2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)?？键c(diǎn)精練（蘇科版）：專題04 手拉手模型證全等（原卷版）

專題04手拉手模型證全等類型一等邊手拉手1．圖1、圖2中，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM與△CBN都是等邊三角形．（1）如圖1，線段AN與線段BM是否相等？證明你的結(jié)論；（2）線段AN與線段BM交于點(diǎn)O，求∠AOM的度數(shù)；（3）如圖2，AN與MC交于點(diǎn)E，BM與CN交于點(diǎn)F，探究△CEF的形狀，并證明你的結(jié)論．2．如圖，△ABD和△BCE都是等邊三角形，∠ABC＜105°，AE與DC交于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝DC；（2）求∠BFE的度數(shù)；（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．3．如圖，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，都是等邊三角形，與交于點(diǎn)與相交于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）求證：（3）若，求的面積．類型二等直手拉手4．已知：兩個等腰直角三角板△ACB和△DCE（AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°）如圖所示擺放，連接AE、BD交于點(diǎn)O．AE與DC交于點(diǎn)M，BD與AC交于點(diǎn)N．（1）如圖1（兩個等腰直角三角板大小不等），試判斷AE與BD有何關(guān)系并說明理由；（2）如圖2（兩個等腰直角三角板大小相等，即AC＝DC），在不添加任何輔助線的情況，請直接寫出圖2中四對全等的直角三角形．5．已知中，，，點(diǎn)為直線上的一動點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），以為邊作，，連接．（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖①，當(dāng)點(diǎn)在邊上時，①請寫出和之間的數(shù)量關(guān)系________，位置關(guān)系________；②線段、、之間的關(guān)系是_________；（2）嘗試探究：如圖②，當(dāng)點(diǎn)在邊的延長線上且其他條件不變時，（1）中、、之間存在的數(shù)量關(guān)系是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展延伸：如圖③，當(dāng)點(diǎn)在邊的延長線上且其他條件不變時，若，，則線段的長為________．6．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)．（1）如圖1，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且BE＝AF、求證：△DEF是等腰直角三角形經(jīng)過分析已知條件AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)．容易聯(lián)想等腰三角形三線合一的性質(zhì)，因此，連結(jié)AD（如圖2），以下是某同學(xué)由己知條件開始，逐步按層次推出結(jié)論的流程圖．請幫助該同學(xué)補(bǔ)充完整流程圖．補(bǔ)全流程圖：①_______，②∠EDF＝___（2）如果E、F分別為AB、CA延長線上的點(diǎn)，仍有BE＝AF，其他條件不變，試猜想△DEF是否仍為等腰直角三角形？請?jiān)趥溆脠D中補(bǔ)全圖形、先作出判斷，然后給予證明．7．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、在同一條直線上，則的度數(shù)為__________，線段、之間的數(shù)量關(guān)系__________；（2）拓展探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、不在一條直線上，請判斷線段、之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題：如圖3，和均為等腰三角形，，則直線和的夾角為__________．（請用含的式子表示）8．已知：等腰和等腰中，，，．（1）如圖1，延長交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為；（2）如圖2，連接、，延長交于點(diǎn)，若，求證：點(diǎn)為中點(diǎn)；（3）如圖3，連接、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，，，直接寫出的面積．類型三等腰手拉手9．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE交于點(diǎn)F，連接AF．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)求證：FA平分∠BFE．10．如圖，在等腰△ABC與等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，連接BD和CE相交于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N．(1)求證：BD=CE．(2)求證：AP平分∠BPE．(3)若α=60°，試探尋線段PE、AP、PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．11．如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，BD與CE交于點(diǎn)O，BD與AC交于點(diǎn)F．（1）求證：BD＝CE．（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度數(shù)．（3）若G為CE上一點(diǎn)，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求證：BD⊥AC．類型四手拉手綜合12．現(xiàn)有一塊含30°角的直角三角板AOB，點(diǎn)N在其斜邊AB上，點(diǎn)M在其最短直角邊OA所在直線上．以MN為邊作如圖所示的等邊△MNP．（1）如圖1，當(dāng)M在線段OA上時，證明：AM﹣AN＝AP；（2）如圖2當(dāng)M在射線OA上時，試探究AM、AN、AP三者之間的數(shù)量關(guān)系并給出證明．13．已知：△ABC與△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE．（1）如圖1，如果A、B、D在一直線上，且∠ABC＝60°，求證：△BMN是等邊三角形；（2）在第（1）問的情況下，直線AE和CD的夾角是°；（3）如圖2，若A、B、D不在一直線上，但∠ABC＝60°的條件不變則直線AE和CD的夾角是°；（4）如圖3，若∠ACB＝60°，直線AE和CD的夾角是°．14．在ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）（請直接寫出你的結(jié)論）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上：①如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝°；②如果∠BAC＝100°，則∠BCE＝°；（2）設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請畫出圖形，并直接寫出你的結(jié)論．15．小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ABC和△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，求證：BD＝CE；（2）拓展探究：如圖2，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為；線段B