第05講難點探究專題與一元一次方程有關的綜合問題(4類熱點題型講練)

第05講難點探究專題：與一元一次方程有關的綜合問題(4類熱點題型講練)目錄TOC\o"13"\h\u【類型一新定義型運算與一元一次方程的綜合問題】 1【類型二絕對值方程與一元一次方程的綜合問題】 5【類型三圖形規(guī)律探究與一元一次方程的綜合問題】 8【類型四數(shù)軸上的動點與一元一次方程的綜合問題】 11【類型一新定義型運算與一元一次方程的綜合問題】例題：（2023春·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考開學考試）定義一種新的運算“”：

例如：．(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)代值求解即可；（2）根據(jù)新定義得到方程，解方程即可；【詳解】（1）解：．（2）解：解得：．【點睛】本題主要考查一元一次方程的應用、新定義下的有理數(shù)運算，正確計算是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）定義一種新運算“”：，如(1)求的值；(2)若，求x的值；【答案】(1)2(2)【分析】（1）根據(jù)所給的新定義進行代值計算即可；（2）根據(jù)所給的新定義可得方程，解方程即可．【詳解】（1）解：由題意得，；（2）解：∵，∴，∴，解得．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合計算，解一元一次方程，正確理解所給的新定義是解題的關鍵．2．（2023春·四川遂寧·七年級校聯(lián)考階段練習）定義一種新運算“※”，其規(guī)則為．例如：．再如：．(1)計算值為______．(2)若，求的值．【答案】(1)31(2)【分析】（1）利用題中的新定義計算即可求出值；（2）已知等式利用題中的新定義化簡，計算即可求出m的值．【詳解】（1）根據(jù)題中的新定義得：（2）利用題中的新定義化簡得：，解得：【點睛】此題考查定義新運算，一元一次方程，以及有理數(shù)的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．3．（2023春·河北衡水·九年級校考期中）對于任意的有理數(shù)a、b，定義一種新的運算，規(guī)定：，，等式右邊是通常的加法、減法運算，如，時，，．(1)求的值；(2)若，求x的值．【答案】(1)7(2)【分析】（1）按照題目規(guī)定的新運算法則求解即可；（2）按照題目規(guī)定的新運算法則可得關于x的方程，解方程即得答案．【詳解】（1）由題意，得：．（2）由題意，得，整理，得，解得．【點睛】本題以新運算為載體，主要考查了有理數(shù)的運算和一元一次方程的解法，正確理解新運算法則是解題的關鍵．4．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）對有理數(shù)，定義兩個新運算：，.例如：，．(1)求的值；(2)求的值；(3)若的值和的值相等，求的值．【答案】(1)(2)(3)．【分析】（1）根據(jù)新定義列式計算即可；（2）根據(jù)新定義列式計算即可；（3）根據(jù)新定義列得方程，解方程即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：由題意可得，整理得：，解得：．【點睛】本題考查定義新運算，有理數(shù)的運算及解一元一次方程，（3）中結(jié)合題意列得方程是解題的關鍵．5．（2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考期中）定義：如果兩個一元一次方程的解之和為0，我們就稱這兩個方程為“友好方程”．例如：的解為；的解為，所以這兩個方程為“友好方程”．(1)若關于x的一元一次方程與是“友好方程”，則m．(2)已知兩個一元一次方程為“友好方程”，且這兩個“友好方程”的解的差為3．若其中一個方程的解為，求k的值．(3)若關于x的一元一次方程和是“友好方程”，則關于y的一元一次方程的解為．【答案】(1)；(2)或；(3)【分析】（1）分別求得兩個方程的解，利用“友好方程”的定義列出關于m的方程解答即可；（2）利用“友好方程”的定義得出兩個“友好方程”的解為，，由兩個“友好方程”的解的差為3列出關于k的方程解答即可；（3）求得方程的解，利用“友好方程”的定義得到方程的解，將關于y的一元一次方程變形，利用同解方程的定義即可得到的值，從而求得方程的解；【詳解】（1）解：∵方程的解為，方程的解為，而方程與是“友好方程”，∴，∴；故答案為：；（2）解：∵“友好方程”的一個解為，則另一個解為，依題意得或，解得或，故k的值為或；（3）解：方程的解為，∵關于x的一元一次方程和是“友好方程”，∴關于x的方程的解為，∵關于y的一元一次方程變形得，∴，∴，∴關于y的一元一次方程的解為：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意義解答是解題的關鍵，本題是新定義型，理解并熟練應用新定義解答也是解題的關鍵．【類型二絕對值方程與一元一次方程的綜合問題】例題：（2023秋·全國·七年級課堂例題）先看例題，再解答后面的問題．【例】解方程：．解法一：當時，原方程化為，解得；當時，原方程化為，解得，所以原方程的解為或．解法二：移項，得．合并同類項，得．由絕對值的意義知，所以原方程的解為或．問題：用兩種方法解方程．【答案】或【分析】方法一：首先根據(jù)得，于是原方程可化為，由此可解出，再根據(jù)得，是原方程可化為，由此可解出，綜上所述可得原方程得解；方法二：首先移項、合并同類項得，再將的系數(shù)化為得，然后利用絕對值的意義可得出的值，進而得原方程得解．【詳解】解：解法一：當時，原方程化為，解得；當時，原方程化為，解得，∴原方程的解為或．解法二：移項，得，合并同類項，得，系數(shù)化為1，得，由絕對值的意義知，∴原方程的解為或．【點睛】本題考查絕對值的意義，熟練掌握一元一次方程的解法，理解絕對值的意義和進行分類討論思想的應用是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022秋·全國·七年級專題練習）解下列絕對值方程：(1)(2)【答案】(1)或(2)或【分析】（1）先去絕對值，再解一元一次方程；（2）先去絕對值，再解一元一次方程．【詳解】（1）解：∵，∴，即：或，解得：或；（2）解：∵，∴，當時：，解得：；當時：，解得：；綜上：或．【點睛】本題考查解絕對值方程．熟練掌握絕對值的意義，以及解一元一次方程的步驟，是解題的關鍵．2．（2023秋·安徽池州·七年級統(tǒng)考期末）我們知道由，可得或，例如解方程：，我們只要把看成一個整體就可以根據(jù)絕對值的意義進一步解決問題．解：根據(jù)絕對值的意義，得或，所以或．根據(jù)以上材料解決下列問題：(1)解方程：；(2)解方程：．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）先去絕對值，化成一元一次方程求解即可；（2）先去絕對值，化成一元一次方程求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)絕對值的意義得或，解得或；（2）解：由絕對值的意義得或，解得或．【點睛】本題考查含絕對值的一元一次方程的解法，理解絕對值的意義是求解本題的關鍵．3．（2023秋·全國·七年級專題練習）閱讀理解：在解形如這類含有絕對值的方程時，解法一：我們可以運用整體思想來解．移項得，，，，或．解法二：運用分類討論的思想，根據(jù)絕對值的意義分和兩種情況討論：①當時，原方程可化為，解得，符合；②當時，原方程可化為，解得，符合．原方程的解為或．解題回顧：本解法中2為的零點，它把數(shù)軸上的點所對應的數(shù)分成了和兩部分，所以分和兩種情況討論．問題：結(jié)合上面閱讀材料，解下列方程：(1)解方程：(2)解方程：【答案】(1)或(2)或【分析】（1）類比解法一即可求解；（2）類比解法二，分，，三種情況進行討論，脫去絕對值，解方程，舍去不合題意的方程的解，問題得解．【詳解】（1）解：移項得，合并得，兩邊同時除以得，所以，所以或；（2）解：當時，原方程可化為，解得，符合；當時,原方程可化為，解得，符合；當時，原方程可化為，解得，不符合．所以原方程的解為或．【點睛】本題考查了絕對值方程、一元一次方程的解法，理解題意，能根據(jù)題意脫去絕對值是解題關鍵，注意第（2）問要根據(jù)題意分三類進行討論．【類型三圖形規(guī)律探究與一元一次方程的綜合問題】例題：（2023秋·江蘇·七年級專題練習）用大小一樣的黑白兩種顏色的小正方形紙片，按如圖的規(guī)律擺放：(1)第5個圖案有張黑色小正方形紙片；(2)第n個圖案有張黑色小正方形紙片；(3)第幾個圖案中白色紙片和黑色紙片共有81張？【答案】(1)16(2)(3)20【分析】（1）觀察圖形，發(fā)現(xiàn)：黑色紙片在4的基礎上，依次多3個；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律，用字母表示即可；（3）根據(jù)（2）的規(guī)律，得出，解之得出n的值即可作出判斷．【詳解】（1）∵第1個圖形中黑色紙片的數(shù)量，第2個圖形中黑色紙片的數(shù)量，第3個圖形中黑色紙片的數(shù)量，……，∴第5個圖片中黑色紙片的數(shù)量為，故答案為：16；（2）由（1）知，第n個圖案中黑色紙片的數(shù)量為，故答案為：；（3）設第n個圖案中共有81張紙片，由，解得：，即第20個圖案中共有81張紙片．【點睛】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，解題時必須仔細觀察規(guī)律，通過歸納得出結(jié)論．注意由特殊到一般的分析方法，此題的規(guī)律為：第n個圖案中有張黑色紙片．【變式訓練】1．（2023秋·全國·七年級專題練習）如圖，利用黑白兩種顏色的五邊形組成的圖案，根據(jù)圖案組成的規(guī)律回答下列問題：(1)圖案④中黑色五邊形有______個，白色五邊形有______個；(2)圖案中黑色五邊形有______個，白色五邊形有______個；（用含的式子表示）(3)圖案中的白色五邊形可能為2023個嗎？若可能，請求出的值；若不可能，請說明理由．【答案】(1)4，13(2)，(3)可能，【分析】（1）觀察可知，除第一個以外，每增加一個黑色五邊形，相應的白色五邊形增加三個，即可解答．（2）根據(jù)觀察分析出白色五邊形的塊數(shù)與圖形序號之間的關系，并由此猜想數(shù)列的通項公式，解答問題．（3）根據(jù)通項公式解答出的值即可判斷．【詳解】（1）∵第1個圖形中黑色五邊形的個數(shù)為1，白色五邊形的個數(shù)為4；第2個圖形中墨色五邊形的個數(shù)為2，白色五邊形的個數(shù)為，第3個圖形中墨色五邊形的個數(shù)為3，白色五邊形的個數(shù)為；∴第4個圖形中界色五邊形的個數(shù)為4，白色五邊形的個數(shù)為．（2）由（1）可得：第個圖形中黑色五邊形的個數(shù)為，白色五邊形的個數(shù)為．（3）可能，理由如下：由題意得，解得，故圖案中的白色五邊形可能為2023個．【點睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．2．（2023秋·全國·七年級專題練習）用同樣規(guī)格的黑，白兩種顏色的正方形瓷磚按如圖所示的方式鋪寬為米的小路．(1)鋪第6個圖形用黑色正方形瓷磚塊，用白色正方形瓷磚塊；(2)按照此方式鋪下去，鋪第n個圖形用黑色正方形瓷磚塊，用白色正方形瓷磚塊（用含n的代數(shù)式表示）；(3)在（2）的基礎上，若黑，白兩種顏色的瓷磚規(guī)格都為（長為米×寬米），若按照此方式鋪滿一段總面積為平方米的小路時，n是多少？【答案】(1)25，14(2)，(3)16【分析】（1）根據(jù)圖形算出前幾個圖形中含有的瓷磚數(shù)，找到規(guī)律，再代入求解；（2）由（1）的規(guī)律填空；（3）根據(jù)瓷磚數(shù)乘一塊瓷磚的面積等于總面積列方程求解．【詳解】（1）解：第1個圖形中有個黑色正方形瓷磚，有個白色瓷磚；第2個圖形中有個黑色正方形瓷磚，有個白色瓷磚；第3個圖形中有個黑色正方形瓷磚，有個白色瓷磚；，第個圖形中有個黑色正方形瓷磚，有個白色瓷磚；第6個圖形中有25個黑色正方形瓷磚，有14個白色瓷磚；故答案為：25，14；（2）由（1）知：第個圖形中有個黑色正方形瓷磚，有個白色瓷磚，故答案為：，；（3）第個圖形中有個黑色正方形瓷磚，有個白色瓷磚，故第個圖形中有個正方形瓷磚；，解得：．【點睛】本題考查了圖形的變換類，找到變化規(guī)律是解題的關鍵．3．（2023春·安徽·九年級專題練習）苯是最簡單的芳香族化合物，在有機合成工業(yè)上有著重要的用途，德國化學家凱庫勒發(fā)現(xiàn)了苯分子的環(huán)狀結(jié)構．將若干個苯環(huán)以直線形式相連可以得到如下類型的芳香族化合物（結(jié)構簡式中六邊形每個頂點處代表個原子，通常省略原子）．已知：個苯的結(jié)構式是，結(jié)構簡式為，分子式是；個苯環(huán)相連結(jié)構式是，結(jié)構簡式為，分子式是；個苯環(huán)相連結(jié)構式是，結(jié)構簡式為的分子式是；根據(jù)以上規(guī)律，回答下列問題：(1)個苯環(huán)相連的分子式是______；(2)個苯環(huán)相連的分子式是______；(3)試通過計算說明分子式為是否屬于上述類型的芳香族化合物．【答案】(1)(2)(3)分子式為屬于芳香族化合物【分析】（1）根據(jù)題意，找出個苯，個苯環(huán)，個苯環(huán)中原子，原子的數(shù)量關系即可求解；（2）根據(jù)（1）中原子，原子的數(shù)量關系即可確定個苯環(huán)的分子式；（3）根據(jù)（2）中的分子式即可求解．【詳解】（1）解：個苯的結(jié)構式中有一個六邊形（個原子，個原子），個苯環(huán)的結(jié)構式中有一個六邊形（個原子，個原子）加上一個五邊形（個原子，個原子），個苯環(huán)的結(jié)構式中有一個六邊形（個原子，個原子）加上一個五邊形（個原子，個原子），再加上一個五邊形（個原子，個原子），∴原子的個數(shù)是，原子的個數(shù)是，∴個苯環(huán)結(jié)構中原子的個數(shù)是，原子的個數(shù)是，∴個苯環(huán)相連的分子式是，故答案為：．（2）解：由（1）可知，原子的個數(shù)是，原子的個數(shù)是，∴個苯環(huán)相連的分子式是，故答案為：．（3）解：分子式為，∴，解得，；，解得，；即當時，苯環(huán)分子式為，∴分子式為屬于芳香族化合物．【點睛】本題主要考查數(shù)字、圖形的規(guī)律探究，理解表示的含義，掌握有理數(shù)的規(guī)律運算是解題的關鍵．【類型四數(shù)軸上的動點與一元一次方程的綜合問題】例題：（2023秋·江蘇蘇州·七年級蘇州草橋中學?？茧A段練習）已知數(shù)軸上A，B，C三點對應的數(shù)分別為、3、5，點P為數(shù)軸上任意一點，其對應的數(shù)為x．點A與點P之間的距離表示為，點B與點P之間的距離表示為．(1)若，則__________；(2)若，求x的值；(3)若點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位的速度向右運動，點Q從點C出發(fā)，以每秒1個單位的速度向右運動，兩點同時出發(fā)，經(jīng)過__________s，P、Q兩點之間的距離為4．【答案】(1)1(2)或5(3)1或5【分析】（1）結(jié)合數(shù)軸，進行求解即可；（2）分點P在點A左側(cè)，點P在點A、B中間，點P在點B右側(cè)，三種情況，列出方程進行求解即可．（3）設后P、Q兩點之間的距離為4，分兩種情況，當點P在點Q左側(cè)時，當點P在點Q右側(cè)時，分別列出方程，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：由點在數(shù)軸上的位置，可知，當時，P在點A、B中間，∴，，∴，解得：；故答案為：1；（2）解：∵若點P在點A左側(cè)，，，則，解得：；若點P在點A、B中間：，，則，不符合題意；若點P在點B右側(cè)，，，則，解得：；綜上的值為或5．（3）解：設后P、Q兩點之間的距離為4，當點P在點Q左側(cè)時，，解得：；當點P在點Q右側(cè)時，，解得：；綜上分析可知，經(jīng)過或，P、Q兩點之間的距離為4．故答案為：1或5．【點睛】本題考查整式的加減運算，一元一次方程的應用．熟練掌握數(shù)軸上兩點間的距離公式，是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022秋·浙江臺州·七年級校考期中）已知數(shù)軸上有三點，分別代表，，，兩只電子螞蟻甲、乙分別從兩點同時相向而行，甲的速度為個單位，乙的速度為個單位．(1)甲、乙多少秒后相遇？(2)甲、乙出發(fā)多少秒后，甲、乙相距個單位？(3)當甲到達點時，乙調(diào)頭原速返回，當甲、乙在數(shù)軸上再次相遇時，相遇點表示的數(shù)是多少？（直接寫出答案）【答案】(1)甲、乙秒后相遇(2)甲，乙出發(fā)后或秒后，甲、乙相距個單位(3)相遇點表示的數(shù)是【分析】（1）根據(jù)相遇問題，設秒后甲與乙相遇，由此列式求解即可；（2）根據(jù)相遇問題，分類討論，第一種情況：相遇前相距個單位；第二種情況：相遇后相距個單位；根據(jù)數(shù)量關系列式求解即可；（3）根據(jù)甲從的時間，可知乙所處的位置，再根據(jù)追擊問題，設經(jīng)過后再次相遇，由數(shù)量關系列式即可求解．【詳解】（1）解：∵表示的為，表示的是的，∴，設秒后甲與乙相遇，∴，解得，∴甲、乙秒后相遇．（2）解：設秒后甲、乙相距個單位，第一種情況：相遇前相距個單位，∴，解得，；第二種情況：相遇后相距個單位，∴，解得，；∴甲，乙出發(fā)后或秒后，甲、乙相距個單位．（3）解：∵表示的為，表示的是的，∴，且甲的速度為個單位，乙的速度為個單位∴甲從的時間為，∴乙走的路程為，則此時乙對應的數(shù)值是，∴甲在乙的右邊，即甲在的位置，乙在位置，則甲乙相距個單位長度，設經(jīng)過后再次相遇，∴，解得，，即甲乙用了時再次相遇，∴乙走的路程為，∴相遇點對應的數(shù)值是，∴相遇點表示的數(shù)是．【點睛】本題主要考查數(shù)軸上動點問題，運用一元一次方程解決實際問題，掌握數(shù)軸上有理數(shù)的關系，兩點之間距離的計算方法，一元一次方程解實際問題的方法是解題的關鍵．2．（2023秋·江西上饒·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點，且A，B兩點間的距離為10．動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設運動時間為秒．(1)數(shù)軸上點B表示的數(shù)是________，點P表示的數(shù)是________（用含的式子表示）；(2)動點Q從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)．求：①當點P運動多少秒時，點P與點Q相遇？②當點P運動多少秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度？【答案】(1)；(2)①當點P運動5秒時，點P與點Q相遇；②當點P運動1或9秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離即可解答；（2）①根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離結(jié)合行程問題的特點列出方程求解；②根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離結(jié)合行程問題的特點列出方程求解．【詳解】（1）∵數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，∴，則，∵點B在原點左邊，∴數(shù)軸上點B所表示的數(shù)為；∵動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，∴點P運動t秒的長度為，∴P所表示的數(shù)為：；故答案為：，；（2）①點P運動t秒時追上點Q，根