2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)常考點(diǎn)精練（蘇科版）：專題01 倍長(zhǎng)中線證全等（解析版）

專題01倍長(zhǎng)中線證全等倍長(zhǎng)中線模型1．【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連結(jié)BE．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到的理由是（

）．A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA(2)AD的取值范圍是（

）．A．

B．

C．

D．(3)【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中．【問題解決】如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．【答案】(1)B(2)C(3)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；（2）根據(jù)全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三邊關(guān)系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；（3）延長(zhǎng)AD到M，使AD=DM，連接BM，根據(jù)SAS證△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根據(jù)AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可．(1)∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故選B；(2)∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE=AC=6，AE=2AD，∵在△ABE中，AB=8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故選：C．(3)延長(zhǎng)AD到點(diǎn)M，使AD＝DM，連接BM．∵AD是△ABC中線∴CD＝BD∵在△ADC和△MDB中∴∴BM＝AC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）∠CAD＝∠M（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE（等邊對(duì)等角）∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠M，∴BF＝BM（等角對(duì)等邊）又∵BM＝AC，∴AC＝BF．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線，三角形的三邊關(guān)系定理，等腰三角形性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．類型一倍長(zhǎng)中線基本運(yùn)用2．已知AB=4，AC=2，D是BC的中點(diǎn)，AD是整數(shù)，則AD=_______．【答案】2【解析】【分析】延長(zhǎng)AD至E，使得AD=DE，連接EC，可證明△ADB≌△EDC，從而有EC=AB=4，即有：4-2<AE<4+2，然后確定AD的取值范圍，從而確定AD的值．【詳解】延長(zhǎng)AD至E，使得AD=DE，連接EC，如圖∵D是BC的中點(diǎn)∴BD=CD在△ADB與△EDC中∴△ADB≌△EDC∴EC=AB=4∵AC=2∴4-2<AE<4+2即2<AE<6∵AE=2AD∴1<AD<3∵AD為整數(shù)∴AD=2【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊不等關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，即常說(shuō)的倍長(zhǎng)中線方法．3．如圖，在ABC中，CD是AB邊上的中線，設(shè)BC＝a，AC＝b，若a，b滿足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，則CD的取值范圍是_____．【答案】2＜CD＜7【解析】【分析】已知等式變形后，利用完全平方公式配方，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，即可求出CD的取值范圍．【詳解】解：已知等式整理得：（a2?10a＋25）＋（b2?18b＋81）＝0，即（a?5）2＋（b?9）2＝0，∵（a?5）2≥0，（b?9）2≥0，∴a?5＝0，b?9＝0，解得：a＝5，b＝9，∴BC＝5，AC＝9，延長(zhǎng)CD到E，使DE＝CD，連接AE，∵CD為AB邊上的中線，∴BD＝AD，在△BCD和△AED中，，∴△BCD≌△AED（SAS），∴AE＝BC＝a，在△ACE中，AC?AE＜CE＜AC＋AE，∴AC?BC＜2CD＜AC＋AE，即b?a＜2CD＜a＋b，∴＜CD＜，則2＜CD＜7．故答案為：2＜CD＜7．【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．4．如圖，在中，是邊上的中線，，，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE=AD，證明,由全等性質(zhì)求出相關(guān)的線段長(zhǎng)度，在中，由，代入數(shù)值即可得到答案．【詳解】解：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE=AD，如下圖：∵D是BC的中點(diǎn)∴BD=CD在和中：∴∴∵AD=5∴AE=10在中，由得：即：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角形的全等判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，牢記相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．二、解答題(共0分)5．如圖，在和中，，，、分別為、的中點(diǎn)，且，求證：≌．

【答案】詳見解析【解析】【分析】分別延長(zhǎng)、到，，使得，，連接、，易證≌，≌，可得到，．易證≌，可得．再證明≌．可得，，即可證得≌.【詳解】解：如圖，分別延長(zhǎng)、到，，使得，，連接、，

在△ACD與△EDB中∴△ACD≌△EDB（SAS）同理可證,∴AC=EB，;在△ABE與中，∴△ABE（SSS）∴，∴,∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，,∴；在△ABC與中∴△ABC（SAS）【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的證明，在證明全等但條件不夠的時(shí)候可以考慮做輔助線，并且本題有中點(diǎn)，所以考慮倍長(zhǎng)中線的輔助線做法是本題的解題關(guān)鍵.6．已知：如圖，AD，AE分別是△ABC和△ABD的中線，且BA＝BD．求證：AE＝AC．【答案】證明見解析．【解析】【詳解】試題分析：首先根據(jù)題意延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連結(jié)，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得到，然后利用SAS判定≌（SAS），再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到利用外角性質(zhì)及等式的性質(zhì)得到，利用SAS得到≌，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到，由，等量代換即可得證.試題解析：證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連結(jié)，∵是的中線，∴≌（SAS），是的中線，又，∴≌（SAS），即7．如圖，CE、CB分別是△ABC與△ADC的中線，且∠ACB=∠ABC．求證：CD=2CE．【答案】見解析【解析】【詳解】試題分析：如圖，考慮到CE是△ABC的中線，我們延長(zhǎng)CE到F，使EF=CE，這樣CF=2CE，結(jié)合已知條件可證△AEC≌△BEF，并可進(jìn)一步證得△CFB≌△CDB，得到CF=CD，從而可得結(jié)論CD=2CE.試題解析：如圖，延長(zhǎng)CE到點(diǎn)F，使EF=CE，則CF=2CE，∵CE是△ABC的中線，∴

AE=BE，在△ACE和△BFE中，∴△ACE≌△BFE（AAS），∴AC=BF，∠A=∠ABF，又∵∠ACB=∠ABC，CB是△ADC的中線，∴AC=AB=BD=BF，∠DBC=∠A+∠ACB=∠ABF+∠ABC，即∠DBC=∠FBC，在△DBC和△FBC中，，∴△DBC≌△FBC（SAS），∴DC=CF=2CE．點(diǎn)睛：在這類有關(guān)三角形中線的問題中，延長(zhǎng)中線一倍，構(gòu)造全等三角形是我們?cè)诮忸}中常用的一種輔助線作法，需認(rèn)真去體會(huì).8．如圖，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，DE=2AM，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，連接AM．求證：AD⊥AC【答案】見解析【解析】【分析】延長(zhǎng)AM至N，使MN=AM，證△AMC≌△NMB，推出AC=BN=AD，ED=AN，證△EAD≌△ABN，得到∠EAD+∠BAC=180°，即可證明AD⊥AC．【詳解】延長(zhǎng)AM至N，使MN=AM，連接BN，∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴CM=BM，在△AMC和△NMB中，，∴△AMC≌△NMB（SAS），∴AC=BN，∠C=∠NBM，∠CAM=∠N，∵DE=2AM，AD=AC，∴DE=AN，AD=BN，在△EAD和△ABN中，，∴△EAD≌△ABN（SSS），∴∠EAD=∠ABN，∴∠EAD+∠BAC=∠EAD+∠BAN+∠CAM=∠ABN+∠BAN+∠N=180，∵AB⊥AE，∴∠EAB=90°，∴∠DAC=360°-∠EAB-(∠EAD+∠BAC)=90°，∴AD⊥AC．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，延長(zhǎng)AM至N，使MN=AM，利用“中線倍長(zhǎng)”構(gòu)造全等三角形的是解題的關(guān)鍵．類型二倍長(zhǎng)中線綜合運(yùn)用9．已知，，，．直線過點(diǎn)，交、于點(diǎn)、．（1）若是中線，求證：；（2）若，求證：．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）延長(zhǎng)至，使，易證≌，可得，，再根據(jù)可得，再利用∠BAC、∠BAE、∠EAD和∠DAC四個(gè)角和為360°，可得，利用△AEF的內(nèi)角和可得，可得，即可證明≌，最后利用等角的余角相等的等量代換以及△ABN的內(nèi)角和為180°可得出結(jié)論.（2）過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，則，根據(jù)，可得；，可得，等量代換得出．根據(jù)周角等于360°，可得；根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，可得，則可證明≌（AAS），得到；易證≌，即可得到．【詳解】解：（1）如圖，延長(zhǎng)至，使，∵是中線，∴．在和中，，∴≌（SAS）．∴，．∵，∴．∵，，∴．∵，∴．在和中，，∴≌（SAS）．∴．∵，∴．∴．在中，，∴．（2）如圖，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，則，∵，∴．∵，∴．∴．∵，，∴．∵，∴．在和中，，∴≌（AAS）．∴．∵，∴．在和中，，∴≌（AAS）．∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等以及角度之間的等量代換，第（1）題通過“倍長(zhǎng)中線”這一輔助線做法，構(gòu)造全等三角形，從而得出角相等，在遇到有中線的題目，并且題中沒有全等三角形，那么我們就可以通過延長(zhǎng)中線，或者經(jīng)過中點(diǎn)的線段，構(gòu)造全等三角形；第（2）題是通過構(gòu)造平行線，進(jìn)而得到角相等，構(gòu)造全等三角形，然后再根據(jù)角之間的等量代換，常見的就是等角的余角相等、等角的補(bǔ)角相等，當(dāng)直角比較多的地方都可以想到這種方法.10．如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC邊上的中線BD的取值范圍．（1）小聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)BD至E，使DE＝BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請(qǐng)證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是．（2）問題拓展：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，連接MN．請(qǐng)寫出BD與MN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）①見解析；②；（3）MN=2BD，理由見解析【解析】【分析】（1）①只需要利用SAS證明△CED≌△ABD即可；②根據(jù)△CED≌△ABD可得AB=CE，由三角形三邊的關(guān)系可得即則，再由，可得；（2），延長(zhǎng)BD到E使得DE=BD，同（1）原理可證△ADE≌△CDB，得到∠DAE=∠DCB，AE=CB，然后證明∠BAE=∠MBN，則可證△BAE≌△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD．【詳解】解：（1）①∵BD是三角形ABC的中線，∴AD=CD，又∵∠ABD=∠CDE，BD=ED，∴△CED≌△ABD（SAS）；②∵△CED≌△ABD，∴AB=CE，∵，∴即，又∵，∴；故答案為：；（2）MN=2BD，理由如下：如圖所示，延長(zhǎng)BD到E使得DE=BD，同（1）原理可證△ADE≌△CDB（SAS），∴∠DAE=∠DCB，AE=CB，∵BC=BN，∴AE=BN，∵∠ABM=∠NBC=90°，∴∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°，∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°，∴∠BAE+∠ABC=180°，∴∠BAE=∠MBN，又∵AB=BM，∴△BAE≌△MBN（SAS），∴MN=BE，∵BE=BD+ED=2BD，∴MN=2BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握倍長(zhǎng)中線法證明兩個(gè)三角形全等．11．（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】【分析】（1）利用“倍長(zhǎng)中線”法，延長(zhǎng)AD，然后通過全等以及三角形的三邊關(guān)系證明即可；（2）取DE中點(diǎn)H，連接AH并延長(zhǎng)至Q點(diǎn)，使得AH=QH，連接QE和QC，通過“倍長(zhǎng)中線”思想全等證明，進(jìn)而得到AB=CQ，AD=EQ，然后結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證明即可得出結(jié)論；（3）同（2）處理方式一樣，取DE中點(diǎn)M，連接AM并延長(zhǎng)至N點(diǎn)，使得AM=NM，連接NE，CE，結(jié)合“倍長(zhǎng)中線”思想證明全等后，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證明即可得出結(jié)論．【詳解】證：（1）如圖所示，延長(zhǎng)AD至P點(diǎn)，使得AD=PD，連接CP，∵AD是△ABC的中線，∴D為BC的中點(diǎn)，BD=CD，在△ABD與△PCD中，∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP，在△APC中，由三邊關(guān)系可得AC+PC＞AP，∴；（2）如圖所示，取DE中點(diǎn)H，連接AH并延長(zhǎng)至Q點(diǎn)，使得AH=QH，連接QE和QC，∵H為DE中點(diǎn)，D、E為BC三等分點(diǎn)，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，在△ABH和△QCH中，∴△ABH≌△QCH(SAS)，同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，此時(shí)，延長(zhǎng)AE，交CQ于K點(diǎn)，∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，∵AB=CQ，AD=EQ，∴；（3）如圖所示，取DE中點(diǎn)M，連接AM并延長(zhǎng)至N點(diǎn)，使得AM=NM，連接NE，CE，∵M(jìn)為DE中點(diǎn)，∴DM=EM，∵BD=CE，∴BM=CM，在△ABM和△NCM中，∴△ABM≌△NCM(SAS)，同理可證△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，此時(shí)，延長(zhǎng)AE，交CN于T點(diǎn)，∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT，又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，∵AB=NC，AD=NE，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形證明問題中輔助線的添加，掌握“倍長(zhǎng)中線”的基本思想，以及熟練運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．12．【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍．小明的解法如下：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接CE．在△ABD與△ECD中∴△ABD?△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索應(yīng)用】如圖②，ABCD，AB＝25，CD＝8，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∠DFE＝∠BAE，求DF的長(zhǎng)為．（直接寫答案）【應(yīng)用拓展】如圖③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，連接BE，P為BE的中點(diǎn)，求證：AP⊥DP．【答案】觀察發(fā)現(xiàn)：EC，2，12，1，6；探索應(yīng)用：17；應(yīng)用拓展：見解析【解析】【分析】觀察發(fā)現(xiàn)：由“SAS”可證△ABD≌△ECD，可得AB=EC，由三角形的三邊關(guān)系可求解；探索應(yīng)用：由“SAS”可證△ABE≌△HCE，可得AB=CH=25，即可求解