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文檔簡介

§1

定積分的概念在很多數(shù)學(xué)和物理問題中，經(jīng)常需要求一類特殊和式的極限:這類特殊極限問題導(dǎo)出了定積分的概念.前頁后頁返回三個典型問題求曲邊梯形A

的面積1.

設(shè)S

(A), 其中yxO前頁后頁返回2.已知質(zhì)點運動的速度為求從時刻這就是說,在“常值”、“均勻”、“不變”

的情前頁后頁返回a

到時刻b,質(zhì)點運動的路程s.3.已知質(zhì)量非均勻分布的線狀物體的密度函數(shù)為求線狀物體的質(zhì)量m.顯然,可以用簡單的乘法進行計算.

而現(xiàn)在遇到的問題是“非常值”、“不均勻”、“有變化”的情形，

來如來如何解解何決這些問題呢？以下我們以求曲邊梯形的面積為例，把這類問題合理地歸為一類特殊和式的極限.中心思想：把曲邊梯形看作許許多多小的曲邊梯形之和，每個小曲邊梯形面積，可近似地用矩形的面積來替前頁后頁返回代，雖然為此會產(chǎn)生誤差，但當(dāng)分割越來越細的一分為二時候，矩形面積之和就越來越接近于曲邊梯形面積.yxO前頁后頁返回一分為四yxO前頁后頁返回一分為八yxO前頁后頁返回一分為

n可以看出小矩形面積之和越來越接近于曲邊梯形的面積.yxO前頁后頁返回過程呢？這可以分三步進行.1.分割：把曲邊梯形A

分成n

個小曲邊梯形a即在上找到個分點如何嚴格地定義這一越來越逼近曲邊梯形面積的前頁后頁返回2.近似:前頁后頁返回3.逼近：不管分割多么細，小曲邊梯形終究不是S

總有差別.當(dāng)分割越來越細時，和式就會越來越小.問題是：越細？下面依次討論這兩個問題.與曲邊梯形的面積前頁后頁返回矩形，因此黎曼和來表示分割

T

越來越細,因為可能某些的長度不趨于0.就能保證分割越來越細.前頁后頁返回給定的能夠找到對于另外兩個實際問題,也可類似地歸結(jié)為黎曼和的極限.總結(jié)以上分析，下面給出定積分定義.前頁后頁返回定義1及任意并稱J

為f

在[a,b]上的定積分,記作前頁后頁返回前頁后頁返回注1關(guān)于定積分定義，應(yīng)注意以下幾點：前頁后頁返回因此定積分既不是數(shù)列極限，也不是函數(shù)極限.注2中,我們把小曲邊梯形近似看作矩形時,顯然要求f

(x)在每個小區(qū)間[xi–1,xi]上變化不大,這相當(dāng)要求f

(x)有某種程度上的連續(xù)性.[a,b]上的一致連續(xù)性,可證f

(x)在[a,b]上可積下面舉例來加深理解用定義求定積分的方法.例1解前頁后頁返回存在.

為方便起見,令以后將知道f

(x)在[a,b]上連續(xù)時,利用f

(x)在則此時黎曼和的極限化為的極限.前頁

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