24.3正多邊形和圓（原卷版）

24.3正多邊形和圓1.初步認(rèn)識(shí)正多邊形與圓的關(guān)系2.理解正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形，會(huì)進(jìn)行正多邊形的有關(guān)計(jì)算3.掌握等分圓周畫圓內(nèi)接正多邊形的方法知識(shí)點(diǎn)一正多邊形的有關(guān)概念正多邊形各邊相等、各內(nèi)角也相等的多邊形叫做正多邊形,如果一個(gè)正n邊形有n（n≥3）條邊，那么就叫正n邊形.正多邊形的判定一個(gè)多邊形必須同時(shí)滿足各邊相等和各角相等才能判定其是正多邊形3.圓內(nèi)接正多邊形的相關(guān)概念名稱定義正多邊形的中心一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心正多邊形的半徑正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角正多邊形的邊心距正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距即學(xué)即練1（2023下·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D為五星紅旗上的一個(gè)五角星圖案，將圖案繞中心至少旋轉(zhuǎn)度能與自身重合，則為（

）A． B． C． D．即學(xué)即練2（2023上·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）正n邊形的中心角是30°，（

）A．6 B．8 C．10 D．12知識(shí)點(diǎn)二正多邊形的對(duì)稱性1.軸對(duì)稱性所有的正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的中心2.中心對(duì)稱性如果正多邊形有偶數(shù)條邊，那么它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心，如果正多邊形有奇數(shù)條邊,那么它只是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形即學(xué)即練（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是中心對(duì)稱圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長(zhǎng)相等；④正n邊形共有n條對(duì)稱軸．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1知識(shí)點(diǎn)三正多邊形的有關(guān)計(jì)算(1)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于(2)正n邊形的每個(gè)中心角都等于(3)正n邊形的每個(gè)外角都等于(4)弦長(zhǎng)、弦心距與半徑的公式在垂徑定理的運(yùn)用中，常涉及弦長(zhǎng)a,弦心距d,半徑r,及弓形高h(yuǎn)這四者之間的關(guān)系.有兩個(gè)公式需要熟知并運(yùn)用：公式1：公式2：即學(xué)即練1（2022上·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（

）A．10 B．12 C．15 D．20即學(xué)即練2（2023下·江蘇蘇州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知一個(gè)正多邊形的中心角為，邊長(zhǎng)為5，那么這個(gè)正多邊形的周長(zhǎng)等于．知識(shí)點(diǎn)三正多邊形的畫法要作半徑為R的正n邊形，只要把半徑為R的圓周n等分，然后順次連結(jié)各等分點(diǎn)即可即學(xué)即練1（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知AC為的直徑．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，作出的內(nèi)接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫作法）即學(xué)即練2（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知正六邊形ABCDEF，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺，按要求畫圖：(1)在圖1中，畫出CD的中點(diǎn)G；(2)在圖2中，點(diǎn)G為CD中點(diǎn)以G為頂點(diǎn)畫出一個(gè)菱形．題型1求正多邊形的中心角例1（2022上·福建福州·九年級(jí)校考期中）“割圓術(shù)”是我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)的計(jì)算圓周率的方法：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”，即隨著邊數(shù)增加，圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓，進(jìn)而可以用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似表示圓的面積．設(shè)圓的半徑為，則由圓內(nèi)接正十二邊形算得的圓周率約為（

）A．3.14 B．3 C．3.1 D．3.141舉一反三1（2023上·北京·九年級(jí)北京市師達(dá)中學(xué)校考階段練習(xí)）圖中的五角星圖案，繞著它的中心O旋轉(zhuǎn)后，能與自身重合，則n的值至少是（

）A．144 B．72 C．60 D．50舉一反三2（2022·福建泉州·?？寄M預(yù)測(cè)）將正五邊形繞著它的中心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，則的度數(shù)為．題型2已知正多邊形的中心角求邊數(shù)例2（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）如果一個(gè)正多邊形的中心角是，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為．舉一反三1（2023·江蘇南通·南通田家炳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，，弦是圓內(nèi)接正多邊形的一邊，則該正多邊形的邊數(shù)是．舉一反三2（2023上·甘肅慶陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知正多邊形的中心角是，則這個(gè)多邊形是正邊形．題型3正多邊形和圓的綜合例3（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正六邊形內(nèi)接于，的半徑是1，則正六邊形的周長(zhǎng)是．舉一反三1（2023上·河北邢臺(tái)·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正六邊形內(nèi)接于．(1)若是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，求的度數(shù)；(2)已知的面積為．求的度數(shù)；求的半徑．舉一反三2（2022上·江蘇徐州·九年級(jí)江蘇省運(yùn)河中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知．(1)用尺規(guī)作圖作的內(nèi)接正六邊形（不寫作法、保留作圖痕跡）；(2)若的半徑為2，求所作正六邊形的面積．題型4尺規(guī)作圖正多邊形例4（2022·天津南開·二模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，O為格點(diǎn)，⊙經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A．（1）⊙的周長(zhǎng)等于；（2）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出⊙的內(nèi)接等邊，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)B，C的位置是如何找到的（不要求證明）．舉一反三1（2020下·山東青島·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）請(qǐng)用圓規(guī)和直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：⊙O，點(diǎn)A在圓上．求作：以A為一頂點(diǎn)作圓內(nèi)接正方形ABCD．舉一反三2（2021·北京房山·統(tǒng)考二模）已知：射線求作：，使得點(diǎn)在射線上，，．作法：如圖，①在射線上取一點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，與射線相交于點(diǎn)；②以為圓心，為半徑作弧，在射線上方交⊙于點(diǎn)；③連接，．則即為所求的三角形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接．∵為⊙的直徑，∴_____________________．∵，∴等邊三角形．∴．∵點(diǎn)，都在⊙上，∴．（_____________________）（填推理的依據(jù)）∴．即為所求的三角形．一、單選題1．（22·23上·濟(jì)寧·期末）如圖，正六邊形內(nèi)接于，正六邊形的周長(zhǎng)是12，則正六邊形內(nèi)切圓的半徑是（

）A． B．2 C． D．2．（22·23上·許昌·期末）如圖，螺母的一個(gè)面的外沿可以看作是正六邊形，這個(gè)正六邊形的半徑是，則這個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．3．（22·23下·安慶·期末）如圖，點(diǎn)O為正六邊形的中心，P，Q分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿正六邊形按圖示方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，則第次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．4．（22·23上·津南·期末）已知正六邊形的半徑是r，則此六邊形的周長(zhǎng)是（）A． B． C． D．5．（22·23上·駐馬店·期末）如圖，已知的半徑為4，則該圓內(nèi)接正六邊形的邊心距（

）A． B． C． D．3二、填空題6．（22·23上·巴彥淖爾·期末）有一個(gè)亭子的地基如圖所示，它是一個(gè)半徑為的正六邊形，它的面積是（保留根號(hào)）．7．（22·23下·云浮·期末）若圓的內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為3，則該圓的半徑為．8．（22·23下·菏澤·期末）下列說(shuō)法中正確的有（填所有正確結(jié)論的序號(hào)）．（1）直角三角形只有一條高；（2）邊形共有條對(duì)角線；（3）半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；（4）如果一個(gè)多邊形的各邊都相等，那么它是正多邊形；（5）圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；9．（22·23下·沈陽(yáng)·期末）如圖所示，在正五邊形中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，連接，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)為．10．（22·23上·南京·期末）如圖，正五邊形內(nèi)接于，是的直徑，P是上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，F(xiàn)重合），則的度數(shù)為°．三、解答題11．（22·23上·鎮(zhèn)江·期末）如圖，是的直徑，，是的弦，，延長(zhǎng)到，連接，．(1)求證：是的切線；(2)以為邊的圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)等于________．12．（22·23上·陽(yáng)泉·期末）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與三角形的邊，分別交于點(diǎn)，．設(shè)等邊的面積為，通過(guò)證明可得，則．(1)【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正方形的邊，分別交于點(diǎn)，．若正方形的面積為，請(qǐng)用含的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過(guò)程）．(2)【拓展應(yīng)用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正六邊形的邊，分別交于點(diǎn)，．若四邊形面積為，請(qǐng)直接寫出正六邊形的面積(3)【猜想結(jié)論】如圖4，為正邊形……的中心角，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正邊形的邊，