〃[+&；）,非零向量，,不共線,

k=A

kA=1

【點(diǎn)睛】

本題考查共線向量定理，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

（1）向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模

設(shè)Q=（尤yi）,6=（X2，刃），則a+b=Q]+x2，）”+'2），a-b=（a一應(yīng)，yi一）2），

（Arj,Api）,\a\=yjx^+y\.

（2）向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A（X],yi）,B（X2，>2），則43=（X2—即，物一月），|AB|=4（右一xi>+（?—yi>.

6.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)。=（xi，yi）,b=（x2，>2），其中〃方合勺N一12）“=0.

14.已知a=（1,0）,3=（2,1）.

（i）當(dāng)火為何值時(shí)，4與Z+2B共線；

（2）若麗=2—+3反BC=a+mb,且A,B,。三點(diǎn)共線，求機(jī)的值.

【分析】

1212

(1)根據(jù)向量共線，應(yīng)用向量平行的坐標(biāo)表示求k即可；(2)由已知向量的坐標(biāo)

表示麗、前,再由A，B,C三點(diǎn)共線結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示求"?的值；

【詳解】

(1)Va=(l,O),B=(2,l),

Aka-b=(k-2,-l),a+2h=(5,2)；

,?”方一5與Z+2B共線，

A2(A;-2)-(-l)x5=0,

k=一■-;

2

(2)AB=2a+3b=(8,3),BC=a+mb=(2m+\,ni).

B,C三點(diǎn)共線，

二通//配，即有一8/”=3(2/n+1),

.3

..〃！=一.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用向量平行的坐標(biāo)表示求參數(shù)值，首先用已知向量的坐標(biāo)表示向量

線性組合的坐標(biāo)，再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式求參數(shù)值；

15.已知向量荏=(sine,cose—2sin。)，CD=(1,2).

(1)已知C(3,4),求。點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若?！ㄇ埃髏an。的值

15.(1)(4,6),(2)-

4

【分析】

(1)利用向量的坐標(biāo)算法可求出。點(diǎn)坐標(biāo)；

1313

(2)由通〃函，可得8se—2sin6=2sine，化簡再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系

可求出tan。的值

【詳解】

解：(1)設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),

因?yàn)镃(3,4),所以詼=(x—3,y-4),

__.[x-3=1(x-4

因?yàn)镃O=(1,2),所以/°,解得/，

[y-4=2[y=6

所以。點(diǎn)坐標(biāo)為(4,6),

(2)因?yàn)橥?(sine,cose-2sin。)，CD=(1,2),且麗〃麗，

所以cose-2sine=2sin。,

sin01

所以cose=4sin。，所以COSOHO，所以tan6='------=一，

cos。4

【點(diǎn)睛】

此題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查共線向量的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題

16.已知向量值=(2,0),b-(1,4).

(1)求2M+3B，a-2b；(2)若向量妨+B與@+25平行，求女的值.

16.(1)(7,12),(0,-8).(2)k=；

【分析】

(1)由向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行求解；

(2)先求出向量質(zhì)+5與@+25的坐標(biāo)，再由共線的性質(zhì)列方程可得女的值.

【詳解】

解：(1)?.i=(2,0),5=(1,4),

1414

2a+3b=2(2,0)+3(1,4)=(4,0)+(3,12)=(7,12),

a-2b=(2,0)-2(1,4)=(2,0)-(2,8)=(0,-8).

(2)依題意得心+3=(2/,0)+(1,4)=(2女+1,4),

?+2^=(2,0)+(2,8)=(4,8).

???向量左與￡+2區(qū)平行，

.?.8(2A:+l)-4x4=0,解得％

2

【點(diǎn)睛】

此題考查門句量的坐標(biāo)運(yùn)算，共線向量的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題

7.平面向量的數(shù)量積

已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為仇則數(shù)量MWIcos0叫做a與b的數(shù)量積(或

內(nèi)積)，記作a-Z>=|a||Z>|cos0.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_Q_.

兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是a仍=0,兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件

是a-b^+\a\\b\.

8.平面向量數(shù)量積的幾何意義

數(shù)量積ab等于a的長度⑷與b在a的方向上的投影|Z>|cos0的乘積.

9.平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)

(l)e-a=fl-e=|a|cos0；(2)非零向量a,b,a_Lb0(rb=O；

(3)當(dāng)a與b同向時(shí),?b=|a|與;當(dāng)a與》反向時(shí)，a-b=~\a^b\,a-a=|?|2.\a\=y[a-a；

(4)cos9=儒^；(5)|a協(xié)

10.平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律

(l)a協(xié)="a(交換律)；(2)(Aa)*=A(a-b)=a-(Ab)(A為實(shí)數(shù))；(3)(a+b)-c=a-c+b-c.

II.平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示

設(shè)向量0=(即，%),b—(X2,y2)>則a協(xié)=占.及+丫1丫2,由此得到

(1)若@=。，y),則|“|2='+/或依|=、廿+三

(2)設(shè)4(xi，)")，8(X2，)2)，則A、8兩點(diǎn)間的距離|AB|=|贏|=#(尤2—由]+(以一y1

(3)設(shè)兩個(gè)非零向量a,b,a=(xi，yi),b=(X2,>2)，貝3。_1_60為及+丫1丫2=0.

1515

12.向量在平面幾何中的應(yīng)用

（1）用向量解決常見平面幾何問題的技巧:

問題類型所用知識(shí)公式表示

CL//辦ca=kb=Aj一?2=0，

線平行、點(diǎn)共線等問題共線向量定理

其中。=（汨，yi）,5=。2，了2）

。_1_:0。仍=00h彳2+丫注2=0,

垂直問題數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)

a=（x”）1），6=（x2，＞2），其中a，5為非零向量

夾角問題數(shù)量積的定義8$"=而百（。為向量a,"的夾角）

長度問題數(shù)量積的定義\a\—y[ai=yjx2+yr,其中a=(x,y)

17.已知W=2,忖=4,）與B的夾角為60°.

（1）計(jì)算7伍+6）的值；（2）若7M-防）=0,求實(shí)數(shù)左的值.

17.（1）8；（2）1.

【分析】

利用平面向量的數(shù)量積直接計(jì)算即可.

【詳解】

（1）a-^a+b^=c^+a-b=4+2x4xcos60°=8,

（2）=0，即“2_%a.5=4_/：x2x4xcos60o=4_4A;=0，

:.k=l.

【點(diǎn)睛】

此題考平面向量的數(shù)量積的計(jì)算，屬于簡單題.

18.已知非零向量￡,B滿足同=2忖，且R-5）JL尻

（1）求公與行的夾角；（2）若|z+q=j值，求

1616

18.⑴(；(2)萬

【分析】

rrr

(i)由得小一可小=0,則"_『=o,再結(jié)數(shù)量積的公式和

|4=2忖可求得￡與行的夾角；

(2)由w+q=jiz,得忖+彳=14,將此式展開，把忖=2忖代入可求得結(jié)果

【詳解】

rrr

(1);(q-B).力=0,

.r丁i*2

??a-b-b=0，

.Wcos(a,B)-W=0,

?.南=2忖，；.2件cos(Z%件=0,

cos(a,B)=g,

?.?/640,乃)，與B的夾角為不

(2)V|a+^|->/14,；.卜+q=14,

V|?|=2|/?|,又由(1)知cos(a4)=；,

,7忸1=14,邛|="

【點(diǎn)睛】

此題考查平面向量的數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題

19.已知同=2,忖=3,在下列情況下，求0+2歷僅—B)的值：

1717

(I)a//b^(2)aj_b；(3)￡與B的夾角為120。.

19.(1)-8或-20；(2)-14；(3)-17；

【分析】

結(jié)合已知條件，由向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得0+2坂)0=7彼-14,進(jìn)而根據(jù)

34間不同的關(guān)系求值即可.

【詳解】

(a+2b)(a-b)=|a|2+a-b-2\b\2=a-b-14,

(1)a//b^>當(dāng)同向時(shí)￡%—14=6-14=一8，當(dāng)￡,石反向時(shí)

4/^—14=—6—14=—20；

(2)；_|_力時(shí),7很一14=0—14=一14;

(3)。與B的夾角為120。時(shí)，a-^-14=2x3xcosl200-14=-17：

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合向量不同的位置關(guān)系求值，屬于簡單題.

20.已知向量方=(5,-12),b=(-3,4).

(1)求)與5夾角。的余弦值；(2)若向量M+區(qū)與5垂直，求實(shí)數(shù)，的值.

20.(1)(2)/=—

6511

【分析】

(1)先利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及模的運(yùn)算，再求向量夾角即可；

(2)由向量。+區(qū)與汗-5垂直等價(jià)于(￡+區(qū))?(￡—步=()，再求解即可.

【詳解】

1818

解：(1)?.?￡Z=5x(-3)+(-12)x4=-63jd|=13,|5|=5,

.2=/^=-先

\a\-\b\65

(2),/a+tb=(5,-12)+z(-3,4)=(5-3f,-12+4r),

a-ft=(5,-12)-(-3,4)=(8,-16)

又2+區(qū)與垂直，+-5)=()

即8x(5—3。-16x(—12+4f)=0,

4?129

故，=—.

11

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及模的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量垂直的充要條件

21.在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線.若旗=(2,4),而=(1,3).

(1)求cosNZXB的值；(2)求筋.而的值.

21.(1)一主叵(2)8

10

【分析】

___________,、…AD-AB

(1)先計(jì)算AD=AC—AB=(—1,—1),再利用夾角公式COS/D4B=5^同計(jì)

算得到答案.

(2)先計(jì)算而=而一方=(—3,—5),再計(jì)算麗?亞得到答案.

【詳解】

(1)???四邊形45C。為平行四邊形，二

AD=^C=AC-A^=(l,3)-(2,4)=(-1,-1)

1919

AD-AB-2-439

：aNW=ppi=j2；/4+ir

10

(2)BZ)=AZ)-AB=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5)

BD-AD=-lx(-3)+(-l)x(-5)=3+5=8.

【點(diǎn)睛】

本題考查門句量的計(jì)算，意在考杳學(xué)生的計(jì)算能力.

22.已知向量a=(-2,1),5=—加=。+3瓦〃=a-防.

(1)若加〃〃，求人的值；

⑵當(dāng)4=2時(shí)，求而與3夾角的余弦值.

22.(1)-3；(2)一工.

5

【分析】

(1)根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系求得k.

(2)根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求得夾角.

【詳解】

解(1)由題意，得加=(1,—2),〃=(一2—左,1+攵).因?yàn)榧印āǎ?/p>

所以lx(l+k)=-2x(—2—4,解得左=一3.

⑵當(dāng)左=2時(shí)，n=(-4,3).

2020

設(shè)正與3的夾角為仇則cos6=，^

_1x(—4)+(—2)x3__2#>

7T2+(-2)2-V(-4)2+32-5,

所以而與“夾角的余弦值為一述.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的平行關(guān)系和向量數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

走進(jìn)高考

一、單選題

I.（2020年全國卷（文科）新課標(biāo)n）

已知單位向量￡,B的夾角為60。,則在下列向量中，與B垂直的是（）

A.a+2bB.2a+bC.a—2bD.2a—b

1.D

【分析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合兩平面向量垂直數(shù)量積為零這一性

質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】

2121

由己知可得：年cos60°=lxlxg=g

A：因?yàn)椋╝+2^）-B=a?后+2石=—+2x1=—^0,所以本選項(xiàng)不符合題意;

B：因?yàn)椋?2+歷用=275+石2=2xg+l=2H0,所以本選項(xiàng)不符合題意;

___一一_213

C：因?yàn)椋╝—2力）?匕2。=--2xl=--^0,所以本選項(xiàng)不符合題意;

2I

D：因?yàn)椋?￡—楊.石=2￡石一石=2x——1=0,所以本選項(xiàng)符合題意.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)，考查了兩平面向量數(shù)量積為零則

這兩個(gè)平面向量互相垂直這?性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

2.（2018年全國理科數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷）

在aABC中，AO為8C邊上的中線，E為的中點(diǎn)，則麗=

3——1—1一3一

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3—1—1——3—

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

2.A

【分析】

分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得

一1一1一

BE=-BA+-BC,之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則—三角形法則，得到

22

___一3一1—

—麗+而，之后將其合并，得到跖下助+/。，下一步應(yīng)用相反向

一3—1一

量'求得從而求得結(jié)果.

2222

【詳解】

根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得

BE=LBALBD^LBALBC=-BA+-（BA+AC]

2+22+424V7

1一1-1——3—1——

^-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

24444

___3___1___.

所以EB=-AB--AC,故選A.

44

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中

線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題

的過程中，需要認(rèn)真對待每一步運(yùn)算.

3.（2016高考新課標(biāo)HI,理3）已知向量一域萬，"則

A.30°B.45C.60°D.120

3.A

【解析】

DJ.DT1場基C；蜴

試題分析：由題意，得c°s“BC=兩百二^一二彳，所以UBC=30。，故

選A.

【考點(diǎn)】向量的夾角公式.

2323

【思維拓展】(1)平面向量0與b的數(shù)量積為a.b=|ag|cos8,其中。是。與》

的夾角，要注意夾角的定義和它的取值范圍：°S-0-19°：；(2)由向量的

數(shù)量積的性質(zhì)知回=匹，閨固，℃”,因此，利用平面

向量的數(shù)量積可以解決與長度、角度、垂直等有關(guān)的問題.

4.(2015新課標(biāo)全國I文科)已知點(diǎn)40,1),3(3,2),向量/=(-4,-3),則向

量覺=

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

4.A

【解析】

試題分析:前=麗+/=(一3,—1)+(-4,-3)=(-7,-4),選A.

考點(diǎn)：向量運(yùn)算

5.(2015年全國文科數(shù)學(xué)新課標(biāo)H)

已知a=(l,—l),b=(—1,2),則(2a+b)-a=()

A.-1B.0C.1D.2

5.C

【解析】

試題分析：由題意可得/=1+1=2戶用=-1-2=-3,所以

(2a+b)-a=2a2+a?b=4-3=l.故選C.

考點(diǎn)：本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.

2424

6.(2014年全國文科數(shù)學(xué)全國II卷)

設(shè)向量端額滿足|褊1"初=忑而，|夠1-回|=、頜，則國金'=()

A.1B.2C.3D.5

6.A

【解析】

試題分析：因?yàn)閨磁帶到=癡,所以解孤骸毅舜甯爾好^瑜.........

①，又|5-6|=61所以朝-獻(xiàn)尸=常-痛;總需凝耍=■.....②，①-②得

“7=4,所以￡7=1，故選A.

考點(diǎn)：1.向量模的定義及運(yùn)算；2.向量的數(shù)量積.

7.(2014年全國文科數(shù)學(xué)新課標(biāo)I)

設(shè)力,瓦/分別為AABC的三邊BC,C4,A8的中點(diǎn)，貝!J麗+定=

----11-'

A.ADB.-ADC.-BCD.BC

22

7.A

【解析】

試題分析：根據(jù)平面向量基本定理和向量的加減運(yùn)算可得：在MEF中,

EB=EF+FB=EF+-AB,同理定=方+1=屈+，/,則

22

EB+FC=(EF+-AB)+(FE+-AC)=(-AB+-AC)=-(AB+AC)=AD

22222

考點(diǎn)：向量的運(yùn)算

8.(2019年全國(文科)新課標(biāo)I)

2525

已知非零向量ZB滿足H=2W，且則［與B的夾角為

71_71-2兀5兀

A.—B.—C.—D.■—

6336

8.B

【分析】

本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計(jì)算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化

與化歸、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).先由0-楊，行得出向量￡,坂的數(shù)量積與其模的關(guān)

系，再利用向量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角.

【詳解】

因?yàn)椋╝—所以（a—=萬?=0,所以］.石=廣,所以

a-b1兀

cose=Ei=；7喬=5,所以Z與B的夾角為二，故選B.

a-W2\b\23

【點(diǎn)睛】

對向量夾角的計(jì)算，先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個(gè)向量的摸，在利用向量夾角公

式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為1°，?！?

9.（2020年（文科）新課標(biāo)I）

已知向量a=（2,3）石=（3,2）,則|a—B|=

A.-JiB.2

C.572D.50

9.A

【來源】2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)n）

【分析】

2626

本題先計(jì)算再根據(jù)模的概念求出|。-回.

【詳解】

由已知，￡一行=(2,3)-(3,2)=(-1,1),

所以|力|=J-iy+E=0,

故選A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量模長的計(jì)算，容易題，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的

考查.由于對平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算