2023年下學(xué)期數(shù)值分析考試試卷答案(A)

一、填空題(此題16分，每空2分)

x3,0<%<1

1.假設(shè)S(x)=139是三次樣條函數(shù),

—(x-1)-+Q(X-1)~+b(x—l)+c,

、2

那么a=3，h=39c=L

2.求積公式”宿)+；/⑴的代數(shù)精度為2

3.設(shè)A=；;那么p(A)=B5.37,condoc(A)~21

1iiiriooiriii

4.矩陣A=122的LU分解為110011

2311lj[o01

1

X/_cosx“

5.求方程％=cosx根的牛頓迭代格式是加

n

1+sinxn

二、(12分)求不超過4次的多項(xiàng)式P(x),使它滿足插值條件

假設(shè)上述數(shù)據(jù)來源于八%),給出誤差估計(jì)。

解法1：因?yàn)?(0)=9(0)=016=h1)=1,那么先構(gòu)造兩點(diǎn)三次埃米特

插值，

............................................8分

又設(shè)P(x)=”3(x)+Af(x-1)2,代入P(2)=2,得A=l/2,

余項(xiàng)為R(x)=，5，上(%-1y(1-2).....................12分

解法2：構(gòu)造帶重節(jié)點(diǎn)的Newton差商表

00

000

1111

1110-1

221001/28分

...............12分

三、（12分）求/（x）=eT在區(qū)間［-1,1］上的最正確平方逼近2次多項(xiàng)式.（用勒讓德正交

_1,

多項(xiàng)式｛4（X）/（X），4（X）｝=｛1,X，5（3X2-1）｝）

12

解:用勒讓德多項(xiàng)式｛4（幻，6（幻,￡@）｝=｛1,羽一（3爐一1）｝,（。用=——

22/+1

..............................................................3分

計(jì)算：

（/,玲）=J：exdx=（e1-^1）x2.3504,

.....................................................................8分

故最優(yōu)平方逼近函數(shù)為：

p（x）=-3e-'x+.-35"」（3*2_口

222

?1.1752-1.1036X+0.3758-1（3X2-1）。.........12分

=0.5367/-1.1036x+0.9963

四、（12分）用Romberg求積的方法，計(jì)算積分/（計(jì)算到龍貝

格序列的第6個(gè)近似值）

解:此題只要對積分使用Romberg算法，

4=劍（。）+/⑴］，

.........10分

計(jì)算到Ri,結(jié)果如下表所示:

kTnSnCn

00.683940

10.6452350.632333

20.6354100.6321350.632122

因止匕/=0.402420........12分

am+ax=t\

五、(12分)設(shè)方程組vX22

(a]]a22w0)

gMi+a22x2=b2

證明解此方程的Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法同時(shí)收斂或發(fā)散.

下)=-1(瓦-//產(chǎn)))

以11

解:Jacobi迭代為.......2分

燎：工電一

a22

其迭代矩陣。-(L+U)

0一」

a

B=}1(B)=白12々21

譜半徑為,6分

一也0ana22

.。22

而Gauss-Seidel迭代法為

、a、、

0

aa

其迭代矩陣(。-乃7。=\\22

42〃21

0

41。22

其譜半徑為p(G)=310分

?1洶22

由于Q2(8)=0(@,

故Jacobi迭代法與Gauss-Seidel法同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。

.......12分

六、(12分)設(shè)方程/(x)=0有根，且(x)<M。試證明由迭代格式

x*+i=4一丸/(X。

”0,1,2,)產(chǎn)生的迭代序列上仁對任意的初值),當(dāng)?！?lt;焉

時(shí)，均收斂于方程的根。

證明：設(shè)0(X)=X-4/(X),.......2分

那么0(x)=l—之/'(X),'^1-MA,<(p'(x)<l-mA,,.......5分

2,

從而可知，當(dāng)。時(shí)，T<d(x)<l,......10分

即帆從而由壓縮映像定理可知結(jié)論成立。.....12分

[,=22

-七、（12分）用經(jīng)典的四階龍格-庫塔方法求初值問題一耳冷，取步長h=0.4,計(jì)算

"（0）=1

y（0.4）,計(jì)算過程保存四位小數(shù)。

解：評分標(biāo)準(zhǔn)：公式：2分；計(jì)算結(jié)果：2分/個(gè)

八、（12分）設(shè)有〃階矩陣A,p是最接近于A的特征值入的一個(gè)常數(shù),

試簡述如何用數(shù)值方法求4的與p最接近的那個(gè)特征值。

答：（每步3分）

第一步：將（A-p/）進(jìn)行三角分解，（A_pD=LU,（或P（A-m）=LU,其中P為