專題27.1成比例線段（人教版）

專題27.1成比例線段【四大題型】【人教版】目錄TOC\o"11"\h\u題型一：比例性質(zhì) 1題型二：線段的比 4題型三：成比例線段 6題型四：黃金分割 8【知識點(diǎn)1成比例線段的概念】1．比例的項(xiàng)：在比例式（即）中，a，d稱為比例外項(xiàng)，b，c稱為比例內(nèi)項(xiàng)．特別地，在比例式（即）中，b稱為a，c的比例中項(xiàng)，滿足．2．成比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．【知識點(diǎn)2比例的性質(zhì)】比例的性質(zhì)示例剖析（1）基本性質(zhì)：（2）反比性質(zhì)：（3）更比性質(zhì)：或或（4）合比性質(zhì)：（5）分比性質(zhì)：（6）合分比性質(zhì)：（7）等比性質(zhì)：已知，則當(dāng)時(shí)，.【知識點(diǎn)3黃金分割】如圖，若線段AB上一點(diǎn)C，把線段AB分成兩條線段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即），則稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對于線段AB而言，黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．）題型一：比例性質(zhì)1．已知，那么函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第象限．【答案】四【分析】利用比例性質(zhì)正確求得的值，然后根據(jù)直線解析式中的的值正確判斷直線經(jīng)過的象限．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，根據(jù)比例性質(zhì)，得，則直線解析式是，則圖象一定經(jīng)過一、二、三象限．故答案為：四．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系以及比例的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在一、二、三象限是解答此題的關(guān)鍵．2．若，那么．【答案】/【分析】根據(jù)比例性質(zhì)設(shè)，則，，，進(jìn)而代值求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查比例性質(zhì)、分式的性質(zhì)，熟練掌握比例性質(zhì)并靈活運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．3．若實(shí)數(shù)滿足，求的值．【答案】8或．【分析】觀察與發(fā)現(xiàn)，后者是通過前者相乘得來，那么只要找出的值解出，因此設(shè)，通過變換化為那么可能是或?qū)@兩種情況分別討論求解即可．【詳解】解：∵，∴，設(shè)，則，，，即，所以或，當(dāng)時(shí)，則，，同理，，所以；當(dāng)時(shí)，所以，綜上，值為8或．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，分式的化簡求值，做好本題的關(guān)鍵是找出a、b、c三個(gè)變量間的關(guān)系，因而假設(shè)得到或．4．已知，且，求的值．【答案】【分析】設(shè)，進(jìn)而用含的式子表示出、、，再代入已知等式中，求出的值，進(jìn)而得出、、的值，即可計(jì)算求值．【詳解】解：設(shè)，，，，，解得：，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，代數(shù)式求值，利用“設(shè)k法”分別表示并求出a、b、c的值是解題關(guān)鍵．5．已知，，，求的值．【答案】2023【分析】設(shè)，則，再求出和的值，由此即可得．【詳解】解：設(shè)，則，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)、多項(xiàng)式的乘法等知識點(diǎn)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型二：線段的比6．如果一幅地圖的比例尺為，那么實(shí)際距離是千米的兩地在地圖上的圖距是（

）A．6厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米【答案】A【分析】根據(jù)比例尺的定義：圖上距離與實(shí)際距離的比直接計(jì)算即可得到答案；【詳解】解：∵比例尺為，實(shí)際距離是千米，∴圖上距離，故選：A．7．某兩地的實(shí)際距離為千米，畫在地圖上的距離是厘米，則在地圖上的距離與實(shí)際的距離之比是（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】千米米厘米，∴地圖上的距離與實(shí)際的距離之比是，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了比例尺，解題的關(guān)鍵是正確理解比例尺的定義．8．小明有一張上海市地圖，地圖的比例尺是，如果A，B兩地在地圖上的距離是4厘米，那么A，B兩地的實(shí)際距離是（

）A．8千米 【答案】B【分析】4厘米千米，再設(shè)A，B兩地的實(shí)際距離是x千米，即得出，求解即可．【詳解】解：4厘米千米，設(shè)A，B兩地的實(shí)際距離是x千米，則，解得：，故A，B兩地的實(shí)際距離是0.8千米．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查比例尺．掌握比例尺=圖上距離÷實(shí)際距離是解題關(guān)鍵．9．在比例尺為的地圖上，量得甲、乙兩地的距離為，則甲、乙兩地的實(shí)際距離是．【答案】【分析】根據(jù)比例尺圖上距離實(shí)際距離，列比例式直接求得甲、乙兩地間的實(shí)際距離．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩地間的實(shí)際距離為，則，解得：，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是比例線段，掌握比例尺的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．在比例尺為的工程規(guī)劃圖上，量得運(yùn)河大橋兩端的圖上距離是，則運(yùn)河大橋兩端實(shí)際距離為．【答案】【分析】用圖上距離除以比例尺即可得到實(shí)際距離，再轉(zhuǎn)換單位即可．【詳解】根據(jù)題意得：，，即運(yùn)河大橋兩端實(shí)際距離為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了成比例線段，正確理解圖上距離與實(shí)際距離的比等于比例尺是解題的關(guān)鍵．題型三：成比例線段11．下列各組中的四條線段成比例的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)比例線段的概念逐項(xiàng)判斷即可解答【詳解】解：A．∵，∴四條線段成比例，符合題意；B．∵，∴四條線段不成比例，不符合題意；C．∵，∴四條線段不成比例，不符合題意；D．∵，∴四條線段成比例，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時(shí)候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．12．如圖，某一時(shí)刻兩個(gè)建筑物和在太陽光照射下影子的端點(diǎn)剛好重合在地面的點(diǎn)E處，若米，米，米（點(diǎn)B、D、E在同一水平線上，A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)），則建筑物的高度為（

）A．8米 B．16米 C．24米 D．32米【答案】C【分析】根據(jù)在同一時(shí)刻物高與影長成正比求解即可．【詳解】解：由題意得：，∵米，米，米∴∴（米）．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查成比例線段的應(yīng)用．熟練掌握在同一時(shí)刻物高與影長成正比是解題的關(guān)鍵．13．下面四組線段中，不能成比例的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)成比例線段的定義，對各選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算判斷即可．【詳解】解：，即，A成比例，故不符合要求；，即，B成比例，故不符合要求；，C不成比例，故符合要求；，即，D成比例，故不符合要求；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了成比例線段．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與正確運(yùn)算．14．如圖，一塊矩形綢布的長，寬，按照圖中所示的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，即，那么a的值應(yīng)當(dāng)是多少？【答案】【分析】根據(jù)題意，得到，代入比例式計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知，，寬，，由，得即∴開平方，得，（舍去）．【點(diǎn)睛】本題考查了比例式的計(jì)算，求算術(shù)平方根，熟練掌握比例式的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．15．已知線段a、b、c滿足，且．(1)求a、b、c的值；(2)若線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，求x的值．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）設(shè)，則，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值；（2）由線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，可得，計(jì)算即可．【詳解】（1）解：設(shè)，則，，∵，所以，解得，∴，，．（2）∵線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，∴，所以（舍負(fù)）．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，比例線段，熟記比例中項(xiàng)的概念是解決問題的關(guān)鍵，同時(shí)利用“設(shè)k法”用k表示出a、b、c可以使計(jì)算更加簡便．題型四：黃金分割16．兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，若滿足，則稱點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)．世界上最有名的建筑物中幾乎都包含“黃金分割”，若圖中，則的長度是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義方程求解即可．【詳解】解：設(shè)的長度是x，則，∵，∴，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，，，都是方程的根，∵，∴不合題意，舍去，∴，即的長度是，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割點(diǎn)，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．17．“黃金分割”被視為最美麗的幾何學(xué)比率，在建筑、藝術(shù)和日常生活中處處可見．主持人站在舞臺的黃金分割點(diǎn)的位置會更自然得體，如圖，舞臺長米，C，D是線段的黃金分割點(diǎn)（即，），若主持人從舞臺黃金分割點(diǎn)C走到另一個(gè)黃金分割點(diǎn)D，則的長為米．（結(jié)果保留根號）【答案】【分析】設(shè)，，根據(jù)C，D是線段的黃金分割點(diǎn)列式求解即可得到答案；【詳解】解：設(shè)，，∵C，D是線段的黃金分割點(diǎn)，，∴，，解得：，（不符合題意舍去），，（不符合題意舍去），∴，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割比例的運(yùn)用，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)黃金分割比例列式．18．如圖1在線段上找一個(gè)點(diǎn)B，B把分成和兩段，其中是較小的一段，滿足，則B為線段的黃金分割點(diǎn)．黃金分割廣泛存在于藝術(shù)、自然、建筑等領(lǐng)域，例如，楓葉的葉脈蘊(yùn)含著黃金分割．如圖2，B為的黃金分割點(diǎn)（)，長度為，則的長度；(結(jié)果用根號表示)【答案】【分析】設(shè)的長度為，根據(jù)黃金分割的意義列出比例式，整理出關(guān)于x的一元二次方程，解方程可得答案．【詳解】解：設(shè)的長度為，∵長度為，∴，又∵圖2中點(diǎn)B為的黃金分割點(diǎn)（)，∴，即，整理得：，解得：，（舍去），即的長度為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，一元二次方程的應(yīng)用，正確理解黃金分割的意義是解題的關(guān)鍵．19．在小提琴的設(shè)計(jì)中，經(jīng)常會引入黃金分割的概念．如圖，一架小提琴中AC，BC，AB各部分長度的比滿足．若，則的長為．【答案】/【分析】先依據(jù)列方程求解即可．【詳解】解：，，，，解得：，（不合題意舍去）故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)線段比列方程求解．20．如圖所示，C是線段的黃金分割點(diǎn)，，D，E分別是，的中點(diǎn)．（1）C也是線段的黃金分割點(diǎn)；（2）若線段的長為，線段（結(jié)果不求近似值