2022年河北省中考數(shù)學(xué)真題 （解析版）

2022年河北省初中畢業(yè)生升學(xué)文化課考試

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共16個(gè)小題.1~10小題每題3分，11~16小題每題2分，共42分.在

每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.計(jì)算Y+q得〈J,則，，？，，是（）

A.OB.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】運(yùn)用同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，計(jì)算即可.

【詳解】/+4=03-1=a2,則“？，，是2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)塞的除法；注意

2.如圖，將AABC折疊，使AC邊落在A8邊上，展開(kāi)后得到折痕/,則/是AABC的（）

A.中線B.中位線C.高線D.角平分線

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得NC4￡）=NB4￡＞，作出選擇即可.

【詳解】解：如圖，

V由折疊的性質(zhì)可知NCAD=NBAD,

.?.AO是/B4C的角平分線，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)和角平分線的定義，理解角平分線的定義是解答本題的關(guān)鍵.

3.與—3,相等的是（）

2

A.13B.3C.-3H—D.3d—

2222

【答案】A

【解析】

17

【分析】根據(jù)-3—=-一，分別求出各選項(xiàng)的值，作出選擇即可.

22

17

【詳解】A、-3一一=一一，故此選項(xiàng)符合題意；

22

B、=故此選項(xiàng)不符合題意；

C、-3+-=--,故此選項(xiàng)不符合題意；

22

17

D、3+；==,故此選項(xiàng)不符合題意；

22

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

4.下列正確的是（）

A.74+9=2+3B.74^9=2x3C.次=療D.鳳=0.7

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)判斷即可.

詳解】解：A.歷5=岳于2+3,故錯(cuò)誤；

B-\/4x9=2x3>故正確；

Cj^=后關(guān)存，故錯(cuò)誤：

D.749^0.7.故錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)“8C與四邊形BC0E的外角和的度數(shù)分別為&,￡,則

正確的是（）

A.a-/3=GB.ct-/3<0

C.a-/3>0D.無(wú)法比較a與夕的大小

【答案】A

【解析】

【分析】多邊形的外角和為360°,4ABC與四邊形BCDE的外角和均為360°,作出選擇即可.

【詳解】解：?.?多邊形的外角和為360°,

xABC與四邊形BCDE的外角和a與￡均為360°,

/.ex—=0,

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的外角和定理，注意多邊形的外角和為360°是解答本題的關(guān)鍵.

6.某正方形廣場(chǎng)的邊長(zhǎng)為4x102m，其面積用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.4xl04m2B.16xl04m2C.1.6xl05m2D.1.6xl04m2

【答案】C

【解析】

【分析】先算出面積，然后利用科學(xué)記數(shù)法表示出來(lái)即可.

【詳解】解:面積為：4xl02x4xl02=16xl04=1.6xl03（m2）,

故選；C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式是解題的關(guān)鍵.

7.①?④是由相同的小正方體粘在一起的幾何體,若組合其中的兩個(gè)，恰是由6個(gè)小正方體構(gòu)成的長(zhǎng)方

體，則應(yīng)選擇（）

①H②由,

④千

A.①③B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【解析】

【分析】觀察圖形可知，①?④的小正方體的個(gè)數(shù)分別為4,3,3,2,其中②③組合不能構(gòu)成長(zhǎng)方體,

①④組合符合題意

【詳解】解：觀察圖形可知，①?④的小正方體的個(gè)數(shù)分別為4,3,3,2,其中②③組合不能構(gòu)成長(zhǎng)方

體，①④組合符合題意

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查了立體圖形，應(yīng)用空間想象能力是解題的關(guān)鍵.

8.依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，下列一定為平行四邊形的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定及性質(zhì)定理判斷即可：

【詳解】解：平行四邊形對(duì)角相等，故A錯(cuò)誤；

一組對(duì)邊平行不能判斷四邊形是平行四邊形，故B錯(cuò)誤；

三邊相等不能判斷四邊形是平行四邊形，故C錯(cuò)誤：

一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故D正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定及性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.若x和），互為倒數(shù)，則x+—的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】先將化簡(jiǎn)，再利用互為倒數(shù)，相乘為1,算出結(jié)果，即可

卜+#T

c11c1

=2xy-x—I---2y----

【詳解】xy孫

=2xy-1+2———

孫

=2xy--+1

'孫

??X和y互為倒數(shù)

xy-1

C1,

2,xy----F1

孫

=2-1+1

=2

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式的化簡(jiǎn)，注意互為倒數(shù)即相乘為1

10.某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2,P.A，P8分別與所在圓相切于點(diǎn)A，B.若該圓半徑是

9cm,/P=40。，則AA/8的長(zhǎng)是（）

P

③Q/\

RM

正面

圖1圖2

八7

A.1l^cmB.—cmC.7zrcmD.一1cm

22

【答案】A

【解析】

【分析】如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)可得NQ4O=NPBO=90。，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得NAOB的角度，進(jìn)

而可得AMB所對(duì)的圓心角，根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可求解.

M

圖2

???PA,P8分別與所在圓相切于點(diǎn)A,B.

.\ZPAO=ZPBO=90°,

■：/尸=40°,

ZAG>B=360o-90o-90o-40o=140°,

該圓半徑是9cm,

當(dāng)上嗎x9-m,

180

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，求弧長(zhǎng)，牢記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵.

11.要得知作業(yè)紙上兩相交直線48,。所夾銳角的大小，發(fā)現(xiàn)其交點(diǎn)不在作業(yè)紙內(nèi)，無(wú)法直接測(cè)量.兩

同學(xué)提供了如下間接測(cè)量方案（如圖1和圖2）：對(duì)于方案I、II,說(shuō)法正確的是（）

方案I

B

①作一直線GH,交HB,CD于點(diǎn)E,F\

②利用尺規(guī)作NH?W=NCFG;

③測(cè)量N4EH的大小即可.

方案口

①作一直線GH,如B,CD于點(diǎn)E,F;

②測(cè)量N4EH和ZCFG的大?。?/p>

③計(jì)算180°-ZAEH-ZCFG即可.

A.I可行、H不可行B.【不可行、II可行C.I、n都可行D.I、n都不可行

【答案】C

【解析】

【分析】用夾角可以劃出來(lái)的兩條線，證明方案I和II的結(jié)果是否等于夾角,即可判斷正誤

【詳解】方案I：如下圖，NBPO即為所要測(cè)量的角

MN//PD

，ZAEM=Z.BPD

故方案I可行

方案H：如下圖，NBBD即為所要測(cè)量的角

在AEPF中：ZBPD+ZPEF+ZPFE=180°

則：ZBPD=180°—ZAEH—NCFG

故方案H可行

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查平行線性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和；本題的突破點(diǎn)是用可畫(huà)出夾角的情況進(jìn)行證明

12.某項(xiàng)工作，己知每人每天完成的工作量相同，且一個(gè)人完成需12天.若，〃個(gè)人共同完成需〃天，選取

6組數(shù)對(duì)（根,〃），在坐標(biāo)系中進(jìn)行描點(diǎn)，則正確的是（)

n八

B.

2-

~0~2m

H▲

D.

22

>

7)~52m

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)題意建立函數(shù)模型可得〃5=12,即〃=—,符合反比例函數(shù)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象進(jìn)行

m

判斷即可求解.

【詳解】解：依題意，-'mm=1

12

=12，

12

.1.n-一，m,〃>0且為整數(shù).

m

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意建立函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵.

13.平面內(nèi)，將長(zhǎng)分別為1,5,1,1,"的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是

（）

5

A.1B.2C.7D.8

【答案】C

【解析】

【分析】如圖（見(jiàn)解析），設(shè)這個(gè)凸五邊形為他8E,連接4C,CE,并設(shè)==先在

△ABC和△CDE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得4<。<6,0<。<2,從而可得4<a+Z?<8,

2<a-b<6,再在AACE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得,從而可得2<d<8,

由此即可得出答案.

【詳解】解：如圖，設(shè)這個(gè)凸五邊形為/WCDE,連接AC,CE,并設(shè)AC=a,CE=b,

在AABC中，5—1<。<1+5,即4<a<6,

在ACDE中,1一1<匕<1+1,即0<。<2,

所以4<。+匕<8,2<a-b<6,

在△ACE中，a—b<d<a+b,

所以2<d<8,

觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)C符合，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造三個(gè)三角形是解題關(guān)鍵.

14.五名同學(xué)捐款數(shù)分別是5,3,6,5,10（單位：元），捐10元的同學(xué)后來(lái)又追加了10元.追加后的5

個(gè)數(shù)據(jù)與之前的5個(gè)數(shù)據(jù)相比，集中趨勢(shì)相同的是（）

A.只有平均數(shù)B.只有中位數(shù)C.只有眾數(shù)D.中位數(shù)和眾數(shù)

【答案】D

【解析】

【分析】分別計(jì)算前后數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，比較即可得出答案.

【詳解】解：追加前的平均數(shù)為：g（5+3+6+5+10）=58

從小到大排列為3,5,5,6,10,則中位數(shù)為5；

5出現(xiàn)次數(shù)最多，眾數(shù)為5；

追加后的平均數(shù)為：；（5+3+6+5+20）=7.8；

從小到大排列為3,5,5,6,20,則中位數(shù)為5；

5出現(xiàn)次數(shù)最多，眾數(shù)為5；

綜上，中位數(shù)和眾數(shù)都沒(méi)有改變，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題為統(tǒng)計(jì)題，考查了平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù).中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲?/p>

新排列后，最中間的那個(gè)數(shù)（最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)

次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不只一個(gè).

15.“曹沖稱象”是流傳很廣的故事，如圖.按照他的方法：先將象牽到大船上，并在船側(cè)面標(biāo)記水位，

再將象牽出.然后往船上抬入20塊等重的條形石，并在船上留3個(gè)搬運(yùn)工，這時(shí)水位恰好到達(dá)標(biāo)記位

置.如果再抬入1塊同樣的條形石，船上只留1個(gè)搬運(yùn)工，水位也恰好到達(dá)標(biāo)記位置.已知搬運(yùn)工體重均

為120斤，設(shè)每塊條形石的重量是x斤，則正確的是（）

B.依題意20x+3xl20=（20+l）x+120

C.該象的重量是5040斤D.每塊條形石的重量是260斤

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意列出方程即可解答.

【詳解】解：根據(jù)題意可得方程；20x+3xl20=（20+l）x+120

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意真確列出方程是解題的關(guān)鍵.

16.題目：“如圖，NB=45。，BC=2,在射線8M上取一點(diǎn)A,設(shè)4C=d,若對(duì)于4的一個(gè)數(shù)值，只能作

出唯一一個(gè)△4BC,求d的取值范圍.“對(duì)于其答案，甲答：d>2,乙答：4=1.6,丙答：d=W則

A.只有甲答的對(duì)B.甲、丙答案合在一起才完整

C.甲、乙答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才完整

【答案】B

【解析】

【分析】過(guò)點(diǎn)C作C4'J_6M于A,在4"上取44=84'，發(fā)現(xiàn)若有兩個(gè)三角形，兩三角形的AC邊

關(guān)于AC對(duì)稱，分情況分析即可

【詳解】過(guò)點(diǎn)C作C4'，BM于A',在AM上取AA"=BA

VZB=45°,BC=2,CA'±BM

：.VBA'C是等腰直角三角形

BC

A'C=BA'==0

=BA

A"C=,4*+"=2

若對(duì)于4的一個(gè)數(shù)值，只能作出唯一一個(gè)aABC

通過(guò)觀察得知：

點(diǎn)4在4點(diǎn)時(shí)，只能作出唯一一個(gè)△ABC（點(diǎn)A在對(duì)稱軸上），此時(shí)d=J5，即丙的答案；

點(diǎn)A在A'M射線上時(shí)，只能作出唯一一個(gè)△ABC（關(guān)于AC對(duì)稱的AC不存在），止匕時(shí)”22,即甲的答

案，

點(diǎn)A在氏4"線段（不包括A'點(diǎn)和A"點(diǎn)）上時(shí)，有兩個(gè)AABC（二者的AC邊關(guān)于AC對(duì)稱）；

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的存在性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)若有兩個(gè)三角形，兩三角形的AC邊關(guān)

于AC對(duì)稱

二、填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題3分，共9分.其中18小題第一空2分，第二空1

分；19小題每空1分）

17.如圖，某校運(yùn)會(huì)百米預(yù)賽用抽簽方式確定賽道.若琪琪第一個(gè)抽簽，她從卜8號(hào)中隨機(jī)抽取一簽，則

抽到6號(hào)賽道的概率是

【答案】I

8

【解析】

【分析】直接根據(jù)概率公式計(jì)算，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：抽到6號(hào)賽道的概率是

8

故答案為：I

8

【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式：熟練掌握隨機(jī)事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可

能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)；P（必然事件）=1;P（不可能事件）=0是解題的關(guān)鍵.

18.如圖是釘板示意圖，每相鄰4個(gè)釘點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)的小正方形頂點(diǎn)，釘點(diǎn)4,8的連線與釘點(diǎn)

C,。的連線交于點(diǎn)E,則

（1）AB與CD否垂直？（填“是”或“否”）；

（2）AE=.

【答案】①.是②.述##&逐

55

【解析】

【分析】（1）證明AACG也△CFQ,推出NCAG=/FC￡>,證明NCEA=90。，即可得到結(jié)論；

（2）利用勾股定理求得A3的長(zhǎng)，證明△AECsaBEZ）,利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解.

【詳解】解：（1）如圖：AC=CF=2,CG=DF=\,ZACG=ZCFD=90°,

：.AACG^ACFD,

：.ZCAG=ZFCD,

???ZACE+ZFCD=90°,

：.ZACE+ZCAG=90°,

ZCEA=90°,

.?.AB與CD是垂直的，

故答案為：是；

⑵AB=722+42=275,

,.,AC//BD,

：.AAECS^BED,

?ACAE2AE

?■-----,即------，

BDBE3BE

.AE2

??一?

BE5

._2475

??AE=-BE=---.

55

故答案為：逑.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，

找出所求問(wèn)題需要的條件.

19.如圖，棋盤(pán)旁有甲、乙兩個(gè)圍棋盒.

（1）甲盒中都是黑子，共10個(gè)，乙盒中都是白子，共8個(gè)，嘉嘉從甲盒拿出a個(gè)黑子放入乙盒，使乙盒

棋子總數(shù)是甲盒所剩棋子數(shù)的2倍，則。=；

（2）設(shè)甲盒中都是黑子，共網(wǎng)，"＞2）個(gè)，乙盒中都是白子，共2機(jī)個(gè)，嘉嘉從甲盒拿出加）個(gè)黑

子放入乙盒中，此時(shí)乙盒棋子總數(shù)比甲盒所剩棋子數(shù)多個(gè)；接下來(lái)，嘉嘉又從乙盒拿回。個(gè)棋子放

到甲盒，其中含有x（（）＜x＜。）個(gè)白子，此時(shí)乙盒中有y個(gè)黑子，則?的值為.

【答案】①.4②.m+2a③.1

【解析】

【分析】①用列表的方式，分別寫(xiě)出甲乙變化前后的數(shù)量，最后按兩倍關(guān)系列方程，求解，即可

②用列表的方式，分別寫(xiě)出甲乙每次變化后的數(shù)量，按要求計(jì)算寫(xiě)出代數(shù)式，化簡(jiǎn)，即可

③用列表的方式，分別寫(xiě)出甲乙每次變化后的數(shù)量，算出移動(dòng)的〃個(gè)棋子中有x個(gè)白子，(a-x)個(gè)黑子,

再根據(jù)要求算出.即可

【詳解】答題空1：

原甲：10原乙：8

現(xiàn)甲：10-(2現(xiàn)乙：8+4

依題意：8+a=2x(10-a)

解得：a=4

故答案為：4

答題空2：

原甲：m原乙：2m

現(xiàn)甲1：m-a現(xiàn)乙1：2m+a

第一次變化后，乙比甲多：2m+a-(m-a)-2m+a-m+a-m+2a

故答案為：m+2a

答題空3：

原甲：加黑原乙：白

現(xiàn)甲1：“黑-4黑現(xiàn)乙1：2m白+。黑

現(xiàn)甲2：機(jī)黑-4黑混合現(xiàn)乙2：2根白+〃黑混合

第二次變化，變化的。個(gè)棋子中有X個(gè)白子，3-X）個(gè)黑子

則：y=a-（a-x）=a-a+x=x

2=^=1

XX

故答案為：1

【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式的應(yīng)用；注意用表格梳理每次變化情況是簡(jiǎn)單有效的方法

三、解答題（本大題共7個(gè)小題，共69分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

20.整式的值為P.

017

（1）當(dāng)機(jī)=2時(shí)，求P的值；

（2）若P的取值范圍如圖所示，求，〃的負(fù)整數(shù)值.

【答案】（1）一5

（2）-2,-1

【解析】

【分析】（1）將巾=2代入代數(shù)式求解即可，

（2）根據(jù)題意PW7,根據(jù)不等式，然后求不等式的負(fù)整數(shù)解.

【小問(wèn)1詳解】

解：?.,P=3（；-機(jī)）

當(dāng)加=2時(shí)、尸=3x/：-2

\37

=-5；

【小問(wèn)2詳解】

P=,由數(shù)軸可知P?7,

即,

1J

33

解得加2-2,

，加的負(fù)整數(shù)值為-2,—1.

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，解不等式，求不等式的整數(shù)解，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

21.某公司要在甲、乙兩人中招聘一名職員，對(duì)兩人的學(xué)歷、能力、經(jīng)驗(yàn)這三項(xiàng)進(jìn)行了測(cè)試，各項(xiàng)滿分均

為10分，成績(jī)高者被錄用.圖1是甲、乙測(cè)試成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖.

分?jǐn)?shù)t

（能力\

高昌甲

5151=1乙

\120^0°IA/

\^歷

學(xué)歷能力經(jīng)驗(yàn)項(xiàng)’目

圖1圖2

（1）分別求出甲、乙三項(xiàng)成績(jī)之和，并指出會(huì)錄用誰(shuí);

（2）若將甲、乙的三項(xiàng)測(cè)試成績(jī)，按照扇形統(tǒng)計(jì)圖（圖2）各項(xiàng)所占之比，分別計(jì)算兩人各自的綜合成

績(jī)，并判斷是否會(huì)改變（1）的錄用結(jié)果.

【答案】（1）甲（2）乙

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖數(shù)據(jù)求解即可;

（2）根據(jù)“能力”、“學(xué)歷”、“經(jīng)驗(yàn)”所占比進(jìn)行加權(quán)再求總分即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：甲三項(xiàng)成績(jī)之和為：9+5+9=23；

乙三項(xiàng)成績(jī)之和為：8+9+5=22；

錄取規(guī)則是分高者錄取，所以會(huì)錄用甲.

【小問(wèn)2詳解】

180°

“能力”所占比例為:

360°

120。

“學(xué)歷”所占比例為:

360°

60°_1

“經(jīng)驗(yàn)”所占比例為:

360°-6

，“能力”、“學(xué)歷”、“經(jīng)驗(yàn)”的比為3：2：1；

3x9+2x5+lx923

甲三項(xiàng)成績(jī)加權(quán)平均為:

6-T；

3x8+2x9+lx547

乙三項(xiàng)成績(jī)加權(quán)平均為:

66

所以會(huì)錄用乙.

【點(diǎn)睛】本題主要考查條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖表信息進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.

22.發(fā)現(xiàn)兩個(gè)已知正整數(shù)之和與這兩個(gè)正整數(shù)之差的平方和一定是偶數(shù)，且該偶數(shù)的一半也可以表示為兩

個(gè)正整數(shù)的平方和.驗(yàn)證：如，（2+1）2+（2-1）2=10為偶數(shù)，請(qǐng)把10的一半表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方

和.探究：設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個(gè)已知正整數(shù)為膽，〃，請(qǐng)論證“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確.

【答案】驗(yàn)證：22+12=5;論證見(jiàn)解析

【解析】

【分析】通過(guò)觀察分析驗(yàn)證10的一半為5,2?+F=5；將〃？和〃代入發(fā)現(xiàn)中驗(yàn)證即可證明.

【詳解】證明：驗(yàn)證：10的一半為5,22+12=5;

設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個(gè)已知正整數(shù)為〃?，n,

（/n+n）2+（m-n）2=2^m2+〃，，其中2（">+/）為偶數(shù)，

且其一半加2+/正好是兩個(gè)正整數(shù)相和n的平方和，

“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確.

【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，根據(jù)題目要求列出代數(shù)式是解答本題的關(guān)鍵.

23.如圖，點(diǎn)p（a,3）在拋物線C：y=4—（6—x）2上，且在C的對(duì)稱軸右側(cè).

(1)寫(xiě)出C的對(duì)稱軸和y的最大值，并求。的值；

(2)坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫(huà)出點(diǎn)尸及C的一段，分別記為p,C.平移該膠

片，使C'所在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)恰為,=-/+6%-9.求點(diǎn)尸'移動(dòng)的最短路程.

【答案】(1)對(duì)稱軸為直線x=6,丁的最大值為4,a=7

(2)5

【解析】

【分析】(1)由y=a(x-/z)2+k的性質(zhì)得開(kāi)口方向，對(duì)稱軸和最值，把P(a,3)代入y=4—(6—x)2中

即可得出〃的值；

(2)由y=-犬+6x-9=-(x-3)2,得出拋物線丁=一工2+6》一9是由拋物線C：y=—(x-6)~+4向

左平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位得到，即可求出點(diǎn)尸'移動(dòng)的最短路程.

【小問(wèn)1詳解】

j=4-(6-x)2=-(X-6)2+4,

對(duì)稱軸為直線x=6,

V-l<0,

...拋物線開(kāi)口向下，有最大值，即y的最大值為4,

把P(a,3)代入y=4-(6—x)2中得：

4-(6-a)?=3,

解得：。=5或。=7,

,/點(diǎn)P(a,3)在C的對(duì)稱軸右側(cè)，

6Z=7;

【小問(wèn)2詳解】

*.*y=-x2+6尤-9=-(工-3)2,

y=一(了一3)2是由y=—(X—6)2+4向左平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位得到，

平移距離為J32+42=5,

A尸'移動(dòng)的最短路程為5.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)y=a(x—"尸+女的圖像與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)y=a(x—〃了+人的性質(zhì)以及

平移的方法是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，某水渠的橫斷面是以AB為直徑的半圓。，其中水面截線嘉琪在A處測(cè)得垂直站

立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14。，點(diǎn)M的俯角為7。.已知爸爸的身高為1.7〃?.

(1)求NC的大小及A8的長(zhǎng);

(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出線段?！?，用其長(zhǎng)度表示最大水深(不說(shuō)理由)，并求最大水深約為多少米(結(jié)果保留

小數(shù)點(diǎn)后一位).(參考數(shù)據(jù)：tan76°取4,J萬(wàn)取4.1)

【答案】(1)NC=76。,AB=6.8(m)

(2)見(jiàn)詳解，約6.0米

【解析】

【分析】(1)由水面截線可得從而可求得NC=76°,利用銳角三角形的正切值

即可求解.

(2)過(guò)點(diǎn)。作"±W，交MN于D點(diǎn)、,交半圓于H點(diǎn)，連接OM,過(guò)點(diǎn)〃作MGJ_O3于G,水面截

線MN〃AB,即可得?！礊樗?，由圓周角定理可得NBOM=14°,進(jìn)而可得AABC,利

用相似三角形的性質(zhì)可得OG=4GM,利用勾股定理即可求得GM的值，從而可求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：???水面截線

：.BC±AB,

:.ZABC-90°,

/。=90。一/045=76。，

在中，ZABC=90°,BC=L7,

…ABAB

tan76=-=--,

BC1.7

解得AB?6.8(m).

【小問(wèn)2詳解】

過(guò)點(diǎn)。作"±MN，交MN于。點(diǎn)，交半圓于，點(diǎn)，連接。M,過(guò)點(diǎn)M作MGLOB于G,如圖所示:

???水面截線MN〃AB,OH1AB,

:.DH工MN,GM=OD,

:.DH為最大水深，

-,-ZBAM=7°,

NBOM=2/BAM=14°,

ZABC=NOGM=90°,且NB4C=14°,

.,.△ABC~AOGM）

OGMGOGMG

——=----,即14n——=-----即OG=4GM,

ABCB6.81.7

AR

在放△OGM中，ZOGM=90°,OM=——?3.4,

2

:.OG2+GM2=OM2,即（4GM）2+G”=（3.4）2,

解得GMh0.8,

DH=OH-<90=6.8-0.8?6,

最大水深約為6.0米.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，主要考查了銳角三角函數(shù)的正切值、圓周角定理、相似三角形的判定

及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握解直角三角形的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

25.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，線段A8的端點(diǎn)為A（-8,19）,B（6,5）.

(1)求AB所在直線的解析式；

(2)某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)畫(huà)：在函數(shù)丁=如+〃(根，O,yiO)中，分別輸入“和”的值，使得到射線

CD,其中C(c,o).當(dāng)c=2時(shí)，會(huì)從C處彈出一個(gè)光點(diǎn)P,并沿C。飛行；當(dāng)CW2時(shí)，只發(fā)出射線而無(wú)

光點(diǎn)彈出.

①若有光點(diǎn)P彈出，試推算機(jī)，〃應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系；

②當(dāng)有光點(diǎn)P彈出，并擊中線段48上的整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù))時(shí)，線段AB就會(huì)發(fā)光，求此時(shí)整數(shù)

m的個(gè)數(shù).

【答案】(1)y=-x+U

(2)①〃=一2"2,理由見(jiàn)解析②5

【解析】

【分析】⑴設(shè)直線AB的解析式為丁=丘+人仕。0),把點(diǎn)A(—8,19),8(6,5)代入，即可求解；

(2)①根據(jù)題意得，點(diǎn)C(2,0),把點(diǎn)C(2,0)代入y=加%+",即可求解；

②由①得：n=-2m,可得y=(x-2)m,再根據(jù)題意找到線段48上的整點(diǎn)，再逐一代入，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)直線AB的解析式為＞="+》(左H0),

把點(diǎn)A(—8,19),3(6,5)代入得:

8k+b=19k=—\

解得:

6k+b=5b=ll

：.AB所在直線的解析式為y=-x+n；

小問(wèn)2詳解】

解：n=-2m,理由如下：

若有光點(diǎn)P彈出，則c=2,

.?.點(diǎn)C(2,0),

把點(diǎn)C(2,0)代入y=/nr+〃(根H0,y20)得：

2m+n-0；

.?.若有光點(diǎn)P彈出，，力”滿足的數(shù)量關(guān)系為〃=-2帆；

②由①得：〃=—2m,

y=mx+n=mx—2m=^x—2^m,

?.?點(diǎn)A(-8,19),3(6,5),A8所在直線的解析式為y=—x+11,

線段AB上的其它整點(diǎn)為

(-7,18),(-6,17),(-5,16),(-4,15),(-3,14),(-2,13),(-1,12),(0,11),(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)

,/有光點(diǎn)P彈出，并擊中線段AB上的整點(diǎn),

直線CO過(guò)整數(shù)點(diǎn)，

19

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)(-8,19)時(shí)，19=(—8—2)加，即機(jī)=一而(不合題意，舍去),

當(dāng)擊中線段A8上的整點(diǎn)(-7,18)時(shí)，18=(-7-2)m,即加=一2,

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)(-6,17)時(shí)，17=(-6-2)m,即m二(不合題意,舍去),

16

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)時(shí)，16=(-5-2)m,E|Jm-(不合題意,舍去),

(-5,16)T

_5

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)時(shí)，(不合題意，舍去)，

(-4,15)15=(-4-2)m,BPm=~2

_14

當(dāng)擊中線段A8上的整點(diǎn)(-3,14)時(shí)，14=(-3-2)m即m=(不合題意,舍去),

9T

_13

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)(-2,13)時(shí)，13=(-2-2)m,B|Jm=(不合題意,舍去),

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)(-1,12)時(shí)，12=(-1-2)m,即團(tuán)=-4,

即機(jī)=-11（不合題意，舍去）,

當(dāng)擊中線段A8上的整點(diǎn)(0,11)時(shí),11=(0-2)m,

2

當(dāng)擊中線段A8上的整點(diǎn)（1,10）時(shí)，10=（1-2）m,即加=-10,

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（2,9）時(shí)，9=（2-2）m,不存在,

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（3,8）時(shí)，8=（3-2）m,即m=8,

7

當(dāng)擊中線段A8上的整點(diǎn)（4,7）時(shí),7=(4-2)m,即用=—（不合題意，舍去）,

2

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（5,6）時(shí)，6=（5-2）即m=2,

即m=3（不合題意，舍去）,

當(dāng)擊中線段AB上的整點(diǎn)（6,5）時(shí),5=(6-2)m,

4

綜上所述，此時(shí)整數(shù)機(jī)的個(gè)數(shù)為5個(gè).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，理解有光點(diǎn)P彈出,

并擊中線段A3上的整點(diǎn)，即直線CD過(guò)整數(shù)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

26.如圖，四邊形中，AO〃3C,ZABC=90°,ZC=30°,AD=3,AB=26，DHLBC于點(diǎn)

”.將與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)P與A重合，點(diǎn)8在PM上，其中/。=90。,

ZQPM=30°,PM=46.

（1）求證：△PQM絲△C”D；

（2）△PQM從圖1的位置出發(fā)，先沿著B(niǎo)C方向向右平移（圖2）,當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)。后立刻繞點(diǎn)O逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)（圖3）,當(dāng)邊旋轉(zhuǎn)50。時(shí)停止.

①邊尸。從平移開(kāi)始，到繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)結(jié)束，求邊PQ掃過(guò)的面積；

②如圖2,點(diǎn)K在上，且8K=9-4百.若△PQM右移的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)，繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的速

度為每秒5。，求點(diǎn)K在△PQM區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時(shí)長(zhǎng)；

③如圖3.在△PQW旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)PQ,PM分別交BC于點(diǎn)E,F,若BE=d,直接寫(xiě)出CF的長(zhǎng)（用含

1的式子表示）.

【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）①96+57；

②（班-3）s；

③b=60-⑵/

9-d

【解析】

【分析】(1)先證明四邊形是矩形，再根據(jù)心△DHC算出C。長(zhǎng)度，即可證明；

(2)①平移掃過(guò)部分是平行四邊形，旋轉(zhuǎn)掃過(guò)部分是扇形，分別算出兩塊面積相加即可；

②運(yùn)動(dòng)分兩個(gè)階段：平移階段：，=必；旋轉(zhuǎn)階段：取剛開(kāi)始旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，以PM為直徑作圓，”為圓

v

心，延長(zhǎng)。K與圓相交于點(diǎn)G,連接GH,GM,過(guò)點(diǎn)G作GTLDW于T；設(shè)NKDH=6,利用

用△QK”算出tan。，sin。，cos。，利用用△OGM算出。G,利用及△OGT算出G7,最后利用

RtAHGT算出sinNGHT,發(fā)現(xiàn)sin/GHT=」，從而得到28,。度數(shù)，求出旋轉(zhuǎn)角，最后用旋轉(zhuǎn)角

2

角度計(jì)算所用時(shí)間即可；

/小tana-tan6,八、tana+tang.