2023年中考數(shù)學復(fù)習卷《銳角三角函數(shù)》含解析

銳角三角函數(shù)

一、選擇題

L計算fan45’二()

A.6B.1

C.⑻D.0

【答案】B

【解析】：tan45°=1故答案為:B?！痉治觥扛鶕?jù)特殊銳角三角函數(shù)值即可得出答案。

2.以下運算結(jié)果正確的是

A.3a3,2a2=6a6B.(-2a)2=-4a2C.tan45°=V2.D.cos30°

2~T

【答案】D

【解析】A、原式=6a5,故不符合題意；B、原式Ma?,故不符合題意；C、原式=1,故不符合題意；D、原

式=6,故符合題意.故答案為：D【分析】根據(jù)單項式乘以單項式，系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相同

的字母，底數(shù)不變，指數(shù)相加；積的乘方，等于把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的幕相乘；根據(jù)

特殊銳角三角函數(shù)值即可一一得出答案，再進行判斷即可。

3.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC、BD相交于點0,BD=8,tanZABD=:，那么線段AB的長為

B.

C.5

D.10

【答案】C

3

【解析】：：菱形加電8?=8.”（：，8口，加9，='13￡）=推低/\人80中，出114.必1>=悠=岑-

4

A0=3.?.四=辦行：；501二.檸W0二；故答案為：C【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分，得出AC

_LBD,求出B0的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，求出A0的長，然后根據(jù)勾股定理就可求出結(jié)果。

4.數(shù)學活動課，老師和同學一起去測量校內(nèi)某處的大樹/月的高度，如圖，老師測得大樹前斜坡DE的坡度

i=l:4,一學生站在離斜坡頂端苣的水平距離DF為8m處的D點，測得大樹頂端A的仰角為〃，=：,

BE=1.6m,此學生身高CD=1.6m,那么大樹高度AB為0m.

B.7.2

C.7

【答案】D

【解析】如下圖:過點C作「G1-18延長線于點G,交EF于點

=華，計算得出:

O

FF-1,FV=,6G=E；V=0口”，$皿=(=嚓，設(shè)4G=去，那么

,故8c=4x,即8+L6=4x,計算得出：1=27，故將=2,：；3=33”，那么

AB=AG-二八故答案為：D.【分析】將大樹高度AB放在直角三角形中，解直角

三角形即可求解。即:過點C作CG±AB延長線于點G,交EF于點N,因為斜坡DE的坡度i=l:4,

所以,解得EF=2,而sinaU=設(shè)AG-3x,那么AC-5x,所以BC-4x,即

8+1.6=4x，解得x=2.4，所以AG=2.4X3=7.2m,那么AB=AG-BG=7.2~0.4=6.8m。

5.如圖，電線桿CD的高度為h,兩根拉線AC與BC相互垂直，ZCAB=a,那么拉線BC的長度為(A、I)、

B在同一條直線上)()

A.—B.」一C.二上一D.h?cosa

CM4廣ECtaJKL

【答案】B

【解析】：ZCAD+ZACD=90°,ZACD+ZBCD=90°,AZCAD=ZBCD,在RSBCD中，VcosZBCD=

萼，.?.BC=―應(yīng)選：B.【分析】根據(jù)同角的余角相等得/CAD=NBCD,由os/BCD=

JiCD.mm

CD.CD_h

8c大UBG-BC1).一由.

6.如圖，ZXABC內(nèi)接于。0,AD為。。的直徑，交BC于點E,假設(shè)DE=2,0E=3,那么匕nOhU由二0

A.4B.3

C.2D.5

【答案】A

【解析】：如圖，連接BD,CD:D0=2,0E=30A=0D=5，AE=0A+0E=8YZ

ABE=4DC,ZAEB=ZDEC.-.AABE^ADEC.^^等①同理可得：△AECs^BED...鋁=藻②由①

義②得-淳VAD是直徑ZABD=ZACD=90°Z.tanZACB=ZADB=tanZABC=tanZ

rEHD：C；’D?DhCD

ADO界tanNACBtanNABC=*—方—第=3=4故答案為:M分析】根據(jù)0D和0E的長，求出AE的長,

nlJ(l-JnlJIJF.N

再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定，得出事輿-率’，利用銳角三角函數(shù)的定義，可證得tanNACBtan

?ri/)(-1)IJr

NABC=春蔡=?德’，代入求值即可。

CLrBLJUr.

7.在RtZ^ABC中，ZC=90°,AC=4,cosA的值等于：，那么AB的長度是0

A.3B

4C.

5D.

20

【答案】D

【解析】：???Rt^ABC中，/C=90°,cosA的值等于;：.COS/A=T^=：.?.$€解之：AB=^故答案為:

D【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，列出方程cosNA=+=：,求出AB的值即可。

8.如圖，一艘輪船在A處測得燈塔P位于其北偏東60°方向上,輪船沿正東方向航行30海里到達B處后,

此時測得燈塔P位于其北偏東30°方向上，此時輪船與燈塔P的距離是0

A.15海里B.30海

里C.45海

里D.30海里

【答案】B

【解析】：作BD_LAP,垂足為D根據(jù)題意，得/BAD=30°,BD=15海里，二

ZPBD=60°,那么/DPB=30°,BP=15X2=30（海里），應(yīng)選：B.【分析】作CD_LAB,垂足為D.構(gòu)建直

角三角形后，根據(jù)30°的角對的直角邊是斜邊的一半，求出BP.

9.如圖，在中，=-18=10,AC=8,那么sinJ等于（）

A.-7B.±C.1D.,y

【答案】A

【解析】：在RtAABC中，VAB=10,AC=8,；.BC=畫?_且爐力1&-￥=6,?,-sinA=瞽=備=].

故答案為：A.【分析】首先根據(jù)勾股定理算出BC的長，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可得出答案。

10.一艘在南北航線上的測量船，于A點處測得海島B在點A的南偏東30°方向，繼續(xù)向南航行30海里到

達C點時，測得海島B在C點的北偏東15°方向，那么海島B離此航線的最近距離是[結(jié)果保存小數(shù)點后

兩位）（參考數(shù)據(jù)：；&-：1;3_、士之1.414）〔）

A.4.64海里B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里

【答案】B

【解析】：

ACB=15°,

BA=BE,AD=DE,設(shè)BD=x,在RtZ\ABD中，；.AD=DE=Jjx,AB=BE=CE=2x,AC=AD+DE+EC=2J7x+2x=30,

Ax=』尸也5.49,故答案為：B.【分析】根據(jù)題意畫出圖如下圖：作BDLAC,取BE=CE,

根據(jù)三角形內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)得出BA=BE,AD=DE,設(shè)BD=x,RtZ\ABD中，根據(jù)勾股定理得

AD=DE=&,AB=BE=CE=2x,由AC=AD+DE+EC=2〃x+2x=30,解之即可得出答案.

二、填空題

11.在aABC中，ZC=90°,假設(shè)tanA=',那么sinB=.

【答案】正

，2K

【解析】：如下圖：VZC=90°,tanA=；.設(shè)BC=x,那么AC=2x,故AB=〃x,那

CA

么sinB=嗎=關(guān)-=至.故答案為：史.【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義由tanA=設(shè)BC=x,那

?姐盡、S

么AC=2x,根據(jù)勾股定理表示出AB的長，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可得出答案。

12.如圖，在菱形紙片ABCD中，月5="，匚:i=6D，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕

為FG,點F,G分別在邊.15上，那么【auN矛F(xiàn)G的值為

3

【答案】羋

【解析】如圖，作EH_LAD于H,連接BE,BD、AE交FG于0,因為四邊形

ABCD是菱形，ZA=60°,所以4ADC是等邊三角形，NA【)C=120°,?點E是CD的中點，所以ED=EC=g,

BE±CD,RSBCE中,BE=百CE=￥,因為AB〃CD,所以BE_LAB,設(shè)AF=x,那么BF=3-x,EF因為x,

在RtZXEBF中,那么勾股定理得，X2=(3-X)2+(生尸，解得x=斗,RtADEH中，D1I={DE=±,HE=4DH=

笫,RtAAEH中，AE=噂,所以A0=孚,RtAAOF中,0F=

卑.，所以tan/EFG=^-=羋，故答案為半.【分析】作EH_LAD于H,連接BE,BD、AE交FG于

0,根據(jù)菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定方法得出aADC是等邊三角形，ZADC=120°,根據(jù)等邊三角形的

三線合一得出ED=EC=3，BE±CD,Rt^BCE中，根據(jù)勾股定理得出BE,CE的長，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

BE±AB,設(shè)AF=x,那么BF=3-x,EF二AF二x,在Rtz^EBF中，那么勾股定理得出方程求解得出x的值，RtA

DEH中，DH=■=1，HE=JjDH=忠,RtAAEH中，利用勾股定理得出AE的長，進而得出A0的長,

□△AOF中，利用勾股定理算出0F的長，根據(jù)正切函數(shù)的定義得出答案。

13.如圖，在RtaABC中，ZB=90°,ZC=30°,BC=Jl,以點B為圓心，AB為半徑作弧交AC于點E,那

么圖中陰影局部面積是

【答案】旦

6-4

【解析】:連接BE.VZB=90°,ZC=30°,BC=Jz，ZA=60°,

AB=1.VAB=EB,.,.△ABE是等邊三角形，ZABE=60°,AS弓形二S闞形ABE-SAABE:

6011'111Jl=￡故答案為：&【分析】連接BE-因為/B=90°，ZC=30°,

BC=由NC的正切可得tan/C=Jg，所以AB=g.4=1,由題意以點B為圓心，AB為半徑作弧交

AC于點E可得AB=EB,所以AABE是等邊三角形，那么NABE=60°,圖中陰影局部面積=扇形ABE的面積-

三角形ABE的面積=等""X1X言=齊更.

14.如圖，某高速公路建設(shè)中需要測量某條江的寬度AB,飛機上的測量人員在C處測得A,B兩點的俯角分

別為45°和30°.假設(shè)飛機離地面的高度CH為1200米，且點H,A,B在同一水平直線上，那么這條江

的寬度AB為米(結(jié)果保存根號).

【答案】1200^-1200

【解析】:依題可得：NACD=45°,NBCD=30°,CH=1200,；CD〃AB,/.ZCAH=ZACD=45°,ZCBH=Z

BCD=30°,.?.AH=CH=1200,設(shè)AB=x米，在Rtz^CHB中，；.tanOCBH=建.即有=:,而，解得：

RH12OO*Y

x=12004-1200.故答案為：1200JJ-1200.【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合條件得/CAH=NACD=45°,

NCBH=NBCD=30°,設(shè)AB=x米，在Rt^CHB中，根據(jù)正切三角函數(shù)定義建立等式，代入數(shù)值解方程即可得

AB長.

15.如圖，在菱形ABCD中，AB=2,ZB是銳角，AEJ_BC于點E,M是AB的中點，連結(jié)MD,ME.假設(shè)NEMD=90°,

那么cosB的值為________。

【答案】回

A_______D

【解析】：延長DM交CB的延長線于H,/?.?四邊形ABCD為菱形，

AB=AD=BC=2,AD/7BC,/.ZADM=ZH,又是AB的中點，；.AM=BM=1,在△ADM和aBFlM中，：

(N皿M

乙ABMH，(AAS),.\DM=HM,AD=BH=2,VEM1DM,；.EH=ED,設(shè)BE=x，，

LA/=n\f

EH=ED=2+x,VAE±BC,AZAEB=ZEAD=90°,AAE^AB-BE^EI^-AD2,BP22-x2=(2+x)心爐,化簡得:

X2+2X-2=0,解得：x=J71,在Rt^ABE中，.?.COSB=R￡_'更二?.故答案為：6T.【分析】延長DM交

*AB~22

CB的延長線于H,由菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得：AB=AD=BC=2,ZADM=ZH：由全等三角形的判定AAS

得△ADMg△BHM,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得DM=HM,AD=BH=2,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得

EH=ED,設(shè)BE=x,那么EH=ED=2+x,根據(jù)勾股定理得AEJABJBEJEDJAD；代入數(shù)值解這個方程即可得出BE

的長.

16.如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點0,

形，；.BE=CF=BE±CF,；.BG=EG=CG=FG=也，又；BF〃AC,ABFO^AACO,

v__WCO3

.".C0=3F0,.\FO=OG=4CG=￡"在RtZ\BGO中，；.tanNBOG=畢，=M=2,又：/AOD=/BOG,；.tan/

ar.it口-

A0D=2.故答案為:2.【分析】連接BE交CF于點G（如圖），根據(jù)勾股定理得BE=CF=⑻，再由正方形的

性質(zhì)得BELCF,BG=EG=CG=FG=上，又根據(jù)相似三角形的判定得△BFOs^ACO,由相似三角形的性質(zhì)得

2

gJ，從而得FO=OG=2cG=,在RtABGO中根據(jù)正切的定義得tanZBOG=先—二二2,

根據(jù)對頂角相等從而得出答案.

17.如圖。在4?j的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點.JJ5r的頂點都在格點上,那么ZBAC

的正弦值是—

【答案】V

$

【解析】VAB2=32+42=25,AC2=22+42=20,BC2=l2+22=5,AAC2+BC2=AB\.'.△ABC為直角三角形，且/

ACB=90°,那么sin/BAC=號=￡.故答案為：￡.【分析】首先根據(jù)方格紙的特點，算出AB-AC3

BC?,然后根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出.??△ABC為直角三角形，且NACB=90°,根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可

得出答案。

18.一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF疊合在一起，邊BC與EF重合，BC=EF=12cm（如圖1）,點

G為邊BC（EF）的中點，邊FD與AB相交于點H,此時線段BH的長是.現(xiàn)將三角板DEF繞點G按

順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2）,在NCGF從0°至IJ6O°的變化過程中，點H相應(yīng)移動的路徑長共為..（結(jié)

果保存根號）

【答案】12；12^318

如圖1中，作HM_LBC于M,HNLAC于N,那么四邊形

HMCN是正方形，設(shè)邊長為a.在RtZ\ABC中，?.?/ABC=30。，BC=12,，在RtZiBHM中,

BH=2HM=2a,在Rt^AHN中,AH=。a,/.2a+-V=8^3,/.a=6^-6,

BH=2a=12j7-12.如圖2中，當DG〃AB時，易證GH-DF,BHi的

值最小，那么BHI=BK+KHI=34+3,.洞加劃尸94T5,當旋轉(zhuǎn)角為60°時,F與H2重合,易知即產(chǎn)6〃,

觀察圖象可知，在NCGF從0°到60°的變化過程中，.?.點H相應(yīng)移動的路徑長

=2HHi+HH2=18jjT0+[64-(124-12)]=124T8,故答案為：124-12,12〃T8.【分析】如圖1中，作

HM_LBC于M,HNJ_AC于N,那么四邊形HMCN是正方形，設(shè)邊長為a,利用解直角三角形求出AB的長，用

含a的代數(shù)式分別表示BH、AH的長，再根據(jù)AB=AH+BH,就可求出a的值，從而求出BH的值即可；如圖2

中，當DG〃AB時，易證GH」DF,得出此時叫的值最小，求出即的值，再求出BH?的值，然后求值在NCGF

從0°到60°的變化過程中，點H相應(yīng)移動的路徑長即可。

三、解答題題

(一)4--1,其中a=2sin60°-tan45°?

19.先化簡，再求值：

klofhl

la-12a^l1]

【答案】解：原式=[i%c-/仆/?(a-1)-…v,(a-1)-------當

=2X走-1=出-1時，原式=——=走

a=2sin600-tan45°

2">5-1+13

【解析】【分析】將原式括號內(nèi)通分、將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再計算減法，最后約分即可化簡原式，根據(jù)特

殊銳角三角函數(shù)值求得a的值，代入即可.

20.為了計算湖中小島上涼亭P到岸邊公路1的距離，某數(shù)學興趣小組在公路1上的點A處，測得涼亭P

在北偏東60°的方向上；從A處向正東方向行走200米，到達公路/上的點B處，再次測得涼亭P在北偏

東45°的方向上，如下圖.求涼亭P到公路，的距離結(jié)果保存整數(shù)，參考數(shù)據(jù)1r414，〃：：1.732)

【答案】解：依題可得：AB=200米，ZPAC=60°,/PBD=45°,令PG=x米，作PG_L1,

.,.ZPAG=30°,ZPBG=45°,...△PBG為等腰直角三角形，.?.BG=PG=x，在山△

PAG中,tan30°=/.x=100出+1)=273答:涼亭P到公路1的距離是273

米.

【解析】【分析】令PG=x米，作PGLI,根據(jù)題意可得△PBG為等腰直角三角形，即BG=PG=x，在Rt^PAG

中，根據(jù)銳角三角函數(shù)正切定義可得tan30°=號，代入數(shù)值解方程即可.

21.如圖，湛河兩岸AB與EF平行，小亮同學假期在湛河邊A點處，測得對岸河邊C處視線與湛河岸的夾

角ZCAB=37°,沿河岸前行140米到點B處，測得對岸C處的視線與湛河岸夾角NCBA=45°.問湛河的寬

度約多少米？(參考數(shù)據(jù)：sin37°40.60,cos37°=0.80,

tan37°=0.75)

【答案】解：過C作CDLAB于點D,設(shè)CD=x米.在

RtZXBDC中，ZCDB=90°，ZCBD=45°,/.BD=CD=x.在Rt/XADC中,ZADC=90°,ZCAD=37°,.*.AD=

,.,AB=AD+DB=140,.沖+x=140，.”60.答:湛河的寬度約60米.

【解析】【分析】過C作CDJ_AB于點I),設(shè)CD=x米，在Rt^BDC中,ZCDB=90°,ZCBD=45°,根據(jù)等

腰三角形的性質(zhì)可得BD=CD=x,在RtZXADC中，ZADC=90°,ZCAD=37°,由tan/CAD=tan37°=g*,

所以AD='q^?。?拄三,而由題意得AB=AD+DB=140,所以不治++x=140,解得x=60.

22.:在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，點A在x軸的負半軸上,直線，一&-鼻收與x軸、y軸

分別交于B、C兩點，四邊形ABCD為菱

(1)如圖1,求點A的坐標；

(2)如圖2,連接AC,點P為AACD內(nèi)一點,連接AP、BP,BP與AC交于點G,且/APB=60°,點E在線段AP

上，點F在線投BP上,且BF=AE.連接AF、EF,假設(shè)/AFE=30°,求AF、+EF、的值;

(3)如圖3在(2)的條件下，當PE=AE時，求點P的坐標.

c=

【答案】(1)解：如圖「.了=一吊+(亞「aaoim,回:BO=5,°在SBCO中

-r.?.四邊形ABCD為菱形.,.AB=BC=7；.A0=AB-B0=7--=1二

BC=QB&+C&=H+G而

-4-y°)⑵解VAO=4=B0-CO±ABAC=BC=7AB=AC=BC

.?.△ABC為等邊三角形，ZACB=60°,ZAPB=60°ZAPB=ZACBVZPAG+ZAPB=ZAGB=ZCBG+ZACBZ

PAG=ZCBG連接CE、CFVAE=BF△ACE^ABCFCE=CFZACE=ZBCFZECF=ZACF+ZACE=ZACF+ZBCF=

ZACB=60°ACEF為等邊三角形.?.NCFE=60°EF=FCVZAFE=30°ZAFC=ZAFE+ZCFE=90°在RtZ\ACF中

/.AF2+CF2=AC2=72=49AAF2+EF2=49⑶解:如圖由（2）知ACEF為等邊

三角形NCEF=60°EC=EF延長CE、FA交于點H；NAFE=30°ZCEF=ZH+ZEFHZH=ZCEF-ZEFH=300AZ

H=ZEFHAEH=EFEC=EH連接CPPE=AEZCEP=ZHEAACPE^AHAEAZPCE=ZH:CP//FHZHFP=ZCPF