江蘇省常州市金壇區(qū)2023-2024學年高二上學期期中數(shù)學試題（原卷版）

2023年秋學期高二期中質(zhì)量調(diào)研數(shù)學試卷注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效，3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在平面直角坐標系中，直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.且3.某學習小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為，深度為，則該拋物線的焦點到頂點的距離為（）A. B. C. D.4.已知、，直線過定點，且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A B. C. D.或5.17世紀法國數(shù)學家費馬在《平面與立體軌跡引論》中證明，方程(k>0，k≠1，a≠0)表示橢圓，費馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì)：若從橢圓上任意一點P向長軸AB(異于A，B兩點)引垂線，垂足為Q，則為常數(shù).據(jù)此推斷，此常數(shù)的值為（）A.橢圓的離心率 B.橢圓離心率的平方C.短軸長與長軸長的比 D.短軸長與長軸長比的平方6.已知橢圓C：上有一點A，它關(guān)于原點的對稱點為B，點F為橢圓的右焦點，且，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.7.若方程有兩個不等的實根，則實數(shù)b的取值范圍為（）A. B. C. D.8.已知實數(shù)，滿足，則取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.平面直角坐標系內(nèi)的任意一條直線都存在傾斜角和斜率B.點關(guān)于直線的對稱點為C.直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2D.經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為10.已知直線，圓，則（）A.直線恒過定點B.當直線與圓相切時，C.當時，直線被圓截得的弦長為D.當時，直線上存在點，使得以為圓心，為半徑的圓與圓相交11.已知點P在圓上，點，，，則（）A. B.當面積最大時，C.當最小時， D.當最大時，12.在數(shù)學史上，平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線.在平面直角坐標系中，動點到兩個定點，的距離之積等于1，化簡得曲線.則下列結(jié)論正確的是（）A.滿足的點P有兩個 B.的最小值為2C.的面積大于 D.的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若曲線是雙曲線，則其焦距為______.14.若過點的直線l與圓交于A，B兩點，則弦最短時直線l的方程為______.15.雙曲線右頂點為A，點M，N均在C上，且關(guān)于y軸對稱，若直線，的斜率之積為，則C的離心率為______.16.已知，分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與C交于P，Q兩點，若，則C的離心率是______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知兩條直線，.設(shè)m為實數(shù)，分別根據(jù)下列條件求m的值.（1）；（2）直線在x軸與在y軸上的截距之積等于.18.在①焦點到準線的距離是，②準線方程是，③通徑的長等于.這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.問題：在平面直角坐標系中，已知拋物線，______.（1）求拋物線的方程；（2）若過直線與拋物線相交于點、，求證：是直角三角形.注；如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.19.瑞士數(shù)學家歐拉（Euler）1765年在所著的《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心?重心?垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的三個頂點為，，.（1）求外接圓的方程；（2）求歐拉線的方程.20.如圖，已知的圓心在原點，且與直線相切.（1）求的方程；（2）點P在直線上，過點P引的兩條切線、，切點為A、B.①求四邊形面積的最小值；②求證：直線過定點.21.在直角坐標系中，直線是雙曲線的一條漸近線，點在雙曲線C上，設(shè)為雙曲線上的動點，直線與y軸相交于點P，點M關(guān)于y軸的對稱點為N，直線與y軸相交于點Q.（1）求雙曲線C的方程；（2）在x軸上是否存在一點T，使得，若存在，求T點的