基于反問題分析的對流換熱系數(shù)的求解

基于反問題分析的對流換熱系數(shù)的求解

機械零件的可靠性已成為一個話題。在固體溫度場中，由于結(jié)構(gòu)的限制，熱零件的熱負(fù)荷不均勻，溫度變大，零件磨損加劇，勞動壽益低。分析熱件的熱負(fù)荷最重要的是確定其溫度分布。如果溫度分布正確，可以確定其他物理區(qū)域，如熱流、熱應(yīng)力和熱變形。通常，可以通過測量方法確定熱件的某些功能點的溫度，但在復(fù)雜結(jié)構(gòu)中，只能測量有限點的溫度值，因此確定總溫度場的成本非常高。因此，大多數(shù)設(shè)計采用計算機數(shù)值模擬。計算機模擬溫度場的關(guān)鍵是給出接近實際邊界條件的邊界條件。在這項工作中，我們討論了在三種邊界條件下計算溫度場中多對稱換熱系數(shù)的確定。第三類邊界條件是指在對流換熱的情況下,與物體相接觸的流體介質(zhì)的溫度tf和對流換熱系數(shù)hc為已知.其中對流換熱系數(shù)是把一切對對流換熱有影響的因素都放在這個參數(shù)中考慮,hc=f(c,ρ,β,λ,μ,w,x,y,z,Ω……)(c為比熱容,ρ為密度,β為容積膨脹系數(shù),λ為導(dǎo)熱系數(shù),μ為動力粘度系數(shù),w為流速,x,y,z為坐標(biāo),Ω為壁面幾何形狀),作為一個經(jīng)驗參數(shù),復(fù)雜而難確定.目前,求解對流換熱系數(shù)的方法有以下幾種:(1)實驗法:利用實驗對特定環(huán)境下對流換熱系數(shù)進行測定,并總結(jié)出對流換熱系數(shù)的分布規(guī)律,但是由于實際工程中的環(huán)境,測量手段與實驗中有一定差距,因此應(yīng)用中有一定的局限性;(2)特定模型法:對于特殊的工程模型,在合理假設(shè)基礎(chǔ)上,應(yīng)用傳熱學(xué)理論對模型進行分析,得出解析公式,這種方法對特定類型的模型具有較好的效果,但是這種方法推導(dǎo)過程復(fù)雜,僅局限于所探討的模型.(3)試湊法:由于計算機的飛速發(fā)展,數(shù)值計算能力大幅加強,因此,數(shù)值模擬方法成為一種有效方法.當(dāng)前工程實踐中,為確定機械零件內(nèi)的非等溫場,求解對流換熱系數(shù)大多采用試湊法,此種方法過多依賴于計算人員的經(jīng)驗,缺乏明確的理論指導(dǎo)其前進方向,推進步長,因此計算量極大,計算時間長,消耗機時.本文通過建立對流換熱的反問題模型,避開了對流換熱中的復(fù)雜影響因素的干擾,以有限元法為基礎(chǔ),采用多元函數(shù)優(yōu)化算法,推導(dǎo)出計算公式,并編制了計算程序.進行了實例驗證.1單元變分計算方法根據(jù)熱傳導(dǎo)理論,第三類邊界條件下對流換熱的溫度場用公式表示為:-k?Τ?n|Γ=hc(t-Τf)|Γ(1)?k?T?n∣∣Γ=hc(t?Tf)|Γ(1)hc與Tf可以是常數(shù),也可以是某種函數(shù).由變分原理,第三類邊界條件下三維穩(wěn)定溫度場溫度分布的泛函表達式為:J[Τ(x,y,z)]=?Rk2[(?Τ?x)2+(?Τ?y)2+(?Τ?z)2]dxdydz+?∫Chc(12Τ2-ΤfΤ)ds(2)J[T(x,y,z)]=?Rk2[(?T?x)2+(?T?y)2+(?T?z)2]dxdydz+?∫Chc(12T2?TfT)ds(2)極值曲面T(x,y,z)即為物體邊界溫度函數(shù).對第三類邊界單元進行計算時,把式(2)離散定義到單元的區(qū)域范圍就可以了.離散溫度場,對于多對流換熱系數(shù)結(jié)構(gòu),根據(jù)不同區(qū)域的結(jié)構(gòu)特性將對流換熱系數(shù)分區(qū)域離散為不同值,因此對于每一單元,其對流換熱系數(shù)hc導(dǎo)熱系數(shù)k都為常數(shù).在單元內(nèi)溫度場被離散為與結(jié)點溫度有關(guān)的插值函數(shù).對單元進行變分計算就是計算?Je?Τ?Je?T之值.單元變分計算結(jié)果通常寫成矩陣形式:?Je?Τ=[Κ]e{Τ}e-{Ρ}e=0(3)?Je?T=[K]e{T}e?{P}e=0(3)式中,{T}e為單元結(jié)點溫度;[K]e為單元溫度剛度矩陣,[K]e中各元素,kij=f(b,c,d,…,k,hc,SΔ);{P}e為右端項,P=f(hc,tf,SΔ);hc為單元邊界對流換熱系數(shù),以b,c,d…為結(jié)點坐標(biāo)的函數(shù),SΔ為單元邊界面面積;k為導(dǎo)熱系數(shù).將n結(jié)點溫度場總體合成得到:[K]{T}={P}(4)這里,{T}為物體溫度,未知數(shù);[K]為溫度剛度矩陣,K=f(k,hc),hc=(hc1,hc2,……,hcn),各邊界對流換熱系數(shù).{P}為右端項,由單元右端項整合形成.因此對于給定物體,一般的正問題計算為[K]和{P}已知,即包括對流換熱系數(shù)[K]和{P}在內(nèi)的[K]和{P}中的所有元數(shù)都已知,可求得溫度分布{T}.這是正問題的解題模式.2對流傳熱參數(shù)的確定由于對流換熱系數(shù)的影響因素眾多,直接通過正求法求解困難,若通過反求法,可以避開這一難點.通過一定已知條件和測試手段對一些定點進行溫度測量,反求出所求結(jié)構(gòu)中的對流換熱系數(shù).反求法求解對流換熱系數(shù)必須滿足兩個條件:①測量數(shù)據(jù)必須準(zhǔn)確,②由于反求法不考慮計算過程,因此結(jié)構(gòu)中除對流換熱系數(shù)未知外,其他各種參數(shù),邊界條件要盡可能詳細(xì).在本文中反問題模式的思想是:物體結(jié)構(gòu)、導(dǎo)熱系數(shù)、材料特性等已知,而且部分點的溫度也已知(通過測量得到物體一些關(guān)鍵部位溫度),對流換熱系數(shù)未知,利用以上的條件首先確定各邊界對流換熱系數(shù).然后再利用求得的對流換熱系數(shù)按正問題的模式求解整體溫度場.求解對流換熱系數(shù)反問題模式:n∑i=1|[Τ′-Τ(hc)]|→min(5)∑i=1n|[T′?T(hc)]|→min(5)式中,T′為與T(hc)對應(yīng)的溫度真值(測試值);n為未知數(shù)個數(shù),即未知對流換熱系數(shù)個數(shù).因為導(dǎo)熱系數(shù),物體結(jié)構(gòu)已知,所以僅對流換熱系數(shù)為未知,當(dāng)計算溫度值T(hc)與測量溫度值之差滿足精度要求,那么認(rèn)為此時對流換熱系數(shù)hc就相當(dāng)于實際情況中的對流換熱系數(shù).3c0+hcjhj07用泰勒公式將i點溫度Ti(hc)在對流換熱系數(shù)初始值hco=(hc10,hc20,……,hcn0)處線性展開:Τi(hc)=Τi(hc0)+n∑j=1?Τi?hcjhcj(hcj-hcj0)i=1?2,??n(6)Ti(hc)=Ti(hc0)+∑j=1n?Ti?hcjhcj(hcj?hcj0)i=1?2,??n(6)令Ti(hc)=T′i,整理得:n∑j=1?Τi?hcjhcj=Τi′-Τi(hc0)+∑?Τi?hcjhcj0(7)這樣的等式有n個,組成一個關(guān)于(hc1,hc2,……,hcn)的n維線性方程組,可解得n個未知數(shù).線性方程組可表示為:Whc=P(8)hc=(hc1,hc2,……,hcn)T為未知對流換熱系數(shù)矢量;W=[w11??w1n????wnn]為方程系數(shù)矩陣,矩陣元素wjk=?Τj?hck|hck=hcko.P={P1,P2,……,Pn}為方程右端矢量,矢量元素pk=T′i-Ti+Whc0,i=1,2…n此時如果各對流換熱系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)已知,即可求得最優(yōu)解.但是,由于無法知道溫度與對流換熱系數(shù)的關(guān)系,不能保證其為線性關(guān)系,因此將式(4)作為迭代式求近似最優(yōu)解.上式各式中包含很多偏導(dǎo)數(shù).在數(shù)值計算中,求敏度有兩種方法,一是通過解析法,直接求偏導(dǎo),這種方法精度高,但是由于本文采用了Msc.Marc作為有限元分析計算工具,因此直接求導(dǎo)的方法不適用;二是用差分代微分,用差商代導(dǎo)數(shù).這種方法普遍用于比較復(fù)雜的問題,這種方法精讀低,耗時長.本文采用的是差分形式求偏導(dǎo).令Δhci為差分步長,為防止有效數(shù)字缺失,導(dǎo)致線性方程組病態(tài).步長不易過小.實際過程中,選取一個合適的步長比較困難.本文中采取的方法是在變步長過程中實現(xiàn)步長的自動選擇.即將初始步長設(shè)為較小值,求出方程組后判斷是否病態(tài),如果病態(tài)則說明差分計算中,有效數(shù)字缺失,需要增大步長.4模型各邊界條件本方法的提出是作為一種普遍性方法,不是針對某種特殊的結(jié)構(gòu).這里給出一個實例:模型建立:該模型是左側(cè)2mm×0.5mm的矩形,右側(cè)中間是一個0.667mm×0.5min的矩形散熱片,密度2700kg/m3,導(dǎo)熱系數(shù)236w/m·k,比熱920J/kg·k.已知5個測溫點溫度T′(單位:℃)依次為:(215.46,196.12,145.85,136.27,171.32).各邊界環(huán)境溫度tf依次為:(247.5,162.32,84.3,140.52,199.23).模型的各邊存在對流邊界條件如附圖.由于對流換熱系數(shù)未知,首先對其進行預(yù)估計(初值),在算例中五個對流換熱系數(shù)初始預(yù)估計之為(80,80,80,80,80)w/m2·℃.其余邊界條件已知.經(jīng)本算法迭代計算所得結(jié)果見表1.結(jié)果表明,此計算方法收斂迅速,計算結(jié)果與實際測量值吻合較好.在實際工程中,有時無法對某些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的部位,或是溫度較高的部位進行溫度測量,對初值的估計不能比較接近實際值,在這種情況下,本方法也是行之有效的,下面仍用上例來證明:在邊界1溫度較高,不適宜直接測量溫度的情況下,測量點6代替測溫點1,測量點6的溫度為206.96℃,其他點溫度同上.經(jīng)迭代計算,所得結(jié)果見表2.經(jīng)五次迭代后誤差范函R=0.01,可見計算結(jié)果預(yù)測量值吻合,證明本方法對測量點