高等數(shù)學(xué)下冊(cè)第八章

在平面解析幾何中，通過坐標(biāo)法把平面上的點(diǎn)與一對(duì)有次序的數(shù)對(duì)應(yīng)起來，把平面上的圖形和方程對(duì)應(yīng)起來，從而可以用代數(shù)方法來研究幾何問題.空間解析幾何也是按照類似的方法建立起來的.正像平面解析幾何的知識(shí)對(duì)學(xué)習(xí)一元函數(shù)微積分是不可缺少的一樣，空間解析幾何的知識(shí)對(duì)學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分也是必要的.標(biāo)討論向量的運(yùn)算，并介紹空間解析幾何的有關(guān)內(nèi)容.第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算一、向量的概念作AB(圖8-1).有時(shí)也用一個(gè)黑體字母(書寫時(shí)，在字母上面加箭頭)來表示向量，例如av、o、F或圖8-1在實(shí)際問題中，有些向量與其起點(diǎn)有關(guān)(例如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度與該質(zhì)點(diǎn)的位向量的共性是它們都有大小和方向，因此在數(shù)學(xué)上我們只研究與起點(diǎn)無關(guān)的向量，并稱這種向量為自由向量(以后簡稱向量),即只考慮向量的大小和方向，而不論它的起點(diǎn)在什么地方.當(dāng)遇到與起點(diǎn)有關(guān)的向量時(shí)，可在一般原則下作特別處理.同，我們就說向量a和b是相等的，記作a=b.這就是說，經(jīng)過平行移動(dòng)后能完全重合的向量是相等的. 向量的大小叫做向量的模.向量AB、a和a的模依次記作IABl、lal和fl.2模等于1的向量叫做單位向量.模等于零的向量叫做零向量，記作0或0.零向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，它的方向可以看做是任意的.規(guī)定不超過π設(shè)有兩個(gè)非零向量a,b,任取空間一點(diǎn)0,作OA=a,OB=b,規(guī)定不超過π夾角(圖8-2),記作(a,b)或(b,a),即(a,b)=φ.如果向量a與b中有一個(gè)是零向量，規(guī)定它們的夾角可以在0到π之間任意取值.圖8-2如果或π,就稱向量a與圖8-2a//b.如果|,就稱向量a與b垂直，記作a⊥b.由于零向量與另一向量的夾角可以在0到π之間任意取值，因此可以認(rèn)為零向量與任何向量都平行，也可以認(rèn)為零向量與任何向量都垂直.當(dāng)兩個(gè)平行向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)，它們的終點(diǎn)和公共起點(diǎn)應(yīng)在一條直類似還有向量共面的概念.設(shè)有k(k≥3)個(gè)向量，當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)，如果k個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上，就稱這k個(gè)向量共面.二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加減法向量的加法運(yùn)算規(guī)定如下：力學(xué)上有求合力的平行四邊形法則，仿此，我們也有向量相加的平行四邊形法則。這就是：當(dāng)向量a圖8-3與b不平行時(shí)，作AB=a,向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算3(2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c).這是因?yàn)?，按向量加法的?guī)定(三角形法則),從圖8-4可見：所以符合交換律.又如圖8-5所示，先作a+b再加上c,即得和(a+b)+c,若以a與b+c相加，則得同一結(jié)果，所以符合結(jié)合律.圖8-4圖8-5由于向量的加法符合交換律與結(jié)合律，故n個(gè)向量a?,a?,…,a。(n≥3)相加可寫成并按向量相加的三角形法則，可得n個(gè)向量相加的法則如下：以前一向量的終點(diǎn)作為次一向量的起點(diǎn)，相繼作向量a?,a?,…,a?,再以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)作一向量，這個(gè)向量即為所求的和.如圖8-6,有設(shè)a為一向量，與a的模相同而方向相反的向量叫做a的,記作-a.由此，我們規(guī)定兩個(gè)向量b與ab-a=b+(-a).圖8-6即把向量-a加到向量b上，便得b與a的差b-a(圖8-7(a)).圖8-7第八章向量代數(shù)與空間解析幾何4a-a=a+(-a)=0.因此，若把向量a與b移到同一起點(diǎn)0,則從a的終點(diǎn)A向b的終點(diǎn)B所引向量AB便是向量b與a的差b-a(圖8-7(b))由三角形兩邊之和大于第三邊，有其中等號(hào)在a與b同向或反向時(shí)成立.2.向量與數(shù)的乘法向量a與實(shí)數(shù)λ的乘積記作λa,規(guī)定Aa是一個(gè)向量，它的模它的方向當(dāng)λ>0時(shí)與a相同，當(dāng)λ<0時(shí)與a相反.當(dāng)λ=0時(shí)，lλal=0,即λa為零向量，這時(shí)它的方向可以是任意的.特別地，當(dāng)λ=±1時(shí)，有向量與數(shù)的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：這是因?yàn)橛上蛄颗c數(shù)的乘積的規(guī)定可知，向量λ(μa)、μ(λa)、(Aμ)a都是平行的向量，它們的方向也是相同的，而且lx(μa)l=lμ(λa)l=1(λ所以這個(gè)規(guī)律同樣可以按向量與數(shù)的乘積的規(guī)定來證明，這里從略了.向量相加及數(shù)乘向量統(tǒng)稱為向量的線性這里M是平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)(圖8-8).解由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分， 5所以即于是..前面已經(jīng)講過，模等于1的向量叫做單位向量.設(shè)e。表示與非零向量a同方向的單位向量，那么按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，由于lal>0,所以lale。與e,的方向相同，即lale。與a的方向相同.又因lale。的模是這表示一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量.由于向量Aa與a平行，因此我們常用向量與數(shù)的乘積來說明兩個(gè)向量的平行關(guān)系.即有定理1設(shè)向量a≠0,則向量b平行于a的充分必要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使b=λa.證條件的充分性是顯然的，下面證明條件的必要性.當(dāng)b與a同向時(shí)λ取正值，當(dāng)b,再證數(shù)λ的唯一性.設(shè)b=λa,又設(shè)b=μa,兩式相減，便得第八章向量代數(shù)與空間解析幾何定理證畢.定理1是建立數(shù)軸的理論依據(jù).我們知道，給定一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)方向及單位長一個(gè)單位向量就確定了一條數(shù)軸.設(shè)點(diǎn)0及單位由此可知，軸上點(diǎn)P的坐標(biāo)為x的充分必要條件是三、空間直角坐標(biāo)系在空間取定一點(diǎn)O和三個(gè)兩兩垂直的單位向量i、j、k,就確定了三條都以0為原點(diǎn)的兩兩垂直的數(shù)軸，依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、軸(豎軸),統(tǒng)稱坐標(biāo)軸.它們構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，稱為Oxyz坐標(biāo)系或[0;i.j,k]坐標(biāo)系(圖8-10).通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線；它們的正向通常符合右手規(guī)則，即以右手握住z軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指從正向x軸以角度轉(zhuǎn)向正向y軸時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向，如圖8-11.三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以確定一個(gè)平面，這樣定出的三個(gè)平面統(tǒng)稱為坐標(biāo)面.x軸及y軸所確定的坐標(biāo)面叫做,另兩個(gè)由y軸及：軸和由z軸及x軸所確定的坐標(biāo)面，分別叫做yOz面及zOx面.三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)那個(gè)卦限叫做第一卦限，其他第二、第三、第四針方向確定.第五至第八卦限，在xOy面的下方，由第一卦限之下的第五卦限，(圖8-12).方體RHMK-OPNQ,如圖8-13所示，有圖8-12圖8-13坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，其坐標(biāo)各有一定的特征.例如：如果點(diǎn)M在yOz第八章向量代數(shù)與空間解析幾何8點(diǎn)M在x軸上，那么y=z=0;同樣，在y軸上的點(diǎn)，有z=x=0;在z軸上的點(diǎn)，有x=y=0.如點(diǎn)M為原點(diǎn)，則x=y=z=0.四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算利用向量的坐標(biāo)，可得向量的加法、減法以及向量與數(shù)的乘法的運(yùn)算如下：利用向量加法的交換律與結(jié)合律以及向量與數(shù)的乘法的結(jié)合律與分配律，有λa=(λa,)i+(λa,)j+(λa?)k(λ為實(shí)數(shù)),即λa=(λa,λa,,λa.).由此可見，對(duì)向量進(jìn)行加、減及與數(shù)相乘，只需對(duì)向量的各個(gè)坐標(biāo)分別進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)量運(yùn)算就行了.定理1指出，當(dāng)向量a≠0時(shí)，向量b//a相當(dāng)于b=λa,坐標(biāo)表示式為這也就相當(dāng)于向量b與a對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例例2求解以向量為元的線性方程組其中a=(2,1,2),b=(-1,1,-2).①當(dāng)a,、a,、a,有一個(gè)為零，例如a,=0,a,a,≠0,這時(shí)(1-3)式應(yīng)理解為第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算9x=2(2,1,2)-3(-1,1,-2)=(7,-1y=3(2,1,2)-5(-1,1,-2)=(11,-2,16).例3已知兩點(diǎn)A(x?,y?,z?)和B(x?,y?,z?)以及實(shí)數(shù)λ≠-1,在直線AB上求點(diǎn)M,使解如圖8-14所示.由于AM=OM-OA,MB=OB-OM,從而這就是點(diǎn)M的坐標(biāo).的中點(diǎn)為(x,y,z)時(shí)，須從上下文去認(rèn)清它究竟表示點(diǎn)還是表示向量.當(dāng)(x,y,z)表示向量時(shí)，可對(duì)它進(jìn)行運(yùn)算；當(dāng)(x,y,z)表示點(diǎn)時(shí)，就不能進(jìn)行運(yùn)算.五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式第八章向量代數(shù)與空間解析幾何按勾股定理可得Irl=10MI=√10PI2+10QI2+IORI.于是得向量模的坐標(biāo)表示式設(shè)有點(diǎn)A(x?,y?,z?)和點(diǎn)B(x?,y?,z?),則點(diǎn)A與點(diǎn)B間的距離IABI就是向即得A、B兩點(diǎn)間的距離IABI=1ABI=√(x?-x?)2+(y?例4求證以M,(4,3,1)、M?(7,1,2)、M?(5,2,3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形.IM?M?l2=(4-5)2+(3-2)所以IM?M?I=IM?M?1,即△M?M?M?為等例5在z軸上求與兩點(diǎn)A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距離的點(diǎn).解因?yàn)樗蟮狞c(diǎn)M在z軸上，所以設(shè)該點(diǎn)為M(0,0,z),依題意有即√(0+4)2+(0-1)2+(z-7)2=√(3-0)2+(5-0)2+(-2-2).兩邊平方，解得AB=OB-OA=(7,1,3)-(4,0,5)=(3,1第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算,,于是2.方向角與方向余弦類似可知,,,,,,第八章向量代數(shù)與空間解析幾何這就是點(diǎn)A的坐標(biāo).3.向量在軸上的投影可見，過點(diǎn)M作與x軸垂直的平面，此平面與x軸的交點(diǎn)即是點(diǎn)P.作出點(diǎn)P,即一般地，設(shè)點(diǎn)O及單位向量e確定u軸(圖8-16).任給向量r,作OM=r,再過點(diǎn)M作與u軸垂直的平面交u軸于點(diǎn)M'(點(diǎn)M'叫做點(diǎn)M在u軸上的投影),則向量OM'稱為向量r在u軸上的分向量.設(shè)OM=按此定義，向量a在直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)或記作a,=(a).,a,=(a),,a?=(a)..圖8-16例9設(shè)正方體的一條對(duì)角線為OM,一條棱為OA,第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算解如圖8-17所示，記∠MOA=φ,有2.如果平面上一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相平分，試用向量證明它是平行四邊形.3.把△ABC的BC邊五等分，設(shè)分點(diǎn)依次為D?、D?、D?、D,再把各分點(diǎn)與點(diǎn)A連接.試以5.求平行于向量a=(6,7,-6)的單位向量.6.在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)卦限?A(1,-2,3),B(2,3,-4),C(2,-3,-4),D(-2,-3,1).7.在坐標(biāo)面上和在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特征?指出下列各點(diǎn)的位置：A(3,4,0),B(0,4,3),C(3,0,0),D(0,-1,0).8.求點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于(1)各坐標(biāo)面；(2)各坐標(biāo)軸；(3)坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).9.自點(diǎn)P?(x?,y?,z?)分別作各坐標(biāo)面和各坐標(biāo)軸的垂線，寫出各垂足的坐標(biāo).10.過點(diǎn)P?(x?,y?,?)分別作平行于z軸的直線和平行于xOy面的平面，問在它們上面的點(diǎn)的坐標(biāo)各有什么特點(diǎn)?11.一邊長為a的正方體放置在xOy面上，其底面的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，底面的頂點(diǎn)在x軸和y軸上，求它各頂點(diǎn)的坐標(biāo).12.求點(diǎn)M(4,-3,5)到各坐標(biāo)軸的距離.13.在yOz面上，求與三點(diǎn)A(3,1,2)、14.試證明以三點(diǎn)A(4,1,9)、B(10,-1,6)、C(2,4,3)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.16.設(shè)向量的方向余弦分別滿足(1)cosα=0;(2)cosβ=1;(3)cosα=cosβ=0,問這些向量與坐標(biāo)軸或坐標(biāo)面的關(guān)系如何?17.設(shè)向量r的模是4,它與u軸的夾角是,求r在u軸上的投影.18.一向量的終點(diǎn)在點(diǎn)B(2,-1,7),它在x軸、y軸和z軸上的投影依次為4,-4和7.求這向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo).和p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x軸上 第二節(jié)數(shù)量積向量積’混合積其中θ為F與s的夾角(圖8-18).從這個(gè)問題看出，我們有時(shí)要對(duì)兩個(gè)向量a和b作這樣的運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)數(shù)，它等于lal、Ibl及它們的夾角θ的余弦的乘積.我們把它叫做向量a圖8-19根據(jù)這個(gè)定義，上述問題中力所作的功W是力F與位移s的數(shù)量積，即由于lblcosθ=lb|cos(a,b),當(dāng)a≠0時(shí)是向量b在向量a的方向上的投同理，當(dāng)b≠0時(shí)有這就是說，兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積.由數(shù)量積的定義可以推得：這是因?yàn)閵A角θ=0,所以 (2)對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b,如果a·b=0,那么a⊥b;反之，如果a⊥b,那這是因?yàn)槿绻鸻·b=0,由于lal≠0,Ibl≠0,所以cosθ=0,從而,即由于可以認(rèn)為零向量與任何向量都垂直，因此，上述結(jié)論可敘述為：向量a⊥b的充分必要條件是a·b=0.數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：證根據(jù)定義有而所以由投影性質(zhì)2,可知所以(a+b)·c=lcl(Prj,a+Prj,b)=lc(3)數(shù)量積還符合如下的結(jié)合律：(λa)·b=λ(a·b),λ為數(shù).證當(dāng)b=0時(shí)，上式顯然成立；當(dāng)b≠0時(shí)，按投影性質(zhì)3,可得(Aa)·b=1b|Prj,(λa)=1b|APrj,a=λ|b|Prj,a=λ(a·b).由上述結(jié)合律，利用交換律，容易推得a·(λb)=λ(a·b)及(λa)·(μb)=aμ(a·b).這是因?yàn)?λa)·(μb)=a[a·(μb)]=λ[μ(a·b)]=λμ(a·b).例1試用向量證明三角形的余弦定理.IBCI=a,ICAl=b,IABl=c,要證從而=lal2+|bl2-2lallb|cos(a,b).圖8-20下面我們來推導(dǎo)數(shù)量積的坐標(biāo)表示式.設(shè)a=a,i+a,j+a,k,b=bi+b,j+b,k.按數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律可得=a,i·(b,i+b,j+b,k)+a,j·(b,i+b,j+bk)+ak·(b因?yàn)閕、j和k互相垂直，所以i·j=j·k=k·i=0,j·i=k·j=i·為i、j和k的模均為1,所以i·i=j·j=k·k=1.因而得這就是兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示式.因?yàn)閍·b=lallb|cosθ,所以當(dāng)a與b都不是零向量時(shí)，有將數(shù)量積的坐標(biāo)表示式及向量的模的坐標(biāo)表示式代入上式，就得這就是兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式.例2已知三點(diǎn)M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求∠AMB.代入兩向量夾角余弦的表達(dá)式，得由此得例3設(shè)液體流過平面S上面積為A的一個(gè)區(qū)域，液體在這區(qū)域上各點(diǎn)處的流速均為(常向量)v.設(shè)n為垂直于S的單位向量(圖8-21(a)),計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過這區(qū)域流向n所指一側(cè)的液體的質(zhì)量m(液體的密度為p).解單位時(shí)間內(nèi)流過這區(qū)域的液體組成一個(gè)底面積為A、斜高為lol的斜柱體(圖8-21(b)).這柱體的斜高與底面的垂線的夾角就是v與n的夾角θ,所以這柱體的高為lvlcosθ,體積為從而，單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過這區(qū)域流向n所指一側(cè)的液體的質(zhì)量為二、兩向量的向量積在研究物體轉(zhuǎn)動(dòng)問題時(shí)，不但要考慮這物體所受的力，還要分析這些力所產(chǎn)生的力矩.下面就舉一個(gè)簡單的例子來說明表達(dá)力矩的方法.夾角為θ(圖8-22).由力學(xué)規(guī)定，力F對(duì)支點(diǎn)O的力矩是一向量M,它的模握拳時(shí)，大拇指的指向就是M的指向(圖8-23).圖8-22這種由兩個(gè)已知向量按上面的規(guī)則來確定另一個(gè)向量的情況，在其他力學(xué)和物理問題中也會(huì)遇到.于是從中抽象出兩個(gè)向量的向量積概念.設(shè)向量c由兩個(gè)向量a與b按下列方式定出：c的模lcl=lal|b|sinθ,其中θ為a、b間的夾角；c的方向垂直于a與b所決定的平面(即c既垂直于a,又垂直于b),c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來確定(圖8-24),向量c叫做向量a與b的向量積，記作a×b,即M=OP×F.由向量積的定義可以推得：(1)a×a=0.這是因?yàn)閵A角θ=0,所以la×al=lal2sin0=0.(2)對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b,如果a×b=0,那么a//b;反之，如果a//b,那么這是因?yàn)槿绻鸻×b=0,由或π,即a//b;反之，如果a//b,于lal≠0,1bl≠0,那么必有sinθ=0,于是θ=0那么θ=0或π,于是sinθ=0,從而la×bl=0,第二節(jié)數(shù)量積向量積*混合積由于可以認(rèn)為零向量與任何向量都平行，因此，上述結(jié)論可敘述為：向量a//b的充分必要條件是a×b=0.向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：這是因?yàn)榘从沂忠?guī)則從b轉(zhuǎn)向a定出的方向恰好與按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b定出的方向相反.它表明交換律對(duì)向量積不成立.(3)向量積還符合如下的結(jié)合律：(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)(λ為數(shù)).這兩個(gè)規(guī)律這里不予證明.下面來推導(dǎo)向量積的坐標(biāo)表示式.設(shè)a=a,i+aj+a,k,b=b,i+b?j+b,k.那么,按上述運(yùn)算規(guī)律，得a,j×(b,i+bj+bk)+a_k×=a,b,(ixi)+a,b,(i×j)+aa,b,(j×i)+a,b,(j×j)+aa.b?(kxi)+a,b,(k×j)+a?b?(k×k).a×b=(a,b?-a,b,)i+(a,b,-a,b?)j+(為了幫助記憶，利用三階行列式，上式可寫成例5已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別是A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7),求三角形ABC的面積.解根據(jù)向量積的定義，可知三角形ABC的面積第八章向量代數(shù)與空間解析幾何于是例6設(shè)剛體以等角速度w繞l軸旋轉(zhuǎn)，計(jì)算剛體上一點(diǎn)M的線速度.解剛體繞l軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們可以用在l軸上的一個(gè)向量w表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手規(guī)則定出：即以右手握住l軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時(shí)，大拇指的指向就是w的方向(圖8-25).設(shè)點(diǎn)M到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為a,再在l軸上任取一點(diǎn)0作向量r=OM,并以θ表示w與r的夾角，則的關(guān)系可知，v的大小為r;又v的指向是使w、v的方向垂直于通過M點(diǎn)與l軸的平面，即vr;又v的指向是使w、r、v符合右手規(guī)則.因此有·三、向量的混合積設(shè)已知三個(gè)向量a、b和c.先作兩向量a和b的向量積a×b,把所得到的向量與第三個(gè)向量c再作數(shù)量積(a×b)·c,這樣得到的數(shù)量叫做三向量a、b、c的混合積，記作[abc].下面我們來推出三向量的混合積的坐標(biāo)表示式.第二節(jié)數(shù)量積向量積”混合積再按兩向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示式，便得向量的混合積有下述幾何意義：向量的混合積[abc]=(a×b)·c是這樣一個(gè)數(shù)，它的絕對(duì)值表示以向量a、b、c為棱的平行六面體的體積.如果向量a、b、c組成右手系(即c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來確定),那么混合積的符號(hào)是正的；如果a、b、c組成左手系(即c的指向按左手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來確定),那么混合積的符號(hào)是負(fù)的.事實(shí)上，設(shè)OA=a,OB=b,OC=c.按向量積的定義，向量積a×b=f是一個(gè)向量，它的模在數(shù)值上等于以向量a和b為邊所作平行四邊形OADB的面積，它的方向垂直于這平行四邊形的平面，且當(dāng)a、b、c組成右手系時(shí)，向量f與向量c朝著這平面的同側(cè)(圖8-26);當(dāng)a、b、c組成左手系時(shí)，向量f與向量c朝著這平面的異側(cè).所以，如設(shè)f與c的夾角由于因?yàn)橐韵蛄縜、b、c為棱的