高等數(shù)學(xué)(2017高教五版)課件高等數(shù)學(xué)第七版概率論工科

第二部分概率（一）事件的概率__（二）條件概率與事件的獨(dú)立性（三）隨機(jī)變量及其分布（四）隨機(jī)變量的數(shù)字特征（一）事件的概率1、隨機(jī)事件2、概率的概念及性質(zhì)3、古典概型1、隨機(jī)事件■在隨機(jī)試驗(yàn)中，對某些現(xiàn)象的陳述為隨機(jī)事件（也簡稱事件）?！鰧τ谥付ǖ囊淮卧囼?yàn)，一個特定的事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，這就是事件的隨機(jī)性。■例1(p1)，投擲一枚均勻骰子，觀察朝上面的點(diǎn)數(shù)，我們關(guān)注“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不大于4”這個事件(記之為A)。當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)3點(diǎn)時，事件A發(fā)生；當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)5點(diǎn)時，事件A不發(fā)生?？傊谠囼?yàn)前，無法判斷事件A是否發(fā)生。事件的關(guān)系包含A)o(2)A=B(A與B相等);(3)A與B互斥(A,B不能在一次試驗(yàn)中同時發(fā)生)事件的運(yùn)算A例7(p3)有兩門火炮同時向一架飛機(jī)射擊，考察事件A=｛擊落飛機(jī)｝，依常識，“擊落飛機(jī)”等價于“擊中駕駛員”或者“同時擊中兩個發(fā)動機(jī)”，因此A是一個較復(fù)雜的事件，如記Bi=｛擊落第i個發(fā)動機(jī)｝，i=1,2,C-［擊中駕駛員｝，相對A而言，B1、B2及C都較A為簡單。我們可以用B1、B2及C表示AA=B1B2UC這可以簡化復(fù)雜事件A的概率計(jì)算。事件的分解的要點(diǎn)是：正__確使用事件的運(yùn)算建立各簡單事件之間的關(guān)系。2、概率的概念及性質(zhì)■概率是事件發(fā)生的可能性大小的度量■概率的統(tǒng)計(jì)定義——頻率的穩(wěn)定值，常常用于概率的近似計(jì)算，是非常有用的。但要注意，試驗(yàn)次數(shù)要足夠多。概率有以下性質(zhì)事件的加法公式及推廣:對于任意事件A、B、C，有3、古典概型■概型的要求：①有限性：可能結(jié)果只有有限個；②等可能性：各個可能結(jié)果出現(xiàn)是等可能的?！龈怕实挠?jì)算公式例1（p8）設(shè)有批量為100的同型號產(chǎn)品，其中次品有30件?，F(xiàn)按以下兩種方式隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品：（a）有放回抽取，即先任意抽取1件，觀察后放回批中，再從中任取1件；（b）不放回抽取，即先任取1件，抽后不放回，從剩下的產(chǎn)品中再任取1件。試分別按這兩種抽樣方式求（1）兩件都是次品的概率；（2）第1件是次品，第2件是正品的概率。解：容易驗(yàn)證滿足古典概型的要求記A=｛兩件都是次品｝，B=｛第1件次品，第2件正品｝只討論有放回情況（不放回情況是類似的），計(jì)算樣本點(diǎn)總數(shù)，注意隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的試驗(yàn)可以看成有放回地二次抽取，每次取一件。而每次抽取均有100種可能結(jié)果，依計(jì)算原理，一共有n=100*100=10000種可能結(jié)果，此即樣本點(diǎn)總數(shù)。而構(gòu)成事件A的樣本點(diǎn)的條件必須每次抽取來自30件次品，因此每次有30種可能結(jié)果，k=30*30=900種可能結(jié)果，于是同理，可得例8(p13)設(shè)一年有365天，求下述事件A,B的概率：A={n個人中沒有2人生日相同

B={n個人中至少有2人生日在同一天}。提示：由于每個人的生日可以是365天中的任意一天，因此n個人的生日有365種可能結(jié)果，這就是樣本點(diǎn)總數(shù)。為求事件A的有利樣本點(diǎn)數(shù)，注意到為保證不同生日，必須且只須，除第一人外，其余的人的生日只能在365天中除去前面已選定生日的余下天數(shù)中隨機(jī)挑選。因此有利于A樣本點(diǎn)數(shù)k=365*364*……*(365-n+1)又注意到事件A,B之間有關(guān)系B=/C使用P(B)=1-P(A)直接可得P(B),這一方法是十分常用的，讀者須掌握。（二）條件概率與事件的獨(dú)立性1、條件概率__2、全概率公式和貝葉斯公式3、事件的獨(dú)立性計(jì)算公式：若P(B)>(),則___乘法公式：若P(B)>0,則、條件概率P(AB)=P(B)P(A|e)推廣：若P(AB)>0,P(AJ3C)=P(A)P(B\A)P(C\AB)例2(p18)生命表生命表是人身保險精算的重要依據(jù)，下表是美國1976年的部分生命表。年齡每十萬人中存活人數(shù)每千個存活者的死亡率50907186.4351901357.0052895017.6253888228.3054880859.03其中第3列的死亡率就是到達(dá)該年齡還存活條件下，在之后的一年內(nèi)死亡的條件概率。例如，為求50歲時的死亡率，記事件A=｛個體在50歲存活｝，B=｛個體在50到51歲之間死亡注意到此時AB=B,因而所以，50歲人的死亡率為這正好是第3列的第一個數(shù)字（須除以1000）例3(p19)一批零件共100個，其中次品有10個，今從中不放回抽取2次，每次取1件，求第一次為次品，第二次為正品的概率。解記A=｛第一次為次品｝，B=｛第二次為正品要求P(AB),由乘法公式，先求P(BIA)及P(A)已知P(Aj=0.1,而P(BIA)=90/99,因此_P(AB)=P(A)P(BIA)=0.1*90/99=0.0912、全概率公式和貝葉斯公式原因A原因原因ArJ結(jié)果日全概率公式是已知“原因”發(fā)生概率，求“結(jié)果”發(fā)生概率。貝葉斯公式設(shè)A，...Mn兩兩互斥，且戶(4)〉()，1/H,P(B)>0,b=|JM則對任一有p(A.b)=^W1A^ryfcp(')汽捫4)貝葉斯公式是已知“結(jié)果”，推斷該“結(jié)果”由某“原因”發(fā)生在貝葉斯公式中，稱P(A1),...，P(An)為先驗(yàn)概率，而P(AilB)，,P(AnlB)為后驗(yàn)概率，它表示在有了試驗(yàn)結(jié)果B己發(fā)生的附加信息下，對先驗(yàn)概率的修正。例5(p20)血液化驗(yàn)一項(xiàng)血液化驗(yàn)以概率0.95將帶菌病人檢出陽性，但也有1%的概率誤將健康人檢出陽性。設(shè)己知該種疾病的發(fā)病率為0.5%，

求己知一個個體體檢出陽性條件下，該個體確實(shí)患有此種疾病的概率。■此例的“結(jié)果”是血液化驗(yàn)檢出是陽性，產(chǎn)生此結(jié)果的兩個可能“原因”是：一帶菌；二健康人。問題是從已知“結(jié)果”是由“帶菌”產(chǎn)生的條件概率：P（帶菌I陽性）記B=｛陽性｝，八1=｛帶菌｝,A2=｛不帶菌｝己知由Bayes公式得到為什么驗(yàn)出是“陽性”，而事實(shí)上為此??？以下是平均總數(shù)其中數(shù)字0.95,1.99是由假設(shè)條件及公式帶菌不帶菌總和陽性0.951.992.94非陽性0.05197.01197.06總和11992000.95=1*0.951.99=199*0.01算出，因此已檢出陽性條件下（總共2.94人），H+t7±±：布1囷（只有0.95人）的條件概率為3、事件的獨(dú)立性稱事件A,B獨(dú)立，如果P{AB)=

P(A)P(B)A,B獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)P(B\A)=P(BA)其中0<P(A)<1該公式表明：A發(fā)生與否，不影響事件發(fā)生的概率，這正是事件獨(dú)立的含義。推廣：三個事件A.B.C獨(dú)立，如果P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BO=P(B)P(C),且P(ABO=P(A)P(B)P(C).-窠刪蚊（見書上例7）。若己知A,B.C相互獨(dú)立，以下公式可簡化相關(guān)事件概率的計(jì)算:P(AUBUO=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)因此，由獨(dú)立性，有際意義可知例8(p23)設(shè)某車間有三臺車床，在-小時內(nèi)機(jī)器不要求工人維護(hù)的概率分別是：第1臺為0.9,第2臺為0.8，第3臺為().85。求一小時內(nèi)三臺車床至少有一臺不需工人維護(hù)的概率(尸(A)=1—P(AA,A,)=1-P(A)p(a2)p(a3)=1一0.1*0.2*0.15=0.997例10(p25)保險賠付設(shè)有n個人向保險公司購買人身意外險(保險期為1年)，假定投保人在一年內(nèi)發(fā)生意外的概率為0.01,求：(1)該保險公司賠付的概率；(2)多大的n使得以上的賠付概率超過0.5。門答案(1)1-0.99(2)n彡685本例表明，雖然概率為0.01的事件是小概率事件，它在一次試驗(yàn)中是實(shí)際不會發(fā)生的；但若重復(fù)做n次試驗(yàn)，只要n^685,該小概率事件至少發(fā)生一次的概率要超過0.5，因此決不能忽視小概（三）隨機(jī)變量及其分布1、隨機(jī)變量的分布函數(shù)2、離散型隨機(jī)變量的分布3、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布__4、二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與邊緣分布1、隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)X是隨機(jī)變量，一個取值于區(qū)間［0,Ij的實(shí)值函數(shù)F(x)ab連續(xù)型隨機(jī)變量(%)分布函數(shù)的圖像，y=0及y=1是兩條漸近線分布函數(shù)有如下性質(zhì)：（1）0<F（x）<l；（2）單調(diào)不減，即當(dāng)x,<x2時，F(xiàn)（x）=O,liinF（a）

=1；一個右連續(xù)函數(shù)，即品/（小咖）。(3)limJT—?-??(4〉F(x)是2、禺散型隨機(jī)變量的分布離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)隨機(jī)變量X的取值為，一可數(shù)，?七，…且記A=P(X=Xi/=i,2,--.稱下述表格所表示的函數(shù)力X的分布律:X的分布函數(shù)可用分布律表示如下:_士EP/9^0<X<00；i:Xj<x而且如己知X的分布函數(shù)F(),及取值fxj,例5(p33)袋中有5個球，分別編號1,2,...,5,從中同時取出3個球，以X表示取出的球__的最小號碼，求X的分布律與分布函數(shù)。____解：由于X表示取出的3個球中的最小號碼，____因此X的所有可能取值為1,2,3,{X=1}表示3個球中的最小號碼為1,那么另外兩個球

可在2,3,4,5中任取2個，這樣的可能取法有__種；而在5個球中取3個球的可能取法共有由古典概型計(jì)算公式可知:12丄同樣對得：P(X=2)=3尸aP(X=l)=^A4"d=l50.6X的分布函數(shù)為00.60.6+0.3=0.9丨<1l<x<22<a<3a1所以,X的分布轉(zhuǎn)S為b23—例6(p36)從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都為1，設(shè)X為途中遇到紅燈4的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律及至多遇到一次紅燈的概率。023(X=I解從學(xué)校到火車站的途中有3個交通崗且每次遇紅燈的概率為1.可認(rèn)為途中遇到紅4燈的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布B(3，其分布律為41642764至多遇到一次紅燈的概率為96427+272764+642764例10(p38)設(shè)每分鐘通過某交叉路口的汽車流量X服從泊松分布，且已知在一分鐘內(nèi)無車輛通過與恰有一輛車通過的概率相同，求在一分鐘內(nèi)至少有兩輛車通過的概率。解設(shè)X服從參數(shù)為A的泊松分布，由題意知P(X=0)=P(X=l)可解得A=1因此，至少有兩輛車通過的概率為P(X彡2)二l-p(X=0)-p(X=l)=l-2e3、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布?X為連續(xù)型的隨機(jī)變量，則其分布函數(shù)F(X)處處連續(xù)，且P(a<X<b)=P(a<X</?)=/f(x)dx。1—d尸f(x)P(a<X<b)w0abt常用連續(xù)型分布—oo<r<+00例14（p42）設(shè)打一次電話所有的時間（單位：niin）服從參數(shù)為0.2的指數(shù)分布，如果有人剛好在你前面走進(jìn)公用電話間并開始打電話（假定公用電話間只有一部電話機(jī)可供通話），試求你將等待（1）超過5分鐘的概率，（2）5分鐘到10分鐘之間的概率。解令X表示電話間中那個人打電話所占有的時間，由題意知，X服從參數(shù)為0.2的指數(shù)分布，因此X的密度函數(shù)為i所求概率分別為：P（x>5）uP（5<X<10）=0.2e^2x,x>00<0N0,4-3-2-1O12123x用①(X)表示7V(0,1)的分布函數(shù)?標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有如下性質(zhì)：(1)<!>(—x)=l-①(x),對任意-oo<x<ooP(|X|<3)=0.9974這表明，一個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量，其分布的載荷幾乎集中在區(qū)間(2)設(shè)Y?TVfO.lk則有陳-V.，，'…Jp/lvd/1、AQOArqA|<i;-u.odzoP(|X|<2)=0.9544?標(biāo)準(zhǔn)化變換Y_//設(shè)X~/V（/4a2），則：^=——?2V（O，1）ax一ux一u__因此p（x<x）=p（y<-—）=0（—）后者可通過查標(biāo)準(zhǔn)if態(tài)分布表，得到相應(yīng)的數(shù)值而不必計(jì)算。例17(p45)某地抽樣調(diào)查結(jié)果表面，考生的外語成績(百分制)X服從正態(tài)分布2V(72,o-2),且96分以上的考生占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外語成績在60至84分之間的概率。解本題中戸=72分，cr2未知,?聯(lián)合分布函數(shù)F（x,），）=P（X<x,Y<j）,-ao<x,y<-k聯(lián)合分布函數(shù)具有以下性質(zhì)：⑴

0^F（x,y）^l；（2）F（x,v）分別關(guān)子x及y單調(diào)不減：（3）F（x,y）分別關(guān)于x及y右連續(xù)；（4）limF（x.y）=0,limF（x._y）=0,limF（.v,y?邊緣分布函數(shù)?聯(lián)合密度和邊緣密度(I)如存在/(x,y)>0,^>0<x,y<-Hx,使得F(X，y)=J二<x,y<-K?那么/(x,y)>3(X,r)的聯(lián)合密度函數(shù)。(2)稱例4、7(p53、57)設(shè)二維隨機(jī)變量QC，y)在E域G上服從均勻分布，其中G={O<x<l,|y|<x},求(1)(X,y)的聯(lián)合密度函數(shù)/(x,y);

(2)關(guān)于X,關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)。解易見G的面積為1,因此聯(lián)合密度為10<.r<l，|y|<_r其它?隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性成立-G設(shè)X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)為F（X,y）,如果對任意實(shí)數(shù)X、y，則稱隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立。?如果有聯(lián)合密度函數(shù)/（A,y）,則X與Y相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)j/Uy）=AU）A（y）^對任意x、y,-oo<x，y<4002^rr2?二維正態(tài)分布,p）即因此邊緣分布與參數(shù)p無關(guān)。由此可知:邊緣分布并不能完全確定聯(lián)合分布。/Uy）=-■■■■--■?e2兀<T\Cr2y^-p可求得X，Y的邊緣密度分別為設(shè)（X，Y）有二元正態(tài)分布，其聯(lián)合密度為|（太-灼）2

（叉-/A）（y-A>+（y-外）22（1-p2）ofCT|<r2

ttj（四）隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、數(shù)學(xué)期望2、方差和標(biāo)準(zhǔn)差3、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)4、大數(shù)律和中心極限定理、數(shù)學(xué)期望期望的性質(zhì)設(shè)a、b、c都是常數(shù)。(1)￡■(<?)=(?；(2)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)；相互獨(dú)立時,1.

0-1分布EX=p3.泊松分布P(A)：

EX=A5.指數(shù)分布E(A):EX2.二項(xiàng)分布p)：

EX二np隨機(jī)變量函數(shù)的期望I(1)X有概率密度f(x)，則(2)X有分布律朽=P(X=^)，例5(p79)分賭本問題(pointproblem)甲乙二人各有賭本a元，約定誰先勝三局贏得全部賭本2a元，假定甲、乙二人每一局的取勝概率相等?，F(xiàn)己賭三局結(jié)果是：甲二勝一負(fù)。由于某種原因賭博中止，問如何分2a元賭本才合理？提示：如果甲乙兩人平均分，對甲是不合理的；能否依據(jù)現(xiàn)在的勝負(fù)結(jié)果2:1來分呢？但仔細(xì)推算也是不合理的，當(dāng)時著名數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家Pascal提出一個合理的分法是：如果賭局繼續(xù)下去，他們各自的期望所得就是他們應(yīng)該分得的。若記X為甲最終所得，Y為乙的最終所得，容易得到X,Y的分布律為例11(P82)把n個球放進(jìn)M只盒子，假定每轉(zhuǎn)可緣2、方差和標(biāo)準(zhǔn)差例有兩批鋼筋（每批10根）它們的抗拉強(qiáng)度為：第一批110,120,120,125,125,125,130,130,135,140第二批90,100,120,125,125,130,135,145，145,145__可計(jì)算出兩批數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是126,但直觀上第二批數(shù)據(jù)比第一批數(shù)據(jù)與平均值126有較大的偏離，因此，欲描述一組數(shù)據(jù)的分布單單有中心位置的指標(biāo)是不夠的，尚需有一個描述相對于中心位置的偏離程度的指標(biāo)，對于隨機(jī)變量也有相同的問題，除了使用期望描述分布的中心位置以外，尚需一個描述相對于期望的分散程度的指標(biāo)。1.0-1分布DX二p(l-p)2.二項(xiàng)分布B(n，p):DX—np{\—p}3.泊松分布P(A)：

DX=^」5.指數(shù)分布￡(A)：

DXDX二cr4.均勻分布R(a,b):DX二6.正態(tài)分布N(/7.a2):方差的性質(zhì)：設(shè)a與c都是常數(shù)，(1)

￡)(c)=0;(2)

D(tLV)=a2D(X)；(3)

X與Y獨(dú)立，則D(X±y)=D(X)+D(r)o則對算術(shù)平均，有E(X)=//,D(x)=^。這表明，作為中心位置指標(biāo)又與單個X,有相同的期望值，但X的例設(shè)U2，…AU蟲立同分布，EXx=p.DXx=a\,LlUiCiJ3、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)定義(1)x與y的協(xié)方差■?v(x,y)